5.1导数的概念及其意义（1）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 十七、十八世纪期间，数学家常把自己的研究内容跟不同领域，如物理、化学、力学、技术等的研究联系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰．其中，牛顿和莱布尼茨在前人探索的基础上，凭着敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑． 牛 顿 莱 布 尼 茨 莱布尼茨（1646--1716），德国哲学家、数学家，职业是律师、外交官，他是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德。 牛顿（1643--1727），爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家、数学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》。 微积分的创立与四类科学问题处理直接相关: 一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程； 二是求曲线的切线； 三是求函数的最大值与最小值； 四是求长度、面积、体积和重心等问题. 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具． 在本章，我们将通过实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想，感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义． 3 5.1　导数的概念及其意义1 4 “已知物体运动的路程关于时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等”和“求曲线的切线”问题是导数产生过程中比较经典的两个问题，今天这节课就让我们追随这些伟大数学家的脚步，也从物体的速度开始研究. 结合之前学习的函数单调性，不同类型函数的增或减的快慢也不同．我们能否精确定量刻画变化速度的快慢呢？ 我们以高台跳水运动员的速度为例来研究. 问题1 高台跳水运动员的速度 全红婵，2007年3月28日出生于广东湛江，中国国家跳水队女运动员. 2022年6月，全红婵在2022年布达佩斯世界游泳锦标赛中勇夺跳水3米板/10米台混合全能金牌、女子单人十米跳台银牌、女子双人十米跳台金牌 ， 她实现了奥运会、世锦赛和世界杯的金牌大满贯。 在一次高台跳水运动中,某运动员的重心在运动过程中相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系： h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 问题1 高台跳水运动员的速度 　　直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段，运动得越来越慢，在下降阶段，运动得越来越快． 思考1：运动的快慢程度用哪个物理量来描述？ 我们可以把整个运动时间段分成许多小段, 用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态. 速度 7 我们发现，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－5. 事实上，由 可以发现，当∆t在无限趋近于0时， －4.9 ∆t也无限趋近于0 , 所以 无限趋近于－5. 这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把－5叫做“当△t无限趋近于0时， 的极限”， 记为 从物理的角度看，当时间间隔| ∆t |无限趋近于0时，平均速度 就无限趋近于t= 1时的瞬时速度，因此，运动员在t=1s 时的瞬时速度v(1)=－5 m/s. 平均速度的极限即为瞬时速度 方法归纳 求运动物体瞬时速度的步骤: 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下： ①写出时间改变量Δt，位移改变量Δs,Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0); ②求平均速度： ； ③求瞬时速度v：当Δt→0时， →v是常数. 题型二　求瞬时速度 [典例2]已知质点M做直线运动，且位移(单位：cm)随时间(单位：s)变化的函数为s＝2t2＋3. (1)当t＝2，Δt＝0.01时，求平均速度； (2)求质点M在t＝2时的瞬时速度． 思考3：什么叫直线与圆相切？ 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 如果一条直线与一条抛物线只有一个公共点， 那么这条直线与这条抛物