第四章 数列（复习课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学单元复习课件系统梳理了数列的核心知识，涵盖数列概念、等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及性质，通过单元知识图谱将数列与函数的内在联系、等差与等比数列的逻辑脉络串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的复习策略，如通过构造法证明数列类型、错位相减法求和等例题，培养学生的逻辑推理与运算能力，分层训练题满足不同水平学生需求，帮助教师精准教学，有效巩固知识并提升数学思维。

单元复习课件 第四章 数列 人教A版2019选择性必修第二册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.进一步理解数列、等差数列、等比数列等核心概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式及有关性质； 3.掌握数列的基本思想方法，并运用这些基本思想方法求几类特定数列的通项公式与前n项和公式. 2. 厘清数列知识发展脉络，把握数列与函数之间的内在联系，建立数列知识网络结构图 单元学习目标 数列 概念 表示 数列是一种特殊的函数 表格 递推公式 图像 通项公式 等差数列 等比数列 概念 前n项和公式 通项公式 概念 前n项和公式 通项公式 应用 单元知识图谱 一、数列的概念 （一）数列的基本概念 1.数列的定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 2.项：数列中的每一个数叫做这个数列的项. 3.数列的通项公式：如果数列{an}的第 n 项an与与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，简称通项 。 4.数列的递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，···，排在第n位的数称为这个数列这个数列的第n项. 考点串讲 一、数列的概念 （二）数列的分类 递减数列：从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列. 递增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列. 摆动数列: 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 常数列：各项相等的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). 对任意n∈N*，总有an+1=an (或an+1-an=0). 按数列的单调性分类 有穷数列：个数有限的的数列 无穷数列：个数无限的的数列 按数列的项数分类 考点串讲 二、等差数列 （一）等差数列的概念 1.等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 2.符号表示： an+1 - an=d（d为常数，n∈N*） an - an-1=d（d为常数，n≥2，n∈N*） 考点串讲 二、等差数列 （一）等差数列的概念 3.等差中项:由三个数a, A, b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 由等差数列的定义，可知： 4.等差数列的通项公式:首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为 an= a1＋(n－1)d an= am＋(n－m)d 等差数列的通项公式的一般形式 考点串讲 二、等差数列 （一）等差数列的概念 5. 等差数列的函数特征： 函数图象上所有的点在同一条直线上： d＞0,等差数列单调递增； d＜0,等差数列单调递减； d＝0,等差数列为常数列. 考点串讲 二、等差数列 （二）等差数列的前n项和公式 (1) (2) 1.等差数列的前n项和公式: 在两个求和公式中, 各有五个元素, 只要知道其中三个元素, 结合通项公式就可求出另两个元素——知三求二. 考点串讲 二、等差数列 （二）等差数列的前n项和公式 2.等差数列的前n项和Sn的最值 有最小值S1 有最大值S1 有最大值 有最小值 考点串讲 二、等差数列 (三)等差数列的性质 性质1 若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． 性质2 在等差数列{an}中，若p＋q＝s＋t(p,q,s,t∈N*)，则ap＋aq＝as＋at. (1)特别地: 若m＋n＝2p(m,n,p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 推广 (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 考点串讲 二、等差数列 (三)等差数列的性质 性质3 数列{an}, {bn}是项数相同的等差数列, 公差分别为d1, d2,则数{pan+qbn}(p,q为常数)是公差为 的等差数列. pd1+qd2 推广 若数列{an}是公差为d的等差数列，c为常数，则有 ①数列{c＋an}是公差为 的等差数列； ②数列{c·an}是公差为 的等差数列； d cd 性质4 数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn (A,B为常数). 考点串讲 二、等差数列 (三)等差数列的性质 性质5 性质6 性质7 性质8 性质9 考点串讲 二、等差数列 (四)等差数列的判定 考点串讲 三、等比数列 （一）等比数列的概念 1.等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等差数列的公比，通常用字母q表示. 2.符号表示： 考点串讲 三、等比数列 （一）等比数列的概念 3.等比中项:由三个数a, G, b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，G叫做a与b的等比中项. 由等比数列的定义，可知： 4.等比数列的通项公式:首项为a1，公差为q的等比数列{an}的通项公式为 a, G, b成等比数列  (ab>0) an=a1qn-1 (n∈ ) 考点串讲 三、等比数列 （一）等比数列的概念 5. 等比数列的函数特征： l 0<q<1 q>1 q=1 指数函数 y=qx 的单调性   等比数列an=a1qn-1的 单调性 不变 不变 单调递减 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递增 a1>0 a1<0 考点串讲 三、等比数列 （一）等比数列的概念 6. 等比数列与等差数列的互化 数列{an}是等差数列⇔数列 是等比数列. 数列{an}是正项等比数列⇔数列{logban}是等差数列. b>0且b≠1 考点串讲 三、等比数列 （二）等比数列的前n项和公式 1.等比数列的前n项和公式: 考点串讲 2.等比数列前n项和公式Sn的函数特征： 当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数. 当q≠1时， 即Sn是n的指数型函数. 三、等比数列 （二）等比数列的前n项和公式 考点串讲 三、等比数列 (三)等比数列的性质 性质1 若{an}是等比数列，公比为q，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公比为qm的等比数列． 性质2 在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t(m,n,s,t∈N*)，则aman＝asat . (1)特别地: 若m＋n＝2k(m,n,k∈N*)，则有aman＝ak2. 推论 (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1an＝a2an－1＝…＝akan－k＋1＝…. 考点串讲 三、等比数列 (三)等比数列的性质 性质3 数列{an}, {bn}都是等比数列, 公比分别为p, q，则数列{anbn}是公比为 的等比数列. pq 推论 若数列{an}, {bn}都是等比数列, 公差分别为p, q，λ为常数则有 数列 是等比数列，公比为 ； 数列 是等比数列，公比为 ； 数列 是等比数列，公比为 ； 数列 是等比数列，公比为 ； 数列 是等比数列，公比为 ； p p2 | p | 考点串讲 三、等比数列 (三)等比数列的性质 性质4 若等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn，则Sn, S2n－Sn, S3n－S2n ,…成等比数列,其中公比为qn. 性质5 若等比数列{an}的项数有2n项，则 S偶＝qS奇 ⇔ 性质6 若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则 S奇＝a1＋qS偶 ⇔ 考点串讲 三、等比数列 (四)等比数列的判定 考点串讲 【题型一】等差、等比数列的基本运算 【例1】(1)已知数列 为等差数列，，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 解法一： 联立 解得 故 . 解法二：由题意得 ， 解得， ， 解得 ， 故等差数列的公差为 ， 故 . C 题型剖析 【题型一】等差、等比数列的基本运算 【例1】(2)在公比为整数的等比数列中，若， ， 则这个数列的前8项和 _____. 510 [解析] 设等比数列的公比为， ， 则①， ， 由①②解得或 （舍去）， 所以，所以 . 题型剖析 【训练1】(1)在等比数列中，，，则 ( ) A. B. C. D. 3 [解析] 解法一：因为 是等比数列， 所以，又与， 同号， 所以 ，故选C. 解法二：设等比数列的公比为 ， 则，即，即 ， 所以 .故选C. C 针对训练 【训练1】(2)在数列中， ，，是数列的前项和，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由，可得 ， 由等差数列的定义可得，数列 是首项为2，公差为2的等差数列， 所以 ， ， 所以 . B 针对训练 【题型二】等差、等比数列的判定与证明 【例2】(1)已知数列满足，，证明：数列 是等差数列， 并求出数列 的通项公式； [解析] ， ， 即 ， 故数列 是首项和公差都为2的等差数列， ，即 . 题型剖析 【题型二】等差、等比数列的判定与证明 【例2】(2)已知数列满足，，证明： 是等比数列， 并求出数列 的通项公式. [解析] 由，得 ， 所以 ， 所以是首项为 ，公比为3的等比数列， 所以 ， 即 . 题型剖析 【训练2】已知各项均为正数的数列 满足，，， . (1)证明：数列 为等比数列； 证明因为 ， 所以 . 又因为 ， 所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)记，证明:数列为等差数列，并求数列 的通项公式. [答案] 由（1）知， ， 所以 ， 所以数列是以为首项， 为公差的等差数列， 所以 . 针对训练 【题型三】等差、等比数列的性质及应用 【例3】(1)已知等差数列，且 ，则数列 的前14项和为 ( ) C A. 14 B. 28 C. 35 D. 70 [解析] 因为 为等差数列， 所以 ， 所以 ， 则数列 的前14项和 .故选C. 题型剖析 【题型三】等差、等比数列的性质及应用 【例3】(2)等比数列的前项和为，若，，则 ( ) A. 24 B. 12 C. 24或 D. 或12 [解析] 因为等比数列的前项和为 ， 所以，， 成等比数列， 因为， ， 所以 ， 解得或 ， 设等比数列的公比为 ， 因为 ， 所以，则 .故选A. A 题型剖析 【训练3】(1)已知等比数列 的各项均为正数，且，则 _____. 100 [解析] 因为 为等比数列， 所以 ， 所以 ， 所以 . 针对训练 【训练3】(2) 已知是等差数列的前 项和，若，，则 _____. 180 [解析] 由等差数列前 项和的性质得， ，， 成等差数列， 所以 ， 得 ， 解得 . 针对训练 【题型四】等差数列与等比数列的综合 【例4】已知数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和为 <m></m> ， <m></m> . (1)求数列 <m></m> 的通项公式； [解析] 当 <m></m> 时， <m></m> ，可得 <m></m> ； 当 <m></m> 时， <m></m> ， 所以 <m></m> ， 即 <m></m> . 因为 <m></m> ， 所以数列 <m></m> 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以 <m></m> . 题型剖析 【题型四】等差数列与等比数列的综合 (2)从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.若公差不为0的等差数列<m></>的前</m>项和为<m></m>，且 ，求数列<m></m>的前<m></m>项和<m></m>. ①<m></m>，m</m>；②<m></m>是<m></m>和<m></m>的等比中项，m</m>. [解析] 设数列 <m></m> 的公差为 <m></m> ， 若选择①，由题意得 <m></m> 解得 <m></m> . 所以 <m></m> ， 由（1）得， <m></m> ，所以 <m></m> ， 所以 <m></m> ， <m></m> ， 题型剖析 两式相减得 <m></m> <m></m> ， 所以 <m></m> . 若选择②，易知 <m></m> ， 即 <m></m> ，即 <m></m> ， 因为 <m></m> ，所以 <m></m> ， 所以 <m></m> ， 解得 <m></m> ， 以下同①. 题型剖析 【训练4】正项等差数列<m></m>满足<</m>，且 成等比数列，<m></m>的前<m></m>项和为<m></m>. (1)求数列 <m></m> 的通项公式； (2)令 <m></m> ，求数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和 <m></m> . 在① <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ；② <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ；③ <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 这三个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答此题. [解析](1)设数列 <m></m> 的公差为 <m></m> ， 若选①，则由已知得 <m></m> ， 化简得 <m></m> ，解得 <m></m> 或 <m></m> （舍）， 所以 <m></m> . 若选②，则由已知得 <m></m> ， 化简得 <m></m> ，解得 <m></m> 或 <m></m> （舍）， 所以 <m></m> . 针对训练 若选③，则由已知得 <m></m> ， 化简得 <m></m> ，解得 <m></m> 或 <m></m> （舍）， 所以 <m></m> . (2)因为 <m></m> ， 所以 <m></m> ， 所以 <m></m> . 针对训练 【题型五】数列与方程、不等式的综合 【例5】已知数列<m></m>的前m</m>项和为<</m>, <m></m>, <m></m>与<m></m>的等差中项是</m>． (1)证明：数列 <m></m> 为等比数列； [解析] (1)证明：因为 <m></m> 和 <m></m> 的等差中项是 <m></m> ， 所以 <m></m> ，即 <m></m> . 由此得 <m></m> , 即 <m></m> ，又 <m></m> , 所以数列 <m></m> 是以 <m></m> 为首项， <m></m> 为公比的等比数列． 题型剖析 【题型五】数列与方程、不等式的综合 【例5】已知数列<m></m>的前m</m>项和为<</m>, <m></m>, <m></m>与<m></m>的等差中项是</m>． (2)求数列 <m></m> 的通项公式； [解析] 由（1）得 <m></m> ，即 <m></m> , 所以当 <m></m> 时， <m></m> , 又 <m></m> 时， <m></m> 也适合上式，所以 <m></m> . 题型剖析 【题型五】数列与方程、不等式的综合 【例5】已知数列<m></m>的前m</m>项和为<</m>, <m></m>, <m></m>与<m></m>的等差中项是</m>． (3)若对任意正整数 <m></m> ，不等式 <m></m> 恒成立，求实数 <m></m> 的最大值． [解析] 要使不等式 <m></m> 对任意正整数 <m></m> 恒成立，即 <m></m> 小于或等于 <m></m> 的所有值． 因为 <m></m> 随着 <m></m> 的增大而增大， 所以当 <m></m> 时， <m></m> 取得最小值， <m></m> ， 所以要使 <m></m> 小于或等于 <m></m> 的所有值，即 <m></m> ， 所以实数 <m></m> 的最大值为1. 题型剖析 【训练5】已知数列<</m>的前<m></m>项和为<m></m>，数列<m></m>满足<m></m>，<m></m>，<m></m>. (1)求数列 <m></m> ， <m></m> 的通项公式； [解析] 由数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和为 <m></m> ， 得 <m></m> ，① <m></m> ， <m></m> ，② ①-②得 <m></m> ，所以 <m></m> ， <m></m> . 当 <m></m> 时， <m></m> 符合题意，所以 <m></m> ， <m></m> . 因为 <m></m> ，所以 <m></m> ， <m></m> ,得 <m></m> <m></m> , <m></m> . 当 <m></m> 时， <m></m> 符合题意，所以 <m></m> ， <m></m> . 针对训练 【训练5】已知数列<</m>的前<m></m>项和为<m></m>，数列<m></m>满足<m></m>，<m></m>，<m></m>. (2)若数列 <m></m> 满足 <m></m> , <m></m> ，求满足 <m></m> 的最大正整数n. [解析] 因为 <m></m> ， 所以 <m> </m> ， 因为 <m></m> ， 所以 <m></m> ， 所以满足 <m></m> 的最大正整数 <m></m> 为7. 针对训练 一、几种常见求数列前n项和的方法 1.公式法 (2)两类特殊数列的前n项和 (1)等差、等比数列的前n项和公式； 2.裂项相消法 (1)通项公式为分式，可用待定系数法对通项公式拆项； (2)记住常见的拆项公式 课堂总结 一、几种常见求数列前n项和的方法 3.错位相减法 (1)形如cn＝an·bn, 一个是等差数列,一个是等比数列; (2)步骤：乘公比，错位减 (2)数列{an}与首末两端等“距离”的两项和相等,则用倒序相加法求和. 4.倒序相加法 (1)将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an)； 课堂总结 一、几种常见求数列前n项和的方法 5.分组求和法 (2)数列{an}与{bn}是已知求和方法的数列； (1)一般情况下形如cn＝an±bn ； (1)适用于通项中含有(－1)n的数列[摆动数列] ; 6.并项求和法 (2)也可分奇数项和偶数项求和 课堂总结 二、几种常见数列通项公式的求法 (一)利用Sn和an的关系 题型形式： 理论公式： 解题方法： 1.当n ≥2时， an =Sn － Sn-1 ； 2.当n =1时， a1 =S1 ； 已知Sn =f (an)或Sn =f (n)或Sn =f (Sn-1) 3.检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式. 课堂总结 二、几种常见数列通项公式的求法 (二)利用递推公式 1. 累加法 ——an+1 = anf(n)型数列 题型形式： 解题方法： 形如an+1－ an = f (n)或an+1 = an +f (n) 1.写出an+1－ an = f (n)的形式； 4.检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式. 3.得到an－ a1的值，解出an ； 2.写出an－ an-1 , an-1 － an-2 , … , a2 － a1，并将它们累加起来； 课堂总结 二、几种常见数列通项公式的求法 (二)利用递推公式 2. 累乘法 ——an+1 = anf(n)型数列 题型形式： 解题方法： 4.检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式. 形如 或an+1 = an ·f (n) 1.写出 的形式； 2.写出 ，并将它们累乘起来； 3.得到 的值，解出an ； 课堂总结 二、几种常见数列通项公式的求法 (二)利用递推公式 3. 构造法(1) —— an+1 = pan＋q（ p,q为常数）型数列 题型形式： 解题方法： 形如an+1=pan +q (其中p, q为常数，且pq(p－1)≠0) 1.假设递推公式为an+1+t = p(an+t )的形式(将原递推公式做一个常数的配给调整)，然后将其整理成与原递推公式的形式相同 ； 2.由待定系数法(根据对应项相等原则)，解得 ； 3.求数列 的通项公式 ； 4.求数列{an}的通项公式 . 课堂总结 二、几种常见数列通项公式的求法 (二)利用递推公式 4. 构造法(2) —— an+1 = pan＋kn+b （ p、k、b为常数）型数列 题型形式： 解题方法： 形如an+1=pan +kn+b (其中p, k, b为常数，且pk(p－1)≠0) 1.假设递推公式为an+1+x(n+1) +y= p(an+xn+y )的形式； 2.由待定系数法(根据对应项相等原则)，求出x, y的值； 3.求数列{an +xn+y }的通项公式 ； 4.求数列{an}的通项公式 . 课堂总结 二、几种常见数列通项公式的求法 (二)利用递推公式 题型形式： 解题方法： 4.求数列{an}的通项公式 . 1. 递推公式的两边同时除以qn+1，得 ； 3. 利用构造法(1)求数列{bn}的通项公式 ； 2.设 ，则递推公式转化为 ； 5. 构造法(3) —— an+1 = pan＋qn （ p、q为常数）型数列 形如an+1=pan +qn (其中p,q为常数，且pq(p－1)≠0) 课堂总结 二、几种常见数列通项公式的求法 (二)利用递推公式 题型形式： 解题方法： 4.求数列{an}的通项公式 . 1. 将递推公式的两边取倒数或同时除以anan+1 ，得 ； 形如 或qanan+1 + ran+1 =pan(其中p, q, r为常数) 2.设 ，则递推公式转化为 ； 3.利用构造法(1)可求数列{bn}的通项公式 ； 课堂总结 感谢聆听! (1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an＝d (d为常数)． (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1. (3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数). (4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 设A＝－，则Sn＝Aqn－A. (1)定义法：对任意n∈N*，＝q (q是不为0的常数)． (2)等比中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足＝an＋1an－1. (3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝cqn(p，q为常数). (4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝ ②13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2 ①12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1) $