专题06 期末复习压轴题综合（期末真题汇编，河南专用）九年级数学上学期人教版

专题06 压轴题综合 一、单选题 1．(24-25九上·河南驻马店西平县·)如图，正方形的边长为，分别以，为圆心，半径为作弧和，两处阴影部分面积分别记为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减及扇形面积的计算．过点作，交、于点、，连接，可知、，从而可得，根据扇形的面积公式和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如下图所示，过点作，交、于点、，连接， 四边形为正方形， ，，， ，， 设，则， ，， ． 故选：A ． 2．(24-25九上·河南漯河临颍县·期末)如图，把边长为3的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．由边长为3的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，利用勾股定理的知识求出的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求，，从而可求四边形的周长．此题难度适中，注意连接构造等腰是解题的关键，注意旋转中的对应关系． 【详解】解：连接， 旋转角，， 在对角线上， ， 在中，， ， ， 在等腰中，， 在直角三角形中，， ， 四边形的周长是：． 故选：B． 3．(24-25九上·河南安阳林州·期末)在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字，0、，这些球除了数字以外完全相同．现随机摸出一个小球，记下数字，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、二次根式的性质等知识点，掌握运用列表法求概率成为解题的关键． 由二次函数不经过第四象限，，或，再列表得到m、n的所有可能的值以及图象不经过第四象限的情况数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：∵二次函数不经过第四象限， ∴，或顶点纵坐标，即：，或， 列表： nm 0 0 共有9种等可能的结果数，其中符合条件的结果数为5， ∴二次函数不经过第四象限的概率为． 故选：A． 4．已知二次函数的图象如图所示，直线是它的对称轴，下列结论：①；②；③；④；⑤方程有两个相等的实数根．其中正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数的图象与性质可得，，，即可判断①；根据二次函数与坐标轴的交点个数可判断②；根据时可判断③；根据对称轴可判断④；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：①∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴上， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故②正确； ③由图象可知，当时，， ∴， ∵， ∴， 即，故③错误； ④∵对称轴为直线， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵抛物线的顶点坐标为， ∴当且仅当时，， ∴方程有两个相等的实数根，故⑤正确； 综上，正确的有②⑤，共个， 故选：． 5．(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学·期末)关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的根的判别式，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实根， ∴， 解得， 故选：D． 6．(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学·期末)如图，抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标是3，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，y随x的增大而减小 C．关于x的方程的根为 D．当时，y的取值范围为 【答案】D 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，最值等解答即可. 本题考查了抛物线的对称性，抛物线的增减性，抛物线的顶点坐标属性，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的最值，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标是3， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故A错误； 当时，y随x的增大而增大，故B错误； 设抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为m， 则， 解得， 故关于x的方程的根为，故C错误； 当时， ∵关于x的方程的根为， ， 解得， 故抛物线解析式为， 故当时，函数取得最大值，且最大值为4； ∵， ∴与对称轴的距离越大函数值越小， ∵， ∴时，函数取得最小值，且最小值为， ∴y的取值范围为；故D正确； 故选：D． 7．(24-25九上·河南周口太康县大许寨乡第一中学·期末)如图，的半径4，直线l与相交于A，B两点，点M，N 在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形的面积的最大值是（   ） A．9 B． C．18 D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质，过点作于，交于点、两点，连接，，，，，，求出为等腰直角三角形，得出，结合得出当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形的面积最大，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，交于点、两点，连接，，，，，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形的面积最大，为， 故选：D． 8．(24-25九上·河南周口太康县大许寨乡第一中学·期末)如图，，是的弦，，是的半径，D为上的任意一点（点D不与点O，B重合），连接．若，则的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，连接，由圆周角定理可得，证明为等边三角形，得出，由题意可得，结合三角形外角的定义及性质可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接， ， ∵， ∴， ∵，是的半径， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵D为上的任意一点（点D不与点O，B重合）， ∴， ∵， ∴， ∴的度数可能为， 故选：B． 9．(2025·河南省郑州市·)如图，一段抛物线的图象记为，它与轴交于点和，将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点……如此进行下去，得到一“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换，根据函数可求出，从而可求出，，再根据整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，由，即可知的值等于时的纵坐标，从而得出答案． 【详解】一段抛物线， 记为，它与轴交于点，， 当时， 得：， 解得：， ， ∵将绕点旋转得， 交轴于点， ∴的解析式为， ， ∴将绕点旋转得，交轴于点， ∴的解析式为， ， …… ， ∴整个函数图象以个单位长度为一个周期，函数值就相等， ∵， ∴的值等于时的纵坐标， ∴， 故选：B． 10．(24-25九上·河南安阳安阳县·期末)若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，熟练掌握一次函数与二次函数的图象特征是解题关键．先根据一次函数的图象可得，再得出二次函数的图象的开口向下，与轴的交点位于与轴的负半轴上，由此即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象的开口向下，与轴的交点的纵坐标为，即与轴的交点位于与轴的负半轴上， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 二、填空题 11．(24-25九上·河南信阳固始县·期末)如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针旋转，当时，的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理．分两种情况讨论，作于，延长交于，交于，连接，利用直角三角形性质和勾股定理求得，和的长，在中，求得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作于，延长交于，交于，连接， ∵在菱形中，，， ∴，，，， 由旋转的性质得，，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴三点共线， 在中，，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 如图， 同理，，， ， ∴； 综上，的长度为或． 故答案为：或． 12．(24-25九上·河南驻马店第二初级中学·期末)如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 【答案】或 【分析】根据旋转的性质可知：，根据勾股定理可以求得的值，然后再根据平行线的性质和勾股定理，可以求得和的值，从而可以求得的值；还有一种情况就是点F在点C的左侧时，同理可以求得的值． 【详解】解：作于点G，如图所示， ∵，，点D是的中点， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D运动点时，此时， 同理可得，，， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 13．(24-25九上·河南实验中学·期末)菱形的边长为4，，对角线、交于点，点为线段上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接，则线段长的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质，在上取点，使，连接，由旋转得，，，由菱形的性质可得，，，进而可得为等边三角形，则，，证明，可得．由题意知，点为的中点，可知当时，取得最小值，当点与点或点重合时，取得最大值，进而可得答案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：在上取点，使，连接， 由旋转得，，， ． 四边形为菱形， ，，． ， 为等边三角形， ，， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ， 点为的中点． 当时，取得最小值，当点与点或点重合时，取得最大值， 的最大值为2， 即线段长的最大值为2． ，， ， ， ， 即线段长的最小值为1． 故答案为：1；2． 14．(24-25九上·河南安阳北关区·期末)如图，正方形的边长为，点是边上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的最小值为 ，最大值为 ．    【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点，设，则， 证明，得，，同理得，，即得，再证得四边形是矩形，得到，，进而得，再利用勾股定理得，据此解答即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点， 则，    由旋转得，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵正方形ABCD的边长为， ∴，，   设，则， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可证，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴线段的取值范围为， ∴线段的最小值为，最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 15．(24-25九上·河南安阳林州·期末)如图，在矩形中，，，是上一点，将绕点逆时针旋转时，点的对应点恰好落在上，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作的垂线分别交于点，可得是等腰直角三角形，则，根据旋转的性质，得，设，则，利用勾股定理得，解得：，则，从而得出答案． 【详解】解：过点作的垂线分别交于点，如图所示： 则， ∵四边形是矩形， ∴四边形、四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据旋转的性质得， 在中，由勾股定理可得，则， ∴， ∴， 设， ， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得， ∴，即， 解得：， 根据旋转的性质得，， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形中求线段长，涉及矩形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及解方程等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键． 三、解答题 16．(24-25九上·河南开封祥符区·期末)【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 【答案】(1)补全图形见解析，，证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据题意补全图形，利用证明即可证明； （2）连接，，利用正方形的性质求得，，由，推出，，证明，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）当点运动到线段上时，有最小值，当点运动到延长线上时，有最大值，据此画出图形，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： .证明如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，， ∵正方形和正方形，，，， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴； （3）解：如图， 当点运动到线段上时，有最小值， 最小值， ∴的最小值， 如图， 当点运动到延长线上时，有最大值， 最大值， ∴的最在值， ∴的面积的取值范围为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解一元二次方程．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 17．(24-25九上·河南周口川汇区·期末)如图，已知，平分，点B、点C分别在的两边与上，连接． (1)求作的外接圆（保留作图痕迹，不写画法）； (2)若，，且与交于点E，求线段． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，只需作出中点，即可确定圆心； （2）连接，过点作交于点，证明，求出，在中运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，连接，过点作交于点， ∵， ∴是的直径，O为的中点， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的外接圆，难度较大，解题的关键在于构造全等三角形． 18．(24-25九上·河南郑州巩义·期末)如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，点是此二次函数的图象上的两个动点，且满足． (1)求此一次函数和二次函数的表达式； (2)如图1，若点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接．求证：的值为定值； (3)如图2，若点在轴的上方移动，点为线段的中点，求点纵坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数以及一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将点的坐标代入一次函数表达式得一次函数的表达式为：；将点坐标代入一次函数得出的坐标，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意可得，，，，；求得和的表达式，进而求比值，即可求解； （3）根据中点坐标公式得出点的纵坐标，根据，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则，即一次函数的表达式为：； 将点坐标代入一次函数表达式得， 将点的坐标代入二次函数 表达式得：， 则即抛物线的表达式为：； （2）证明：由题意可表示有关点的坐标为： ，，，， 则 同理可得： 则为定值； （3）解：点的两点的坐标分别为：， 点纵坐标可表示为 当，即， 解得： ∴二次函数的图象与轴的交点和点， 又若点在轴的上方移动， 当时，； 当时，； 故的取值范围： 19．(24-25九上·河南许昌禹州·期末)如图1，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为E，F，G，延长交于点P． (1)在旋转过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当点F在的延长线上时，连接，延长交于点Q，证明：Q为的中点． (3)在（2）的条件下，若矩形长与宽之比为，请直接写出的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转性质证明，即得； （2）法一：延长交于点H，根据，，得，得，可得，即得；法二：过点C作，交延长线于点K，由．，得，得，可得，即得； （3）连接，设矩形的长为，宽为，可得．分当时，得．可得；当时，得，可得，即可计算的值为或． 【详解】（1）解：．理由如下： 连接，如解图1所示． 由旋转的性质，知，． 又， ． ． （2）证法一：如解图2，延长交于点H． 由（1），知， ． ． ， ． ． ． ， ． 又， ． ． 即Q为的中点． 证法二：如解图3，过点C作， 交延长线于点K． 则， 由（1），知， ． ． ． 又， ． ， 即为的中点． （3）或． 连接，如解图4， 设矩形的长为，宽为， 由勾股定理，可得． 由旋转，得． 当时，，， ． ． 由（2），得为中点， ． ． 当时，，， ． ． ． ． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形旋转．熟练掌握矩形性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分类讨论，添加辅助线，是解题的关键． 20．(24-25九上·河南新乡长垣·期末)【问题发现】 （1）在数学活动课上，老师给出如下问题：“如图1所示，是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路 将线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在中，易得，由，得，，之间的数量关系为________ 【类比分析】 （2）如图2所示，当点D在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）若（1）中的点D在射线上，且，，请直接写出的长度． 【答案】（1）；（2）（1）中结论成立，理由见解析；（3）或 【分析】（1）根据证明，结合等腰直角三角形的性质，勾股定理，等量代换思想解答即可． （2）仿照第1问的解答解题即可． （3）利用分类思想，结合前面的结论解答即可． 【详解】（1）线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，， 根据旋转性质，得， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）将线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，， 根据旋转性质，得， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：如图1，当点在线段上时，根据题意，得，， ∴， 根据题意，得， 解得，（舍去）； 当点在线段的延长线上时，根据题意，得，， ∴， 根据题意，得， 解得，（舍去）； 故的长为或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，点在射线上的意义，三角形全等的判定和性质，直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 21．(24-25九上·河南信阳罗山县·期末)（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”．如图1，在中，，D是外一点，且， 求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（请你在图1上画圆），则点C，D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ． ②类型二，“定角+定弦”．如图2，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解∶ ∵， ∴． ∵， ∴． ∴ ．（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上．易求得的最小值为 ． （2）【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． （3）【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【答案】（1）①；②；4；（2）4；（3）①，理由见解析；②点的运动路径长为． 【分析】本题主要考查圆的定义、圆周角定理、弧长公式、全等三角形的判定与性质等周四点，熟练掌握圆的定义、构造辅助圆的基本方法是解题的关键． （1）①根据圆的定义、构造辅助圆，运用圆周角定理计算即可；②根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上、构造辅助圆，运用圆的性质计算即可； （2）根据圆的定义、构造辅助圆，运用圆的性质计算即可解答； （3）根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上、构造辅助圆，运用圆的性质、弧长公式计算即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，如图1， ∴． 故答案为：28． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点P，此时最小， ∵点O是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴最小值为4． 故答案为：90°，4． （2）如图3，连接， ∵点B，点M关于直线对称， ∴， ∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：4； （3）①结论：；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图4，连接交于点O， ∵点P在运动中保持， ∴点P的运动路径是以为直径的圆的 ∴点P的运动路径长为． 22．(24-25九上·河南许昌·期末)在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（A点在B点左侧），以为直径作．取线段下方的抛物线部分和线段上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段叫做“横径”，线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”． (1)如图，已知抛物线． ①若点A横坐标为，则得到的“抛物圆”的“横径”长为______，“纵径”长为______； ②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值； (2)已知点在抛物线上，若“抛物圆”的“扁度”值不超过3，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①4，6；② (2) 【分析】（1）①点，则点，得到半径，则，求出，即可求解；②若点点A横坐标为t，则点，则点，参考①即可求解； （2）根据点A在抛物线上得到，将抛物线解析式变式得到顶点坐标为，即点，进而求解． 【详解】（1）解：①如图，设线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段为，则点N（O）重合，点，则点， 则圆M的半径，则， 由点B的坐标知，，则， 故答案为：4，6； ②若点A横坐标为t，则点，则点， 则圆M的直径为， 则， 则，解得：（舍去）或， 即； （2）点在抛物线上， ，即， 其顶点坐标为，即点， 则点，则圆M的半径为 则， 则， ， 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和圆的基本的性质，理解新定义等，数形结合是本题解题的关键． 23．(24-25九上·河南焦作·期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．圆上的点，，均为格点． (1)求这个圆的直径； (2)请用无刻度的直尺和圆规，在如图所示的网格中，确定格点，使为圆的一条切线，并画出过点的另一条圆的切线，切点为（保留作图痕迹，不要求证明）． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）连接， 根据可得为直径，利用勾股定理解题即可； （2）取格点， 连接， 取格点， 连接， 交于点， 连接交圆于点，作射线，则射线即为所求． 【详解】（1）解：如图， 连接， 根据题意得： ∴为直径， ， ∴圆的直径长为； 故答案为：； （2）解：如图， 取格点， 连接， 取格点， 连接， 交于点， 连接交圆于点，作射线，则射线即为所求， 理由： 取格点， 连接交于点， ，， ， ，即， ∴为圆的一条切线， 根据题意得：四边形是矩形， ∴点为矩形的中心， ，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴为圆的切线． 24．(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学，新乡第十中学·期末)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的的顶点坐标（用含a的式子表示）； (2)已知点，将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于分类讨论． （1）把代入，得到，然后配方成顶点式即可求解； （2）先求出与坐标轴的交点，，与y轴交于点，根据平移求得，然后分类讨论，画出临界状态分析即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上 ，解得 ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：， 当， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为点，与y轴交于点 ∵将点向左平移3个单位长度 ∴点C的坐标为 由题意，分以下两种情况： ①当时， ∵，对称轴为直线， ∴与轴另一交点记为，如图： 由抛物线与x、y轴的交点可知，抛物线与线段无公共点 ②当时 若抛物线的顶点在线段上，则顶点坐标为，如图： 解得 若抛物线的顶点不在线段上，要使抛物线与线段恰有一个公共点，则抛物线与y轴的交点位于点C的上方，符合题意，如图： 解得 综上所述，a的取值范围是或． 25．(24-25九上·河南许昌建安区第三初级中学·模拟)如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为，抛物线的顶点为C，点B关于对称轴直线的对称点为点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)当时，求函数值y的取值范围； (3)将抛物线在点D右方的图象沿着直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有2个公共点时，请直接写出n的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合内容等，注意数形结合思想以及分类讨论思想的运用，正确得到二次函数解析式是解题的前提． （1）把对称轴直线和代入即可； （2）对称轴直线在中，考虑最大值在对称轴直线中取得，再把和分别代入计算，最后比较大小即可得出y的取值范围； （3）在时，抛物线是无限延长的，与在情况下的必然存在一个公共点，那么只需要考虑①当直线过点D时和②当直线与抛物线相切两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：将代入中得， ∵对称轴，即， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 因为对称轴直线在中，考虑最大值是对称轴直线与抛物线的交点的纵坐标， 当时，， ∴当时，y的取值范围为； （3）解：①当直线过点D时： ∵B，D两点关于对称轴直线对称，， ∴点D的坐标为， 将点代入直线中得， ∴； ②当直线与抛物线相切时， 令，即， 当，解得； 综上：或． 26．(24-25九上·河南商丘虞城县·期末)探究式学习是新课程标准倡导的重要学习方式．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【初识问题】 （1）如图1，在中，，，P是边上的一动点（点P不与点B，C重合），，，连接，则与的数量关系是__________，的度数是__________． 【探究问题】 （2）在中，，，M是的中点，P是边上的一动点（点P不与点B，C，M重合）．若将线段绕点P顺时针旋转，点A的对应点为E，连接． ①如图2，若点P在线段上，过点P作，交的延长线于点F，求的度数． ②如图3，若点P在线段上，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）（2）①② 【分析】（1）等角对等边，得到，进而推出为等腰直角三角形，证明，即可得出结果； （2）①旋转得到，证明为等腰直角三角形，得到，证明，得到，根据角的和差关系进行求解即可；②过点作，交于点，证明为等腰直角三角形，得到，证明，推出，根据线段的和差关系即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①∵线段绕点P顺时针旋转， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②过点作，交于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06 压轴题综合 一、单选题 1.(24-25九上河南驻马店西平县)如图，正方形ABCD的边长为1，分别以A,D为圆心，半径为1作弧 BD和AC,两处阴影部分面积分别记为S1,S2,则S1一S2=() D A.号-1 B.1- C.号-1 D.1-晋 2.(24-25九上河南漯河临颗县期末)如图，把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45·得到正方形 ABCD,边BC与DC交于点O,则四边形ABOD的周长是() A B A.6 B.62 C.3+3y2 D.32 3.(24-25九上河南安阳林州期末)在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字一1,0、言，这 些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m,放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n, 则使得二次函数y=x2+x+n的图象不经过第四象限的概率为() A.号 B.哥 C.号 D.号 nm -1 0 -1 (-1,-1) (-1,0) (-1,) 0 (0,-1) (0,0) (0,) 13 (3,-1) (30) ()】 4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，直线x=1是它的对称轴，下列结论：① 1/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 abc>0;②b2-4ac>0;③3a十c>0;④2a-b=0;⑤方程ax2+bx+c-3=0有两个相等的实 数根.其中正确的有() x=1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(24-25九上河南开封杞县高中附属中学期末)关于x的一元二次方程x2+4x一2k=0有实数根，则k 的值可能是() A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 6.(24-25九上河南开封杞县高中附属中学期末)如图，抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1, 且与x轴的一个交点的横坐标是3，则下列说法正确的是() y x=1 A.b=-2 B.当x<1时，y随x的增大而减小 C.关于x的方程-x2+bx十c=0的根为x1=3,x2=1 D.当-4<x<3时，y的取值范围为-21<y≤4 7.(24-25九上河南周口太康县大许寨乡第一中学期末)如图，⊙0的半径4，直线1与⊙0相交于A,B 两点，点M,N在直线1的异侧，且是⊙O上的两个动点，且∠ANB=135°，则四边形MANB的面积 的最大值是() M 0. B 2/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.9 B.9V2 C.18 D.16V2 8.(24-25九上河南周口太康县大许寨乡第一中学期末)如图，AB,AC是⊙0的弦，0B,0C是⊙0的 半径，D为OB上的任意一点（点D不与点O,B重合），连接CD.若∠BAC=30°，则∠BDC的度数 可能为() A.600 B.96o C.1200 D.125 9.(2025河南省郑州市)如图，一段抛物线y=-x2+5x(0≤x≤5)的图象记为C1,它与x轴交于点0 和A1,将C1绕点A1旋转180·得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3.如此 进行下去，得到一“波浪线”，若点P(2024,m)在此“波浪线”上，则m的值是（) A C. A.-4 B.4 C.-6 D.6 10.(24-25九上·河南安阳安阳县期末)若一次函数y=x+b的图象经过第一、二、四象限，则二次函数 y=ax2-b的图象可能是() B 二、填空题 11.(24-25九上河南信阳固始县·期末)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠C=60°，将菱形ABCD绕点 3/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A逆时针旋转，当BC⊥CD时，CC的长度为 C D 12.(24-25九上河南驻马店第二初级中学·期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,点 D是AC的中点，连接BD,将△BCD绕点B旋转，得到△BEF.连接CF,当CFAB时， CF=」 4 B 13.(24-25九上河南实验中学期末)菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，对角线AC、BD交于点0， 点P为线段AO上的一个动点，连接PB,将线段PB绕点B顺时针旋转60°至QB,连接OQ,则线段OQ长 的最小值为一，最大值为一， 14.(24-25九上·河南安阳北关区·期末)如图，正方形ABCD的边长为2，点E是边AB上的动点，连接 ED、EC,将ED绕点E顺时针旋转90°得到EN,将EC绕点E逆时针旋转90。得到EM,连接MN,则线 段MN的最小值为，最大值为· 15.(24-25九上河南安阳林州期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4V2,BC=5,P是AD上一点，将 △CDP绕点C逆时针旋转45o时，点P的对应点P'恰好落在AB上，则PD的长为· 4/10 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 16.(24-25九上河南开封祥符区期末)【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形ABCD的点D和正方形EFGH的点E重合，并旋转正方形EFGH同时确保点H在正方形ABCD内 部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向. A D(E D(E D(E 图1 图2 图3 (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接AH、CF后，随着旋转，AH和CF有着一定的数量关系，请在图1中补全图形， 并证明AH和CF的数量关系： (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转EFGH,发现AHF三点共线时，可以由正方形ABCD和正方形EFGH的边长求 出AH的长，若AB=2√2，EH=V2,请你思考并求AH的长. (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形EFGH时，发现并提出新的探究点：如图3，连接AG、BG,当正 方形EFGH旋转时，△ABG的形状和面积也随之改变，若AB=2√2，EH=V2,直接写出△ABG的 面积的取值范围。 17.(24-25九上河南周口川汇区期末)如图，己知∠MAN=90°，AD平分∠MAN,点B、点C分别在 ∠MAN的两边AM与AN上，连接BC. 5/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A -N (1)求作△ABC的外接圆⊙O(保留作图痕迹，不写画法)； (2)若AB=3,AC=7,且AD与⊙O交于点E,求线段AE, 18.(24-25九上·河南郑州巩义期末)如图，一次函数y=x+m的图象与二次函数y=一x2+bx+c的图 象交于点A(-2,0)和点B(3n),点P(xy1),Q(x2y2)是此二次函数的图象上的两个动点，且满足 X2=X1+3. (图1) (图2) (1)求此一次函数和二次函数的表达式； (2)如图1，若点Q在直线AB的上方，过点Q作QC⊥x轴于点C,交AB于点D,连接BC,DP,PQ.求证： 二的植为定值： (3)如图2，若点P在x轴的上方移动，点M为线段PQ的中点，求点M纵坐标的取值范围. 19.(2425九上河南许昌禹州期末)如图1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG,点B,C, D的对应点分别为E,F,G,延长FE交BC于点P. G G A E B P B P 图1 图2 (1)在旋转过程中，试探究线段BP与PE的数量关系，并说明理由 6/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图2，当点F在AD的延长线上时，连接CF,BE,延长BE交CF于点Q,证明：Q为CF的中点. (3)在(2)的条件下，若矩形ABCD长与宽之比为4：3，请直接写出器的值. 20.(24-25九上河南新乡长垣·期末)【问题发现】 (1)在数学活动课上，老师给出如下问题：“如图1所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC, ∠BAC=90°，点D在BC上，连接AD,探究AD,BD,CD之间的数量关系.”王林思考片刻之后，利 用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路 将线段AD绕点A逆时针旋转90·得线段AE,连接CE,DE,易证△ABD兰△ACE,得到BD=CE 个△ ∠ABD=∠ACE=45°，在Rt△DCE中，易得CD2+CE2=DE2,由DE=V2AD,得AD,BD, 间的数量关系为 【类比分析】 (2)如图2所示，当点D在线段BC的延长线上时，请问(1)中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你 的推导过程： D 图2 【拓展延伸】 (3)若(1)中的点D在射线CB上，且BC=4,BD=1,请直接写出AD的长度 21.(24-25九上·河南信阳罗山县期末)(1)【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如 果添加辅助圆，可以使问题变得容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”，这类题目主要是两种类型。 图1 图2 ①类型一，“定点+定长”.如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=56°，D是△ABC外一点，且 AD=AC,求∠BDC的度数. 7/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解：若以点A(定点)为圆心，AB(定长)为半径作辅助圆⊙A(请你在图1上画圆)，则点C,D必在 ⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=- ②类型二，“定角+定弦”.如图2，Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=12,BC=8,P是△ABC内部的一 个动点，且满足∠PAB=∠PBC,求线段CP长的最小值. 解：：∠ABC=90°， ∴∠ABP+∠PBC=90o. :∠PAB=∠PBC, .∠BAP十∠ABP=90o. ·∠APB=-·(定角) “点P在以AB(定弦)为直径的⊙O上.易求得PC的最小值为_ (2)【问题解决】如图3，在矩形ABCD中，已知AB=6,BC=8,点P是BC边上一动点（点P不与B, C重合)，连接AP,作点B关于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为一· M B 图3 (3)【问题拓展】如图4，在正方形ABCD中，AD=10,动点E,F分别在边DC,CB上移动，且满足 DE=CF,连接AE和DF,交于点P. A B 图4 ①请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由： ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长 22.(24-25九上河南许昌·期末)在平面直角坐标系xOy中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上 关于对称轴对称的两点A,B(A点在B点左侧)，以AB为直径作⊙M.取线段AB下方的抛物线部分和 线段AB上方的圆弧部分（含端点A,B),组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段AB 叫做“横径”，线段AB的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比 8/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 值叫做此“抛物圆”的“扁度”. M O (1)如图，已知抛物线y=x2 ①若点A横坐标为一2，则得到的抛物圆的“横径”长为，“纵径”长为： ②若点A横坐标为t,用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值； (2)已知点A(1,1)在抛物线y=ax2-4ax+4a+c上，若“抛物圆的“扁度”值不超过3，请直接写出a的 取值范围， 23.(24-25九上河南焦作期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点. 圆上的点A,B,C均为格点 (1)求这个圆的直径： (②)请用无刻度的直尺和圆规，在如图所示的网格中，确定格点B,使EA为圆的一条切线，并画出过点E的 另一条圆的切线EF,切点为F(保留作图痕迹，不要求证明)· 24.(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学，新乡第十中学期末)在平面直角坐标系x0y中，抛物线 y=ax2+bx-3a经过点A3,0). (1)求该抛物线的的顶点坐标（用含α的式子表示）； (2)已知点B(3,2),将点B向左平移3个单位长度，得到点C.若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函 数的图象，求a的取值范围。 25.(24-25九上河南许昌建安区第三初级中学.模拟)如图，抛物线y=一x2+bx+c与x轴，y轴分别交 于A,B两点，点B坐标为(0,5)，抛物线的顶点为C,点B关于对称轴直线x=2的对称点为点D, 9/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A (1)求该抛物线的表达式： (2)当-1<x<4时，求函数值y的取值范围； (3)将抛物线在点D右方的图象沿着直线BD向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当 直线y=2x+n与新图象有2个公共点时，请直接写出n的值， 26.(2425九上·河南商丘虞城县·期末)探究式学习是新课程标准倡导的重要学习方式.某校数学活动小组 在一次活动中，对一个数学问题作如下探究 图1 图2 图3 【初识问题】 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,P是边上的一动点（点P不与点B,C重合）， ∠PAD=90°，∠APD=∠B,连接CD,则BP与CD的数量关系是 ，∠ACD的度数是 【探究问题】 (2)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,M是BC的中点，P是边BC上的一动点（点P不与点 B,C,M重合)·若将线段AP绕点P顺时针旋转90°，点A的对应点为E,连接CE,AE. ①如图2，若点P在线段BM上，过点P作PF⊥BC,交CA的延长线于点F,求∠ACE的度数. ②如图3，若点P在线段CM上，请直接写出线段AC,CE,CP之间的数量关系. 10/10