河南省开封市第十四中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年河南省开封十四中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是(    ) A. B. C. D. 2.将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 3.已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为(    ) A. 2027 B. 2028 C. 2029 D. 2030 4.如图，中，，将逆时针旋转，得到，DE交AC于当时，点D恰好落在BC上，此时等于(    ) A. B. C. D. 5.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6.如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积.已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为(    ) A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 7.如图，AB是的直径，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 8.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出，，则圆形工件的半径为(    ) A. 50cm B. 35cm C. 25cm D. 20cm 9.已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是(    ) A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在3与4之间 10.直线与抛物线的图象如图，当时，x的取值范围为(    ) A. B. C. D. 或 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.把方程化成的形式，则的值是      . 12.若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系是        . 13.某展览中心6月份的参观人数为32000人，8月份的参观人数为50000人.则6至8月参观人数的月平均增长率为        . 14.二次函数在范围内的最大值与最小值的差为      . 15.如图，中，，，中，，，直线BD与直线AE交于点现将绕点C旋转1周，在旋转过程中，______，线段AF长度的最大值是______ 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 解方程： ； 17.本小题9分 如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空. 平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为______； 将线段AB绕点A逆时针旋转，画出旋转后所得的线段AE，点E的坐标为______，并判断的形状； 在y轴上找出点F，使的周长最小，并直接写出点F的坐标为______. 18.本小题9分 已知关于x的一元二次方程 求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； 若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 19.本小题9分 在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米. 为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？ 20.本小题9分 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号.发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器.如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长OB为274cm，球网CD高发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分. 某次训练，发球机从球台边缘O点正上方的高度A处发球即OA的长为，乒乓球到球台的竖直高度记为单位：，乒乓球运行的水平距离记为单位：，测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 n 33 0 根据以上数据，解决下列问题： 当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______cm，表格中n的值为______； 求出满足条件的函数表达式； 若发球机的发球高度增加15cm，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上填“能”或“不能” 21.本小题9分 已知AB与相切于点C，，，OB与相交于点D，E为上一点. Ⅰ如图①，求的大小； Ⅱ如图②，当时，EC与OB相交于点F，延长BO与相交于点G，若的半径为3，求ED和EG的长. 22.本小题10分 已知二次函数的图象经过点 若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值. 当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求n的取值范围. 23.本小题10分 如图①，在中，，，点D、E分别在AC、BC边上，，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、 与MN的数量关系是______. 将绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B.不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选： 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可． 本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键． 2.【答案】A  【解析】解：将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：，即 故选： 先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 3.【答案】C  【解析】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ， 故选： 根据已知易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：由旋转性质可得：，， ， ，， ， 故选： 根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 本题考查了几何旋转问题、三角形内角和、等腰三角形性质，掌握旋转的性质是关键． 5.【答案】A  【解析】解：由条件可得， 方程有两个不相等的实数根， 故选： 根据，即可判断根的情况． 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是解题关键． 6.【答案】C  【解析】解：设劳动基地中的道路宽为x米， 由题意得，， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 即劳动基地中的道路宽为2米， 故选： 设劳动基地中的道路宽为x米，根据种植面积为480平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：是的直径， ， ， ， ， ， 故选： 根据AB是的直径得出，即可求解． 本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：设圆心为O，连接OB，如图所示， 垂直平分AB，， ， ，， ， ， ， ， 解得， 即圆形工件的半径为25cm， 故选： 9.【答案】D  【解析】解：由图表可得， 该函数的对称轴是直线，有最大值， 抛物线开口向下，故选项A错误， 抛物线与y轴的交点为，故选项B错误， 和时的函数值相等，则时，，故选项C错误， 方程的正根在3与4之间，故选项D正确， 故选： 根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 10.【答案】D  【解析】解：由图象可知，当或时， 直线的图象位于抛物线的图象的上方 当或时， 故选： 观察图象可知，当直线的图象位于抛物线的图象上方时，相应的x的取值范围即为时的解，据此可解． 本题考查了二次函数、一次函数与不等式的关系，明确二次函数和一次函数的性质并数形结合是解题的关键． 11.【答案】13  【解析】解：， ， ，即， 则，， ， 故答案为： 将方程通过配方法转化为完全平方形式，确定m和n值后再相加即可． 本题考查配方法，将方程通过配方法转化为完全平方形式是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线， 当时，y随x的增大而增大， ， ， 故答案为： 先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 13.【答案】  【解析】解：设6至8月参观人数的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 至8月参观人数的月平均增长率为 故答案为： 设6至8月参观人数的月平均增长率为x，利用该展览中心8月份的参观人数=该展览中心6月份的参观人数至8月参观人数的月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14.【答案】36  【解析】解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为： 故答案为： 将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可． 此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键． 15.【答案】90；7  【解析】解：， ， 在和中， ， ≌， ， 设AF交BC于点 ， ； 点F在的外接圆上运动， 、E两点在以C为圆心，以3为半径的上， 当AE与相切于点E，BD与相切于点D时，AF取最大值，如下图， 此时四边形CDFE为正方形，， ， 的最大值为， 故答案为：90； 证明≌，推出，由三角形内角和定理得，则可判断出点F的运动轨迹，求出AF的最大值即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，圆中最长弦是直径等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 16.【答案】，    【解析】解：， ， ， 或， ，； ， ，，， ， ， 利用因式分解法解方程即可． 利用公式法解方程即可． 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和公式法是解题的关键． 17.【答案】如图所示 ； 直角三角形，；   【解析】解：如图所示，， 故答案为：； 如图所示，， 的形状为直角三角形； 点E的坐标为； 作B点关于y轴对称点，连接交y轴于F点，此时的周长最小，， 故答案为： 利用点A、C的坐标特征得到平移规律，然后利用此平移规律写出点D坐标，描点即可； 利用网格特点和旋转的性质画出B点所对应的E点，观察图形即可求解； 作B点关于y轴对称点，连接交y轴于F点，此时的周长最小． 本题考查了作图旋转变化，根据旋转的性质可知对应角度相当于旋转角，对应线段相等旋转后的线段，解题关键在于能够正确画出变化后的图形． 18.【答案】解：证明：， ， ， 而， ， 方程总有两个不相等的实数根； 方程的一个根是1， ，解得，即， 原方程为：， 即， 解得：， 即m的值为，方程的另一个根是  【解析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义． 要证明方程有两个不相等的实数根，即证明即可； 将代入方程，求出m的值，进而得出方程的解． 19.【答案】8米．  【解析】解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：重建后的养鸡场的宽AB为8米． 设米，则米，根据养鸡场的面积是160平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为22米，即可确定结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20.【答案】230；45；   ；   能．  【解析】当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为230cm， 当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是230cm； 当和当时的函数值相同，对称轴为直线， 当时的函数值与当的函数值相同， ， 故答案为：230；45； 设， 把代入中，得， 解得：， 则满足条件的函数表达式为； 当发球机的发球高度增加15cm时， 则此时抛物线解析式为， 在中， 当时， 解得：，舍去， ， 乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上， 故答案为：能． 根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离，根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； 把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； 当发球机的发球高度增加15cm时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为0时自变量的值即可得到答案． 本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式、正确理解题意是解题的关键． 21.【答案】的度数为； Ⅱ的长是3，EG的长是  【解析】如图①，连接OC， 与相切于点C， ， ，， ， ， 的度数为 Ⅱ如图②，连接OC， 是的直径，的半径为3， ，， ， ， 由得， ， ， ， ， 的长是3，EG的长是 连接OC，由切线的性质得，而，，所以，则； Ⅱ连接OC，因为DG是的直径，的半径为3，所以，，由，得，而，则，所以，则，求得 此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 22.【答案】的值为1  的取值范围为  【解析】解：， 抛物线的对称轴为直线， 将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称， ， ， 再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上， 将向左平移个单位长度得到， 把点代入得，， 解得或舍去， 的值为 由题意，当时， 最大值与最小值的和为 不符合题意，舍去． 当时， 最大值与最小值的和为，符合题意． 当时，最大值与最小值的和为 ， 解得或，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为 依据题意，由点向上平移9个单位长度得到，再求得关于抛物线的对称轴对称的，向左平移m个单位长度，进而可得平移后的点为，结合在图象上，可得，进而计算可以得解； 依据题意，由，可得当时，y取最小值，最小值为，再根据、和进行分类讨论，即可计算得解． 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化-平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 23.【答案】解：； 如图②中，仍然成立． 理由：连接AD，延长BE交AD于点 和是等腰直角三角形， ，，， ， ， ≌， ，， ， ， 、N、P分别为AE、BD、AB的中点， ，，，， ，，   【解析】【分析】 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学=学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 如图①中，只要证明的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题． 如图②中，结论仍然成立．连接AD，延长BE交AD于点由≌，推出，，即可推出，由M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，推出，，，，推出，，可得 【解答】 解：如图①中， ，， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， 的等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为 见答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $