专题02 二次函数（期末真题汇编，广西专用）九年级数学上学期

专题02 二次函数 19大高频考点概览 考点01 二次函数的识别 考点02 y=ax²的图像和性质 考点03 y=a（x-h）²+k的图像和性质 考点04 y=ax²+bx+c的图像和性质 考点05 把y=ax²+bx+c化成顶点式 考点06 二次函数图像的平移 考点07 二次函数与各项系数的符号 考点08 抛物线与x轴的交点问题 考点09 抛物线与坐标轴的交点坐标 考点10 图像法解一元二次不等式 考点11 一次函数与二次函数图像的判断 考点12 二次函数的实际应用--经济问题 考点13二次函数的实际应用--图形运动问题 考点14 二次函数的实际应用--喷水问题 考点15 二次函数的实际应用--投球问题 考点16 二次函数的实际应用-其他问题 考点17 二次函数的实际应用--拱桥问题 考点18 二次函数与特殊三角形综合问题 考点19 二次函数与其他的综合问题 地 城 考点01 二次函数的识别 1．下列选项中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 地 城 考点02 y=ax²的图像和性质 1．二次函数的图象是（   ） A．直线 B．双曲线 C．抛物线 D．不确定 2．二次函数的图象开口方向是向 （填“上”或“下”）． 地 城 考点03 y=a(x-h)²+k的图像和性质 1．抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 3．雁门关，位于我省忻州市雁门山中，是长城上的重要关隘，以“险”著称，被誉为“中华第一关”，由于地理环境特殊，行车高速路上的隧道较多，如图①是雁门关隧道，其截面为抛物线型，如图②为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（    ）    A． B． C． D． 4．二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 5．抛物线的顶点坐标是 ． 地 城 考点04 y=ax²+bx+c的图像和性质 1．在二次函数，与的部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 8 0 0 3 … 则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③当时，随的增大而增大；④图象经过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象过点（-2,0），对称轴为直线x=1.有以下结论：①abc>0；②8a+c>0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；④若方程a（x+2）（4-x）=-2的两根为x1，x2，且x1<x2，则-2x1<x2<4. 其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象上有，两点．下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．抛物线的图象如图所示，则下列选项中正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．当时，随的增大而减小 C．是方程的一个根 D． 7．如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点 ，则的长的最大值是 ． 8．已知点，点，如果抛物线（为实数）与线段（不含端点）只有一个交点，那么的取值范围是 ． 地 城 考点05 把y=ax²+bx+c化成顶点式 1．把二次函数化为的形式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点06 二次函数图像的平移 1．将抛物线平移后得到抛物线，平移的方法可以是（   ） A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 2．抛物线向上平移4个单位长度后的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．将二次函数的图像先向右平移2个单位，再向上平移7个单位，所得新抛物线的表达式（   ） A． B． C． D． 4．雨伞是生活中的常见物品，撑开后的雨伞（如图1）是我们熟悉的数学模型-抛物线．在如图2所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，伞骨，的交点为坐标原点，点为抛物线的顶点，，点A，B在抛物线上，且，关于轴对称，点到轴的距离是两点之间的距离为4．设抛物线解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)分别延长，，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离； (3)将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，新抛物线与轴的正半轴相交于点，且，求的值． 5．已知：二次函数． (1)当时， ①求这个二次函数的解析式及其对称轴； ②已知点与分别在该拋物线对称轴两侧的图象上，且，求m的取值范围； (2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数图象在的范围内有最大值为，求k的值． 6．已知二次函数（为不等于0的常数）． (1)若二次函数的图像经过点，则________； (2)在（1）的条件下，当时，则的取值范围是________； (3)若二次函数在时有最大值16，求的值． 7．已知二次函数（是常数）． (1)若，求该二次函数图象的顶点坐标； (2)若该二次函数图象与轴没有交点，求的取值范围． 地 城 考点07 二次函数与各项系数的符号 1．若抛物线的开口向下，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 2．如图，二次函数的图像经过点，，与y轴交于点C．则以下结论： ①； ②； ③； ④当时，y随x的增大而减少； ⑤若方程没有实数根，则． 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 地 城 考点08 抛物线与x轴的交点问题 1．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 2．二次函数与轴的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．无法确定 地 城 考点09 抛物线与坐标轴的交点坐标 1．抛物线与y轴的交点是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点10 图像法解一元二次不等式 1.如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 2．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 3．二次函数y＝的图象如图.当y>0时，自变量x的取值范围是（ ） A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3 4．如图为二次函数（）图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 地 城 考点11 一次函数与二次函数图像的判断 1．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．已知直线经过一、二、三象限，则抛物线大致是（    ） A． B． C． D． 4．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 5．如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象在第一象限交于点．当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 地 城 考点12 二次函数的实际应用-经济问题 1．某商场销售一批玩具，进价为50元/件，售价为60元/件时，每月可售200件．根据市场调查发现，售价每涨1元，则每个月会少售出10件（售价不能高于72元/件）．则该种玩具的售价为 元/件时，该商场每个月的利润最大． 2．季节交替容易引发呼吸道疾病，越来越多的家庭选择购买空气净化器来预防呼吸道疾病，某商场的一款空气净化器（如图1）特别畅销．已知进价是每台20元，根据市场调查发现，每月的销售量y（台）与售价x（元/台）是一次函数关系，如图2所示： (1)求y与x的函数关系式； (2)某月该商场出售这种空气净化器获得了24000元的利润，该空气净化器的售价是多少？ (3)若某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台，该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是多少？ 3．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，销售单价为25元时，日销售量是50个；当单价为35元时，销售量是30个．已知日销售量（个）与销售单价（元）之间是一次函数关系． (1)求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)设该玩具日销售利润为元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 4．红日商场出售某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每天可卖出100件．市场调查发现，该商品每降价1元，每天可多卖出10件，由于供货方的原因每天销售不得超过200件．设该商品每件降价x元（x为整数），每天的销售利润为w元． (1)请分析题意，写出该商品在售价60元的情况下再降件x元时，每件商品的利润为__________元，每天能售卖该商品__________件；（用含x的代数式表示） (2)求w与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (3)该商品每件降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 5．界首市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?． ②要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为 元? 6．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 地 城 考点13 二次函数的实际应用-图形运动问题 1．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，两点同时停止运动．则的最大面积是 ． 2．如图1，在边长为正方形中，动点同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），的面积为（单位：），则关于的函数图象如图2． (1)求关于的函数解析式； (2)当为何值时，有最大值，最大值是多少． (3)当为何值时，为． 地 城 考点14 二次函数的实际应用-喷水问题 1．综合与实践 项目式学习：安全用电，防患未然 项目背景 近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约的火灾都在充电时发生．某校八年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． 素材1 调查分析：图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2是其喷射截面示意图，在中，米，喷嘴O到地面的距离米． 素材2 模型构建：由于干粉灭火器只能扑灭明火，不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头，如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线． 学校的停车棚左侧靠墙建造，如图4，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知消防喷淋头的出水口M到墙面的水平距离为2米，到地面高度为米，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． 素材3 问题解决：已知车棚宽度为8米，电动车的电池距离地面高度为米．创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池． 任务解决 任务1 （1）求图2中地面有效保护直径的长度； 任务2 （2）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （3）按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为多少米？ 任务3 （4）喷淋头N距离喷淋头M至少为多少米？ 2．项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 3．如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度(单位：米)与水柱落地处距离喷水头的距离(单位：米)之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点． (1)的值为__________； (2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若时，到喷水头水平距离为16米的处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由． 地 城 考点15 二次函数的实际应用-投球问题 1．如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．下列说法正确的是（   ） A．小球飞行时飞行高度为 B．小球飞行高度为时，小球飞行的时间是 C．小球飞行的最大高度达到 D．小球从飞出到落地要用 2．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是 ． 3．综合与实践 【知识背景】如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），设小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标． 根据平抛运动的原理可知x，y与时间t的关系如下． 【方案设计】用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为．观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： 1 2 3 10 20 30 【完成任务】 (1)求v和g的值； (2)求小球在做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式； (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为的正方体无盖纸箱（纸箱厚度忽略不计），要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离L的取值范围． 4．多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动．在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似地看成抛物线．阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳．小李与小王分别站在两点摇绳，两位同学的摇绳点高度一致，其他伙伴参与跳绳．已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点E与地面刚好接触时，以点A为坐标原点，地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求此时抛物线的表达式； (2)若参与跳绳的同学站在点F处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？ 地 城 考点16 二次函数的实际应用-其他问题 1．第十五届中国国际航空博览会于2024年11月12日至17日在珠海举办，歼（图甲）是人民空军现役主力战斗机，是一把对空、对海作战，夺取制空权的利剑，它着陆后滑行的距离s与时间t的函数关系如图乙所示（图为抛物线的一部分，其中点P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（   ） A．歼滑行6秒停止 B．歼滑行12秒停止 C．歼向前滑行的速度不变 D．歼向前滑行的速度越来越大 2．综合与实践 数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”又有了新的认识．对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务．    【实验过程】如图1所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据． 【收集数据】记录的数据如下： 运动时间t/s 0 3 6 9 12 15 … 运动速度V/（） 10 8.5 7 5.5 4 2.5 … 运动距离y/ 0 27.75 51 69.75 84 93.75 … 【建立模型】根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图像发现，我们可以用一次函数近似地表示v与t的函数关系，用二次函数近似地表示y与t的函数关系．请直接写出v与t的函数关系式和y与t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．    ①当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是多少？ ②若黑球到达木板A点处的同时，在前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？请说明理由． 3．综合与实践： 某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息： 材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离．从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如下表： 制动时车速 制动距离 探究任务： (1)以车速为横坐标，制动距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点，已知与满足函数关系式，请根据上面提供的数据，求出的值； (2)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车制动时车速； (3)若某司机驾驶这种新型汽车以的速度在快速路上行驶，发现前方处有一障碍物，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由． 地 城 考点17 二次函数的实际应用-拱桥问题 1．如图，有一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面1米时，宽10米，水位再下降3米时为水面，则这时水面宽度为 米． 地 城 考点18 二次函数与特殊三角形综合问题 1．如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过，的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)在两坐标轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 3．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 地 城 考点19 二次函数与其他的综合问题 1．如图，二次函数是初中数学的重要内容，它的图象是抛物线，具有许多独特的性质，下面围绕二次函数的性质展开学习． 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点． 【探究】（1）求的值及抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过点，求当取何值时，函数有最值，并写出此时的值； 【深入探究】（3）在（）的条件下，若抛物线交轴于，两点（点位于点左边），连接，过点作直线于点，交轴于点，交抛物线于点，求交点的坐标； 【拓广探索】（4）在（）的条件下，设直线对应的函数为，二次函数为，若，观察图象，请直接写出的取值范围__________． 2．设抛物线（，b，c是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x 0 1 2 3 y 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 (1)①描点：请将表格中的描在图1中， ②连线：请用平滑的曲线在图1将上述点连接，并求出y与x的关系式； (2)如图2，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，水平跨度为，竖直跨度为，经测量得，，为了求出该抛物线的开口大小，现有如下两种方案，请你任选其中一种方案，并完善过程， 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为______； ②将点坐标代入中，解得______；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为______； ②将点B坐标代入中，解得______；（用含m，n的式子表示） (3)【应用】如图3，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数：和：都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为12，求a的值． 3．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作轴于点D． ①求的最大值； ②连接，是否存在点P，使得线段把的面积分成两部分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）的对称轴是直线，且经过点，点和点在该抛物线上，横坐标分别为和． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，，若时，，求点坐标． (3)若点，点分别在抛物线对称轴两侧的图象上，且，求的取值范围． (4)将此抛物线上两点之间的部分（包括、两点）记为图象，当图象的最大值和最小值之差为5时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 19大高频考点概览 考点01 二次函数的识别 考点02 y=ax²的图像和性质 考点03 y=a（x-h）²+k的图像和性质 考点04 y=ax²+bx+c的图像和性质 考点05 把y=ax²+bx+c化成顶点式 考点06 二次函数图像的平移 考点07 二次函数与各项系数的符号 考点08 抛物线与x轴的交点问题 考点09 抛物线与坐标轴的交点坐标 考点10 图像法解一元二次不等式 考点11 一次函数与二次函数图像的判断 考点12 二次函数的实际应用--经济问题 考点13二次函数的实际应用--图形运动问题 考点14 二次函数的实际应用--喷水问题 考点15 二次函数的实际应用--投球问题 考点16 二次函数的实际应用-其他问题 考点17 二次函数的实际应用--拱桥问题 考点18 二次函数与特殊三角形综合问题 考点19 二次函数与其他的综合问题 地 城 考点01 二次函数的识别 1．下列选项中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的定义，根据二次函数的定义对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】A．，是一次函数，故本选项错误； B．，是反比例函数，故本选项错误； C．，是二次函数，故本选项正确； D．，是一元二次方程，故本选项错误． 故选C． 2．下列函数中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，根据定义：形如的关系式叫二次函数直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A.是二次函数，符合题意， B.不是二次函数，不符合题意， C.不是二次函数，不符合题意， D.不是二次函数，不符合题意， 故选：A． 3．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．是二次函数，故A符合题意； B．是一次函数，故B错误； C．时，不是二次函数，故C错误； D．时右边是分式，不是二次函数，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的函数叫做二次函数． 地 城 考点02 y=ax²的图像和性质 1．二次函数的图象是（   ） A．直线 B．双曲线 C．抛物线 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象特征，理解特征是解题的关键． 根据二次函数的图象特征进行判断即可求解． 【详解】解：由题意得，二次函数的图象是抛物线． 故选：C． 2．二次函数的图象开口方向是向 （填“上”或“下”）． 【答案】上 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系即可直接得出答案． 【详解】解：由可知：， ∴函数图象开口向上， 故答案为：上． 地 城 考点03 y=a(x-h)²+k的图像和性质 1．抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 2．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，对抛物线的顶点坐标的表达方式了熟于心是解本题的关键．根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是， 故选：． 3．雁门关，位于我省忻州市雁门山中，是长城上的重要关隘，以“险”著称，被誉为“中华第一关”，由于地理环境特殊，行车高速路上的隧道较多，如图①是雁门关隧道，其截面为抛物线型，如图②为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式． 【详解】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为， ∴，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线表达式为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式． 4．二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，该函数有最大值， 故选：A． 5．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的性质，能够熟练运用顶点式得出顶点坐标是解题关键．利用顶点式直接得出顶点坐标即可． 【详解】解：∵顶点式的顶点为， ∴的顶点为， 故答案为：． 地 城 考点04 y=ax²+bx+c的图像和性质 1．在二次函数，与的部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 8 0 0 3 … 则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③当时，随的增大而增大；④图象经过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】D 【分析】结合图表可以得出当或2时，；时，，根据待定系数法可求出二次函数解析式，从而根据二次函数的性质判断． 【详解】解：∵由图表可以得出当或2时，；时，， ∴， 解得：， ∴， ∵，∴图象经过原点，故①正确； ∵， ∴抛物线开口向上，故②错误； ∵抛物线的对称轴是， ∴时，y随x的增大而增大，故③正确； 把代入得，， ∴图象经过点，故④正确； ∵抛物线与x轴有两个交点、， ∴有两个不相等的实数根，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数的性质是解题的关键． 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象过点（-2,0），对称轴为直线x=1.有以下结论：①abc>0；②8a+c>0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；④若方程a（x+2）（4-x）=-2的两根为x1，x2，且x1<x2，则-2x1<x2<4. 其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】抛物线开口向上，a>0. 抛物线的对称轴在y轴右侧，a与b异号，b<0. 抛物线交y轴于负半轴，c<0，abc>0，①正确. 抛物线的对称轴为x=1， =1，b=-2a. 当x=-2时，4a-2b+c=0，4a+4a+c=0，即8a+c=0，②错误. A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，根据抛物线的对称性，x1+x2=1×2=2， 当x=x1+x2时，即x=2时，y=4a+2b+c=4a-4a+c=c，③正确. 抛物线的对称轴为x=1，且与x轴的一个交点为（-2，0）， 与x轴的另一个交点为（4，0），原方程为：y=a（x+2）（x-4）. 若方程a（x+2）（4-x）=-2，即方程a（x+2）（x-4）=2的两根为x1，x2，则x1，x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标. 又x1<x2，则x1<-2<4<x2，④错误. 综上所述，正确的结论有2个. 故选B. 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型． 3．设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵函数的解析式是，如图， ∴抛物线的对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴点A关于对称轴的点A′是， 那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小， ∴于是， 故选A． 4．二次函数的图象上有，两点．下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图像上的点和因式分解，比较点和的纵坐标大小，需分析二次函数对称轴及开口方向，结合不同a的取值区间判断函数值关系，解题的关键是比较两个数的大小用作差法； 【详解】解：求对称轴：二次函数的对称轴为. ∴   （代入），  （代入）. ∴   .    分析表达式的符号： 当：均为负，乘积为负，故，故选项A正确. 当：，乘积为正，故，故故选项B、C错误. 当：，乘积为负，故 ， 当：均为正，乘积为正，故，但选项D包含区间，故整体错误. 故选项：A 5．抛物线的图象如图所示，则下列选项中正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查根据二次函数图象判断各项系数的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定a、b的符号由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴， 故选：D． 6．已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．当时，随的增大而减小 C．是方程的一个根 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A．抛物线开口向下，故，则说法错误，不符合题意； B．根据函数图像可知当时，随的增大而增大，原说法错误，不符合题意； C．方程的一个根是，函数对称轴为：，则是方程的一个根，说法正确，故该选项符合题意； D．抛物线交y轴正半轴，则，不符合题意． 故选：C． 7．如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点 ，则的长的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数最值，由求出，，再得出直线解析式为，设，则，则，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，令得， ∴， 令得或， ∴， 设直线直线解析式为， ，解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， 故答案为：． 8．已知点，点，如果抛物线（为实数）与线段（不含端点）只有一个交点，那么的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的开口方向和对称轴，顶点坐标，结合线段，进行分类讨论，即当抛物线的顶点坐标在线段上时，解得或，不符合题意，当顶点在直线的左边时，当顶点的横坐标为时，在直线的右边时，逐个情况分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，开口向上， 则顶点的纵坐标， ∵抛物线（为实数）与线段只有一个交点，且点，点， ∴当抛物线的顶点坐标在线段上时，则， ∴， 解得或； ∵不含端点 ∴或都舍去 故顶点在直线的下方， 当顶点在直线的左边时， ∵开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴的右边，随着的增大而增大，即， 则把代入，得 解得； 则把代入，得 解得； ∴； 当顶点的横坐标为时， 则把代入，得 解得； 则把代入，得 解得； 则与相矛盾，故舍去； ∴无解； 则把代入，得 解得； 则把代入，得 解得； ∴与相矛盾，故舍去； ∴无解； 在直线的右边时， ∵开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴的左边，随着的增大而减小，即， 则把代入，得 解得； 则把代入，得 解得； ∴； 综上：或 那么的取值范围是或 故答案为：或 地 城 考点05 把y=ax²+bx+c化成顶点式 1．把二次函数化为的形式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数解析式的顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键． 根据配方法，把二次函数的解析式转化成顶点式即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 地 城 考点06 二次函数图像的平移 1．将抛物线平移后得到抛物线，平移的方法可以是（   ） A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象平移规则“上加下减”求解即可． 【详解】将抛物线平移后得到抛物线， 平移的方法可以是向下平移3个单位长度． 故选：A． 2．抛物线向上平移4个单位长度后的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】解：将抛物线向上平移4个单位长度，平移后抛物线对应的函数解析式是， 故选：C． 3．将二次函数的图像先向右平移2个单位，再向上平移7个单位，所得新抛物线的表达式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将二次函数的图像先向右平移2个单位，再向上平移7个单位，所得新抛物线的表达式， 故选：C． 4．雨伞是生活中的常见物品，撑开后的雨伞（如图1）是我们熟悉的数学模型-抛物线．在如图2所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，伞骨，的交点为坐标原点，点为抛物线的顶点，，点A，B在抛物线上，且，关于轴对称，点到轴的距离是两点之间的距离为4．设抛物线解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)分别延长，，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离； (3)将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，新抛物线与轴的正半轴相交于点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2或4 【分析】本题考查二次函数综合题，掌握一次函数的性质，图象的平移，面积的计算，确定点的坐标是本题解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）求出直线的表达式为：，联立上述函数和抛物线的表达式求出点的坐标，即可求解； （3）求出平移后抛物线解析式，进而得出与轴的交点，由，即可求解． 【详解】（1）解：∵关于轴对称，，点到轴的距离是 0.6 ， 则点， ∵， ∴， 将点，点代入得， 解得：， 即； （2）解：由（1）得抛物线解析式为：，由点的坐标得直线的表达式为：， 联立抛物线与直线得：． 解得：（舍去）或 ， ， ∴点的坐标为， 则根据对称性可得； （3）解：将抛物线向右平移个单位后的抛物线表达式为：， 令，则， 此时抛物线与轴的交点为， ， 即， 解得：或． ， 或4． 5．已知：二次函数． (1)当时， ①求这个二次函数的解析式及其对称轴； ②已知点与分别在该拋物线对称轴两侧的图象上，且，求m的取值范围； (2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数图象在的范围内有最大值为，求k的值． 【答案】(1)（1）①； ② (2)或 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数顶点式的特点，最值的计算方法，对称性是解题的关键． （1）①把代入得到二次函数解析式，再配方得到顶点式，由此即可求解；②把点点与代入抛物线得到，，根据题意可得，解得，再根据点在该抛物线对称轴两侧的图象上，得到，解得，由不等式解集的取值方法即可求解； （2）根据二次函数平移的规律可得平移后的二次函数的解析式为， 分类讨论：若，①当时，由对称性可得，当时，y有最大值；②当时，由对称性可得，当时，y有最大值；若，当时，在的范围内y的最大值是，而不是；由二次函数最值的计算即可求解． 【详解】（1）解：①当时， 二次函数的解析式为， 配方可得：， 对称轴是直线； ②点与分别在该抛物线的图象上， ，， ， ， 解得：， 点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上， ， ， ． （2）解：二次函数的解析式为，配方可得：， 将二次函数图象向右平移个单位长度， 平移后的二次函数的解析式为， 若， ①当时， 由对称性可得，当时，y有最大值， 把代入，得， 解得：，， ， ； ②当时， 由对称性可得，当时，y有最大值， 把代入，得， 解得：，， ， ； 若， 当时，在的范围内y的最大值是，而不是， 不符合题意，舍去． 综上，k的值为或． 6．已知二次函数（为不等于0的常数）． (1)若二次函数的图像经过点，则________； (2)在（1）的条件下，当时，则的取值范围是________； (3)若二次函数在时有最大值16，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，求二次函数解析式，二次函数的最值问题： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出二次函数解析式，进而得到开口方向和对称轴，从而得到增减性，据此求解即可； （3）先把解析式化为顶点式得到对称轴，再分和两种情况，根据二次函数在时有最大值16讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，该二次函数解析式为， ∴该二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，则的取值范围是； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，函数在处有最大值， ∵二次函数在时有最大值16， ∴， ∴； 当时，则离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数在时有最大值16， ∴当时，， ∴， ∴； 综上所述，或． 7．已知二次函数（是常数）． (1)若，求该二次函数图象的顶点坐标； (2)若该二次函数图象与轴没有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系． （1）把代入，然后化为顶点式求解即可； （2）根据方程的求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴该二次函数图象的顶点坐标为 （2）解：该二次函数图象与轴没有交点，则方程的 即 解得 地 城 考点07 二次函数与各项系数的符号 1．若抛物线的开口向下，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质得出，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， A.，故该选项不符合题意； B.，故该选项不符合题意； C.，故该选项符合题意； D.，故该选项不符合题意； 故选：C ． 2．如图，二次函数的图像经过点，，与y轴交于点C．则以下结论： ①； ②； ③； ④当时，y随x的增大而减少； ⑤若方程没有实数根，则． 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向与y轴的交点可判断①；利用抛物线的对称轴直线对称轴判断②；利用抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，可得到抛物线的最小值，进而可判断结论③；利用抛物线的增减性可判断④；利用一元二次方程的判别式结合即可求解⑤． 【详解】对于①：二次函数开口向上，故a＞0，与y轴的交点在y的负半轴，故c＜0，故ac＜0，因此①错误； 对于②：二次函数的图象与x轴相交于A（−2，0）、B（4，0），由对称性可知，其对称轴为：，又对称轴直线为，所以，所以因此，故②正确； 对于③：∵抛物线的对称轴为，抛物线开口向上， ∴当时，， ∴， 则 ∴因此③正确； 对于④：∵抛物线的对称轴为，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减少， 则有当时，y随x的增大而减少，故④正确； 对于⑤：∵若方程没有实数根， ∴ ＜0， 解得，故⑤正确； ∴正确的有②③④⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与其系数的关系及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象性质是解决此类题的关键． 3．二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵二次函数图象与y轴的正半轴相交， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴，故②不正确； ∵，， ∴，故③不正确； ∵当时，；当时，； ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，①④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象与性质，以及二次函数与方程之间的关系．熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 地 城 考点08 抛物线与x轴的交点问题 1．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是函数图象与轴的交点，分两种情况分析，求出的取值范围即可． 【详解】解： 当时，函数是二次函数， 函数的图象与轴有交点， 解得且． 当时，函数是一次函数，图象与轴有交点， 综上所述 故选：C． 2．二次函数与轴的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象与轴的交点和对应一元二次方程的根的情况之间的联系，令，则，然后通过根的判别式即可求解，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解题的关键． 【详解】解：令，则， ∴， ∴抛物线与轴有个交点， 故选：． 地 城 考点09 抛物线与坐标轴的交点坐标 1．抛物线与y轴的交点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，根据y轴上点的横坐标为0求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点是． 故选C． 地 城 考点10 图像法解一元二次不等式 1.如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的与x轴的交点问题，对称性．求出二次函数的图象与x轴的另一个交点，再结合图象，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线． ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，x的取值范围是． 故选：C 2．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为， 由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上， 由图可知，当或时，对应的y值小于3， 因此的解集为：或． 故选：D． 3．二次函数y＝的图象如图.当y>0时，自变量x的取值范围是（ ） A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3 【答案】D 【详解】试题分析：有图象知：当y>0时，图象是在x轴是上方的部分，所以自变量x的取值范围是x＜－1或x＞3.故选D. 考点：二次函数的图象与自变量的取值范围. 4．如图为二次函数（）图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的与x轴的交点问题，对称性．求出二次函数的图象与x轴的另一个交点，再结合图象，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线． ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， 又∵函数图象开口向下， ∴当时，x的取值范围是． 故选：B 地 城 考点11 一次函数与二次函数图像的判断 1．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象确定出a的符号，进而判断二次函数的图象开口方向，再结合两个图象的交点即可判断求解，掌握二次函数与一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：A、由于一次函数和二次函数的图象都经过点，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向上，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向上，且图象都经过点，故此选项符合题意； D、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向下，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意． 【详解】解：选项A中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象对称轴位于y轴左侧，与y轴交点在负半轴，故选项A不符合题意； 选项B中，由一次函数的图象可知，，，，由二次函数的性质可知图象对称轴位于y轴左侧，与y轴交点在负半轴，故选项B符合题意； 选项C中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象对称轴位于y轴左侧，与y轴交点在负半轴，故选项C不符合题意； 选项D中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象对称轴位于y轴左侧，与y轴交点在负半轴，故选项D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．已知直线经过一、二、三象限，则抛物线大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线经过一、二、三象限，可确定，由，抛物线开口向上，可判断D不正确，由抛物线的对称轴x≠0，可判断C不正确，由x=抛物线对称轴在y轴左侧可判断D不正确，A正确． 【详解】解：∵直线经过一、二、三象限， ∴， ∵，抛物线开口向上，则D不正确， ∵， ∴抛物线的对称轴x≠0，则C不正确， 由x=， 抛物线对称轴在y轴左侧，则D不正确，A正确， 故选择：A． 【点睛】本题考查一次函数经过象限确定抛物线的位置，掌握抛物线的性质，特别是抛物线的性质与系数的关系是解题关键． 4．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数得性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 5．如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象在第一象限交于点．当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和正比例函数的性质，解题的关键是注意利用数形结合的思想． 利用已知函数图像得出在下方时，x的取值范围即可． 【详解】如图所示：若，则二次函数图像在一次函数图像的下面， 此时x的取值范围是：． 故选：A． 6．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据，两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 地 城 考点12 二次函数的实际应用-经济问题 1．某商场销售一批玩具，进价为50元/件，售价为60元/件时，每月可售200件．根据市场调查发现，售价每涨1元，则每个月会少售出10件（售价不能高于72元/件）．则该种玩具的售价为 元/件时，该商场每个月的利润最大． 【答案】65 【分析】本题考查了二次函数的应用．设售价上涨元，利润为元，则售价为元，销量为件，根据题意列出关于的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设售价上涨元，利润为元，则售价为元，销量为件， 根据题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值为2250． 元， ∴该种玩具的售价为65元/件时，该商场每个月的利润最大． 故答案为：65． 2．季节交替容易引发呼吸道疾病，越来越多的家庭选择购买空气净化器来预防呼吸道疾病，某商场的一款空气净化器（如图1）特别畅销．已知进价是每台20元，根据市场调查发现，每月的销售量y（台）与售价x（元/台）是一次函数关系，如图2所示： (1)求y与x的函数关系式； (2)某月该商场出售这种空气净化器获得了24000元的利润，该空气净化器的售价是多少？ (3)若某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台，该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)该空气净化器的售价是60元/台或80元/台 (3)该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是25000元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用及二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和方程，利用二次函数的性质解答． （1）根据函数图象可设函数解析式为：，利用待定系数法求出 y与x的函数关系式； （2）根据月该商场出售这种空气净化器获得了24000元的利润和（1）中的结果，可以列出相应的方程，从而可以求得该空气净化器的售价； （3）根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质和x的取值范围，即可求得相应的最大利润． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将，代入可得： ，解得， 即与之间的函数关系式为； （2）解：由题意可得， ， 解得，， 答：该空气净化器的售价是60元/台或80元/台； （3）解：设所获利润为元， ， ∵某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台， ∴， 解得． ∴当时，有最大值，此时， 答：该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是25000元． 3．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，销售单价为25元时，日销售量是50个；当单价为35元时，销售量是30个．已知日销售量（个）与销售单价（元）之间是一次函数关系． (1)求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)设该玩具日销售利润为元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，二次函数的最值，理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式是解题的关键． （1）直接用待定系数法，求出一次函数的关系式； （2）根据题意，列出与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案． 【详解】（1）解：设一次函数的关系式为， 由题意可知，函数图象过点和点， 把这两点的坐标代入一次函数， 得， 解得：， ∴一次函数的关系式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：； ， ∴当时，有最大值，最大值为800； ∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元． 4．红日商场出售某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每天可卖出100件．市场调查发现，该商品每降价1元，每天可多卖出10件，由于供货方的原因每天销售不得超过200件．设该商品每件降价x元（x为整数），每天的销售利润为w元． (1)请分析题意，写出该商品在售价60元的情况下再降件x元时，每件商品的利润为__________元，每天能售卖该商品__________件；（用含x的代数式表示） (2)求w与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (3)该商品每件降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)， (2)（且x为整数） (3)该商品每件降价5元时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元 【分析】（1）根据售价减进价等于利润求出每件商品的利润,由原销售数量增加的件数得到每天售卖件数； （2）根据利润=（售价进价）×数量求解即可； （3）根据（2）所求关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：该商品在售价60元的情况下再降件x元时，每件商品的利润为元，每天能售卖该商品件， 故答案为：， （2）依题意，解得．的取值范围为． 依题意得． 与x之间的函数关系式是（且x为整数）． （3），且x是整数． 当时，w取得最大值为2250元． 答：该商品每件降价5元时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 5．界首市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?． ②要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为 元? 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)①该品牌头盔的实际售价应定为50元；②65 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可； （2）①设该品牌头盔的实际售价为a元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可求出答案． ②设该品牌头盔每月获得的利润为y元，则，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意可得，， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：①设该品牌头盔的实际售价应定为a元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元． ②设该品牌头盔每月获得的利润为y元，则 ， ，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为12250． ∴该品牌头盔每个的售价为65元． 故答案为：65 【点睛】本题考查了列一元二次方程解决增长率问题和利润问题，以及根据二次函数的性质求最大值问题．找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 6．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 (2)（） (3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． （3） ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 地 城 考点13 二次函数的实际应用-图形运动问题 1．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，两点同时停止运动．则的最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，设运动时间为，则，，，，然后用面积公式得出二次函数解析式，最后利用性质即可求解，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，，， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴当时，的面积有最大值，为， 故答案为：． 2．如图1，在边长为正方形中，动点同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），的面积为（单位：），则关于的函数图象如图2． (1)求关于的函数解析式； (2)当为何值时，有最大值，最大值是多少． (3)当为何值时，为． 【答案】(1) (2)当时，S取得最大值8 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，以及二次函数的应用． （1）分当时和当时两种情况求解即可； （2）结合图象求解即可； （3）分当时和当时两种情况求解即可； 【详解】（1）当时， ∵， ∴． 当时，如图，连接， 由题意知，， ∴ ， ∴； （2）由图象可知，在两段函数分界点处S取得最大值， ∴当时，S取得最大值，最大值为； （3）当时， 由，得（负值舍去）． 当时， 由，得（负值舍去）． 综上可知，当或时，为． 地 城 考点14 二次函数的实际应用-喷水问题 1．综合与实践 项目式学习：安全用电，防患未然 项目背景 近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约的火灾都在充电时发生．某校八年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． 素材1 调查分析：图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2是其喷射截面示意图，在中，米，喷嘴O到地面的距离米． 素材2 模型构建：由于干粉灭火器只能扑灭明火，不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头，如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线． 学校的停车棚左侧靠墙建造，如图4，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知消防喷淋头的出水口M到墙面的水平距离为2米，到地面高度为米，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． 素材3 问题解决：已知车棚宽度为8米，电动车的电池距离地面高度为米．创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池． 任务解决 任务1 （1）求图2中地面有效保护直径的长度； 任务2 （2）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （3）按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为多少米？ 任务3 （4）喷淋头N距离喷淋头M至少为多少米？ 【答案】（1）；（2）；（3）米；（4）米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，勾股定理，三线合一定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三线合一定理可得，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由题意得，点M的坐标为，，据此把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）根据（2）所求，求出当函数值为0时的自变量的值即可得到答案； （4）根据题意可得点N在点M右侧，设二者相距t米，则喷淋头N的水柱外层所在抛物线的函数解析式为，求出当抛物线恰好经过时，t的值即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 在中，由勾股定理得米， ∴米， ∴图2中地面有效保护直径的长度为； （2）由题意得，点M的坐标为，， 设该水柱外层所在抛物线的函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴该水柱外层所在抛物线的函数解析式为； （3）在中，当时，解得或， ∴， ∴米， ∴喷淋头M的地面有效保护直径为米； （4）设喷淋头N在喷淋头M的右侧，且二者相距t米， 则喷淋头N的水柱外层所在抛物线的函数解析式为， 当抛物线恰好经过时， 则， 解得或（舍去）， ∴喷淋头N距离喷淋头M至少为米． 2．项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 3．如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度(单位：米)与水柱落地处距离喷水头的距离(单位：米)之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点． (1)的值为__________； (2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若时，到喷水头水平距离为16米的处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)米 (3)不能 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用 （1）把点代入即可； （2）先求出抛物线与直线的解析式，再设抛物线上一点，过点作轴交于点，则，求出的长度，再用函数的性质求最值即可； （3）根据平移的性质先求出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可． 【详解】（1）解：把点代入得，， 故答案为：1； （2）解：设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 抛物线的解析式为， 即， 坡地经过点， 的解析式为， 如解图， 设抛物线上一点，过点作轴交于点， 则，的长为， ， 函数图象开口向下，有最大值，最大值为， 水柱与坡面之间的最大铅直高度为米； （3）解：不能； 理由：当灌溉装置水平向后移动4米时，平移后的抛物线解析式为． 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ， 水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树． 地 城 考点15 二次函数的实际应用-投球问题 1．如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．下列说法正确的是（   ） A．小球飞行时飞行高度为 B．小球飞行高度为时，小球飞行的时间是 C．小球飞行的最大高度达到 D．小球从飞出到落地要用 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的运用，掌握二次函数图象的性质，自变量、函数值的计算是解题的关键． 根据二次函数图象及解析式，代入计算即可求解． 【详解】解：当时，，故A选项错误，不符合题意； 当时，， 解得，或，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴当时，小球飞行的最大高度为，故C选项错误，不符合题意； 当时，， 解得，或， ∴小球从飞出到落地要用，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 2．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的图象性质可得出结论． 【详解】解：根据函数的图象可得抛物线的对称轴方程为：， ∵函数的开口向下， ∴在时，足球到达最高点， 即足球到达最高点所需的时间是 故答案为： 3．综合与实践 【知识背景】如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），设小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标． 根据平抛运动的原理可知x，y与时间t的关系如下． 【方案设计】用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为．观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： 1 2 3 10 20 30 【完成任务】 (1)求v和g的值； (2)求小球在做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式； (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为的正方体无盖纸箱（纸箱厚度忽略不计），要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离L的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据图表与坐标系相结合得出正确信息是解题的关键． （1）根据当时，，代入；当时，，代入，分别求解即可； （2）利用（1）中所求得出，即可得出抛物线的解析式； （3）将代入（2）中所求解析式即可得出答案； 【详解】（1）解： ，将代入中， 解得， ，将代入， 解得， ，； （2）解：，， ，， ， ∴， 小球在做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式为． （3）解：桌面高度为，正方体无盖纸箱高度为，小球要落入纸箱， 则小球要在时进入纸箱． 将代入中， 解得，（不合题意，舍去）． 正方体纸箱高度为，则它的长与宽也是， 纸箱左侧到桌子的最短的水平距离为． 纸箱左侧到桌子的水平距离L的取值范围为． 4．多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动．在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似地看成抛物线．阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳．小李与小王分别站在两点摇绳，两位同学的摇绳点高度一致，其他伙伴参与跳绳．已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点E与地面刚好接触时，以点A为坐标原点，地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求此时抛物线的表达式； (2)若参与跳绳的同学站在点F处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？ 【答案】(1) (2)该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意可得：抛物线的顶点E为，从而可设抛物线为，又抛物线过点，将其代入求得a的值即可解答； （2）依据题意可得：F的横坐标为4，从而G的纵坐标即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线的顶点E为，， ∴可设抛物线为． 又∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线为． （2）解：如图：过F作轴交抛物线与G， 由题意可知，F的横坐标为，则断G的横坐标为4， ∴点G的纵坐标为 ∴该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过． 地 城 考点16 二次函数的实际应用-其他问题 1．第十五届中国国际航空博览会于2024年11月12日至17日在珠海举办，歼（图甲）是人民空军现役主力战斗机，是一把对空、对海作战，夺取制空权的利剑，它着陆后滑行的距离s与时间t的函数关系如图乙所示（图为抛物线的一部分，其中点P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（   ） A．歼滑行6秒停止 B．歼滑行12秒停止 C．歼向前滑行的速度不变 D．歼向前滑行的速度越来越大 【答案】A 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，二次函数的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．先由函数图象可知，当时，滑行的距离最大，再结合随着时间的推移，滑行的距离变化越来越平缓，即滑行的速度越来越小，即可作答． 【详解】解：由函数图象可知，当时，滑行的距离最大， ∴歼滑行6秒停止，故A说法正确，B说法错误； 由函数图象可知，随着时间的推移，滑行的距离变化越来越平缓，即滑行的速度越来越小，故C、D说法错误， 故选A． 2．综合与实践 数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”又有了新的认识．对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务．    【实验过程】如图1所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据． 【收集数据】记录的数据如下： 运动时间t/s 0 3 6 9 12 15 … 运动速度V/（） 10 8.5 7 5.5 4 2.5 … 运动距离y/ 0 27.75 51 69.75 84 93.75 … 【建立模型】根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图像发现，我们可以用一次函数近似地表示v与t的函数关系，用二次函数近似地表示y与t的函数关系．请直接写出v与t的函数关系式和y与t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．    ①当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是多少？ ②若黑球到达木板A点处的同时，在前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？请说明理由． 【答案】【建立模型】；；①当黑球在水平木板上滚动了64cm时，运动速度是6cm/s；②不能，理由见解析． 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用等知识，关键是明确题意求出函数表达式． 由表格中数据可知运动速度与运动时间是一次函数，设关于的函数解析式，代入两组数值即可求解，由表格中数据运动距离与运动时间是二次函数，设运动距离与运动时间之间的函数解析式为，，代入三组数值求解即可； ①把代入（1）中解析式求出，再求即可； ②设黑球与小车的距离为，得即可得到结论． 【详解】解：由表格中数据可知运动速度与运动时间是一次函数， 设关于的函数解析式，把，代入解析式得： ， 解得， ∴， 由表格中数据可知运动距离与运动时间是二次函数， 设运动距离与运动时间之间的函数解析式为， 把，，代入解析式得 ， 解得， ∴， ①由题可知：当时，， 解得：，． 当时，； 当时，（舍去）； ∴当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是． ②设黑球与小车的距离为， ， ． ， 抛物线开口向上， 当时，w的最小值为6， ， 黑球不会碰到小车． 3．综合与实践： 某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息： 材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离．从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如下表： 制动时车速 制动距离 探究任务： (1)以车速为横坐标，制动距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点，已知与满足函数关系式，请根据上面提供的数据，求出的值； (2)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车制动时车速； (3)若某司机驾驶这种新型汽车以的速度在快速路上行驶，发现前方处有一障碍物，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)有碰撞危险，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用．一元二次方程的应用，根据所给表格和函数图象判断出相应的函数为哪种函数是解决本题的易错点；关键是理解并应用得到的函数解析式． （1）根据题意描点连线，即可求解； 观察函数和表格中的数据可猜测函数关系式为过原点的抛物线，根据设出抛物线解析式，把表格中的任意一点代入可得的值，即可求得函数表达式； （2）取，代入（1）中得到的函数解析式，求得合适的的值即可； （3）取，代入（1）中得到的函数解析式，求得制动距离的值，进而计算出制动非安全距离与所给的比较即可得到是否有碰撞危险． 【详解】（1）解：描点，连线如图所示： 将，代入， ∴， 解得， 这个函数的表达式为：； （2）当时，， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：制动距离约为15m时该款汽车制动时车速约为50； （3）有碰撞危险， 理由如下：当时，． 又∵反应距离为， ∴制动非安全距离为：， ∵， ∴有碰撞危险． 地 城 考点17 二次函数的实际应用-拱桥问题 1．如图，有一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面1米时，宽10米，水位再下降3米时为水面，则这时水面宽度为 米． 【答案】20 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键． 设抛物线解析式为，进而求出解析式，即可得出水面的宽． 【详解】解：根据题意，设抛物线解析式为， 由已知抛物线过点，则， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当时，则， 解得：， ， 故答案为：20． 地 城 考点18 二次函数与特殊三角形综合问题 1．如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过，的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)在两坐标轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为；点的坐标为 (2)存在，，，，，，，， 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与等腰三角形的综合，掌握代数系数法，二次函数与特殊三角形的综合，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）将代入抛物线解析式，运用待定系数法可得二次函数解析式，根据二次函数图象与坐标轴交点的计算方法即可求解； （2）根据等腰三角形的判定和性质，分类讨论：第一种情况：当使得是以为底边的等腰三角形，点在线段的垂直平分线上，①当点在轴上时，，设；②当点在轴上时，，设；由等腰三角形的性质列式计算；第二种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点；第三种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点；由此即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点是二次函数与轴的交点    ∴点的横坐标为0， 将带入解析式中，求得， ∴点的坐标为； （2）解：存在，满足题意的点，使得是等腰三角形． ∵，， ∴，且， ∴， 第一种情况：当使得是以为底边的等腰三角形，点在线段的垂直平分线上，如图所示， ①当点在轴上时，，设， ，， ， 解得，此时； ②当点在轴上时，，设， ，， ， 解得， 此时； 第二种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点，即有3个点满足要求此时，，； 第三种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点，即有3个点满足要求此时，，； 综上所述：存在，，，，，，，使得是等腰三角形． 2．如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． （3）解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 3．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 地 城 考点19 二次函数与其他的综合问题 1．如图，二次函数是初中数学的重要内容，它的图象是抛物线，具有许多独特的性质，下面围绕二次函数的性质展开学习． 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点． 【探究】（1）求的值及抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过点，求当取何值时，函数有最值，并写出此时的值； 【深入探究】（3）在（）的条件下，若抛物线交轴于，两点（点位于点左边），连接，过点作直线于点，交轴于点，交抛物线于点，求交点的坐标； 【拓广探索】（4）在（）的条件下，设直线对应的函数为，二次函数为，若，观察图象，请直接写出的取值范围__________． 【答案】（），对称轴；（）当时，有最小值，；（）；（）． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次函数的性质即可求解； （）由（）得，，则二次函数解析式为，又抛物线经过点，则可求出二次函数解析式为，然后配方即可求解； （）由解析式求出，然后通过等腰三角形的判定得出，得出，求出直线解析式为，再联立，解得：或即可得出交点的坐标； （）由（）得，，即与的交点坐标为，，然后通过图象即可求解． 【详解】解：（）∵二次函数的图象与轴交于点， ∴，抛物线对称轴为直线； （）由（）得，， ∴二次函数解析式为， ∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，有最小值，； （）由（）得：二次函数解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得：或， ∴交点的坐标为； （）由（）得，， 即与的交点坐标为，， ∵， ∴观察图象可得出的取值范围是， 故答案为：． 2．设抛物线（，b，c是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x 0 1 2 3 y 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 (1)①描点：请将表格中的描在图1中， ②连线：请用平滑的曲线在图1将上述点连接，并求出y与x的关系式； (2)如图2，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，水平跨度为，竖直跨度为，经测量得，，为了求出该抛物线的开口大小，现有如下两种方案，请你任选其中一种方案，并完善过程， 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为______； ②将点坐标代入中，解得______；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为______； ②将点B坐标代入中，解得______；（用含m，n的式子表示） (3)【应用】如图3，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数：和：都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为12，求a的值． 【答案】(1)①见解析，②图见解析， (2)方案一：①；②；方案二：①；②； (3)或． 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可； （2）根据图形写出点或点B的坐标，再代入求解即可； （3）先求得，，的顶点坐标为，再求得顶点距线段的距离为，得到的顶点距线段的距离为，得到的顶点坐标为或，再分类求解即可． 【详解】（1）①描点如图所示， ②连线如图所示， 把点代入得到 ，解得， ∴y与x的关系式为； （2）解：方案一：①∵，， ∴， 此时点的坐标为； 故答案为：； ②由题意得， 解得， 故答案为：； 方案二：①∵C点坐标为，，， ∴， 此时点B的坐标为； 故答案为：； ②由题意得， 解得， 故答案为：； （3）解：根据题意和的对称轴为， 则，，的顶点坐标为， ∴顶点距线段的距离为， ∴的顶点距线段的距离为， ∴的顶点坐标为或， 当的顶点坐标为时，， 将代入得，解得； 当的顶点坐标为时，， 将代入得，解得； 综上，a的值为或． 3．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作轴于点D． ①求的最大值； ②连接，是否存在点P，使得线段把的面积分成两部分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)①当时，取得最大值，最大值为；②存在，点P的坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①设设，交于点E，则，，利用等腰直角三角形性质可得，进而可得，运用二次函数的性质即可求得答案；②延长交y轴于点F，设，则，分两种情况：当时，当时，分别得出或，建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①设，交于点E，如图1所示， 则，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为； ②存在，点P的坐标为或， 如图2，延长交y轴于点F， 设，则， 当时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 即，解得或（舍去）， ∴， 当时，同理可得， 即，解得或（舍去）， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质.熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用分类讨论思想，方程思想是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）的对称轴是直线，且经过点，点和点在该抛物线上，横坐标分别为和． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，，若时，，求点坐标． (3)若点，点分别在抛物线对称轴两侧的图象上，且，求的取值范围． (4)将此抛物线上两点之间的部分（包括、两点）记为图象，当图象的最大值和最小值之差为5时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合抛物线（是常数）的对称轴是直线，且经过点，得出，再解得的值，即可作答． （2）因为抛物线的解析式为，点和点在该抛物线上，横坐标分别为和．则，，结合，，得出，再解得，即可作答． （3）结合，对称轴是直线，得开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，因为点，点分别在抛物线对称轴两侧的图象上且，得，解得，因为，故； （4）因为抛物线的对称轴是直线，且经过点，得点A关于对称轴直线对称的点为，因为开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，得，结合图象的最大值和最小值之差为5，，进行分类讨论，再列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线（是常数）的对称轴是直线，且经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为； ∵点和点在该抛物线上，横坐标分别为和． ∴，， 即， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， 则， 解得， 故， ∴点坐标为； （3）解：∵，对称轴是直线， ∴开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵点，点分别在抛物线对称轴两侧的图象上， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴； （4）解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点， ∴点A关于对称轴直线对称的点为 ∵，对称轴是直线， ∴开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵点在该抛物线上，横坐标为． ∴ ∵将此抛物线上两点之间的部分（包括、两点）记为图象，图象的最大值和最小值之差为5， ∴当时，则 ∴ ∴， 解得（舍去） ∴当时，则 ∴ ∴ 此方程无解； 把代入，得 即顶点坐标为 ∴当时，则 ∴ ∴ 解得（舍去） 综上：满足题意的的值为或． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $