四川省成都西川中学北区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025-2026学年四川省成都市武侯区西川中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具.如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是(    ) A. B. C. D. 2.若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d为 A. 15 B. C. D. 3.数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是(    ) A. 黑球 B. 红球 C. 黄球 D. 白球 4.如图，在▱ABCD中，AC，BD为两条对角线.添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是菱形，这个条件是(    ) A. B. C. D. 5.已知点，和都在反比例函数为任意实数图象上，则，与的大小关系是(    ) A. B. C. D. 6.下列说法中，正确的是(    ) A. 所有的矩形都相似 B. 正三棱柱的俯视图不一定是等边三角形 C. 方程只有一个实数根 D. 反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 7.观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是(    ) x A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，点，，，，若点C在函数的图象上，则k的值为(    ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 9.已知方程的一个根是2，则k的值为______. 10.在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动.由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，则参与者小刚和小利被分配到同一组的概率为        . 11.如图，点C是线段AB的一个黄金分割点，且，其中，则        结果保留根号 12.如图，点P在反比例函数的图象上，过点P作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点Q，连接OP，若，则k的值为      . 13.如图，在中，在AC边上取一点D，根据下列作图过程： ①以点B为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边AB、BC交于点M、N； ②以点D为圆心、BM长为半径向内作弧，交AD于点P； ③以点P为圆心、MN长为半径作弧，在内与前弧交于点Q； ④作射线DQ交AB于点 若与四边形BCDE的面积之比为9：16，则的值为        . 14.已知，和是同一个反比例函数图象上的两个点，则______. 15.已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为      . 16.在中，，AD是BC边上的高，并且，则的度数为______. 17.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.如图所示，已知点A的坐标为，点B在x轴的上方，的面积为6，则内部不含边界的整点的个数为        . 18.如图，在▱ABCD中，，，且连接AC、BD，点P为内部一点，满足，则P到BD的距离为        . 三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题12分 解方程： ； 20.本小题8分 自然界大部分彩色的光都可以通过红、绿、蓝三种颜色的光按照不同比例混合而成，所以这三种色光又被称为光的“三原色”.在一次数学课上，老师利用光的三原色设计了一个“配紫色”游戏红色和蓝色配在一起为紫色，如图，甲转盘被均匀地分成3个扇形，分别涂为红、绿、蓝三种颜色，乙转盘被涂上红色与蓝色，蓝色部分的扇形圆心角是同时转动两个转盘，当转盘停止转动时，用两个转盘指针所指的颜色配色若指针指在分割线上，需重新转动，直到指针指向某扇形为止 转动乙转盘，指针指向蓝色的概率为______； 同时转动两个转盘，请用画树状图或列表的方法求转盘停止时指针所指的颜色可配成紫的概率. 21.本小题8分 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度.如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距OD为厘米. 求像的长度. 已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长. 22.本小题10分 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点B作交OE的延长线于点F，连接 求证：四边形AOBF为矩形； 若，，求AB的长及点A到BC的距离. 23.本小题10分 在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点. 请直接写出A，B两点的坐标； 在该反比例函数的图象上取一点C，连接OC，AC，直线AC交射线OB于点D，若∽，且相似比为2，求a的值； 在直线AB的上方有一点P，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为k，且与在点P的同侧，若M，N两点恰好都落在中所求出的反比例函数的图象上，当k取最小值时，求P的坐标. 24.本小题8分 在某学校的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场如图所示，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门. 设AB为x米，请用含x的式子表示AD：______； 若养鸡场的面积是160平方米，求养鸡场的宽AB为多少米？ 25.本小题10分 如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、 求双曲线的解析式； 如图2，连接 ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由. 26.本小题12分 如图，四边形ABCD是正方形，动点F从点C出发，沿BC延长线运动，连接DF，点E在线段CD上，且，射线AE交对角线BD于点G，交线段DF于点 求证：； 求证：； 将点F关于直线DC对称，F的对应点为，连接，取中点M，当正方形ABCD的边长为4时，求点M的路径长. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：“斗”的俯视图的是： . 故选： 根据俯视图的意义，判断解答即可． 本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：线段a，b，c，d成比例线段， ：：d，即1：：d， 故选： 利用比例线段的定义得到a：：d，然后根据比例性质求出d的值． 本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d满足  a：：即，我们就说a、b、c、d是成比例线段，简称比例线段． 3.【答案】C  【解析】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在左右，所以抽到该球的概率为， 因为抽到白球的概率为， 抽到红球的概率为， 抽到黄球的概率为， 抽到黑球的概率为， 所以该种球的颜色最有可能是黄球． 故选： 用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 本题考查了利用频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键． 4.【答案】B  【解析】解：A、四边形ABCD是平行四边形，， ▱ABCD是菱形，故不符合题意； B、四边形ABCD是平行四边形，， ▱ABCD是矩形，故符合题意； C、四边形ABCD是平行四边形，， ▱ABCD是菱形，故不符合题意； D、四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， ， ▱ABCD是菱形，故不符合题意； 故选： 根据菱形的判定定理判断即可． 本题考查了菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：反比例函数为任意实数中，， 反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， 点，和都在反比例函数为任意实数图象上， 、B在第三象限内，C在第一象限内， ，，， ， ， 故选： 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：A、所有的矩形不一定相似，故原说法错误，不符合题意； B、正三棱柱的俯视图不一定是等边三角形，也可能是矩形，故原说法正确，符合题意； C、方程有两个不相等的实数根，故原说法错误，不符合题意； D、反比例函数的图象是轴对称图形，也是中心对称图形，故原说法错误，不符合题意． 故选： 利用相似图形的定义、简单几何体的三视图、一元二次方程的根的判别式及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 本题主要考查了相似图形的定义、简单几何体的三视图、一元二次方程的根的判别式及反比例函数的性质等知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不断． 7.【答案】C  【解析】解：因为时，， 时，， 所以方程解的范围为 故选： 利用表中数据可判断方程解的范围为，然后对各选项进行判断即可得出答案． 本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 8.【答案】C  【解析】解：作轴，垂足为点D， 点，， ，， ，， ∽， ， ， ，， ， ， 点C在函数的图象上， 故选： 利用∽求出OD和CD，得到点C坐标即可求出k值． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． 9.【答案】  【解析】解：将代入方程， 得， 解得 故答案为： 将代入方程可以求出k的值． 本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值． 10.【答案】  【解析】解：参与者小刚和小利随机分配A，B，C三组的其中一组，所有等可能出现的结果如下： 共有9种等可能出现的结果，其中小刚和小利被分配到同一组的有3种， 所以参与者小刚和小利被分配到同一组的概率为， 故答案为： 用树状图表示参与者小刚和小利随机分配A，B，C三组的其中一组，所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 本题考查列表法和树状图法，能够用树状图表示参与者小刚和小利随机分配A，B，C三组的其中一组，所有等可能出现的结果是正确解答的关键． 11.【答案】  【解析】解：点C是线段AB的一个黄金分割点，且， ， ， ， 故答案为： 根据黄金分割的定义求出AB的长，即可解决问题． 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：令QP与y轴的交点为D，如图， 轴， 轴， ， ， 解得：， ， ， 故答案为： 反比例函数上任意一点，作坐标轴的垂线，与原点构成的三角形的面积等于的一半，令QP与y轴的交点为D，由轴得，从而可，即可求得k的值， 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：由作图可知， ， ∽， ， 与四边形BCDE的面积之比为9：16， 与的面积之比为9：25， ， 负根已经舍去 故答案为： 证明∽，推出，可得结论． 本题考查相似三角形的判定和性质，作图-复杂作图，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 14.【答案】  【解析】解：，和是同一个反比例函数图象上的两个点， ， 故答案为 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于m的方程即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即 15.【答案】  【解析】解：，是方程的两实数根， ， ， ，， ， ， 解得：舍或； 故答案为： 由方程有两个实数根得，根据根与系数的关系得，，然后代入计算即可． 本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 16.【答案】或  【解析】解：当为锐角时， ，AD是BC边上的高得， ，， ∽， ， ； 当为钝角时， 同理可得，∽ 故答案为：或 根据已知可得到∽，注意可以是锐角也可是钝角，故应该分情况进行分析，从而确定度数． 本题考查了相似三角形的性质，分类讨论思想，知道分类讨论是解题的关键． 17.【答案】3或4或5  【解析】解：由题知， 因为点A的坐标为，点B在x轴的上方，且的面积为6， 所以， 解得， 所以点B在直线上， 如图1，2，3所示， 结合图形得内部不含边界的整点的个数为3或4或 故答案为：3或4或 根据题意，得出点B在直线上，据此画出图形即可解决问题． 本题考查三角形面积公式，“整点”等基础知识，运用数形结合的思想是解本题的关键． 18.【答案】  【解析】解：连接AP并延长交AB于点F，连接OP，过点P作于点H，于点Q，如图所示： ， ， ， 在中，，，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ， 点P在BC的垂直平分线上， 是BC的垂直平分线， ， 根据等腰直角三角形性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 四边形PHAQ是矩形， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， 矩形PHAQ是正方形， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 四边形ABCD是平行四边形， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 设点P到BD的距离为h， ， 又， ， 解得：， 即点P到BD的距离为 故答案为： 连接AP并延长交AB于点F，连接OP，过点P作于点H，于点Q，依题意得是等腰直角三角形，AF是BC的垂直平分线，先由勾股定理求出，，进而得，证明四边形PHAQ是正方形，由勾股定理得，进而得，根据平行四边形性质得，由此得，，再由勾股定理求出，设点P到BD的距离为h，则，然后根据得，由此解得，即可得出点P到BD的距离． 此题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活利用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 19.【答案】    【解析】解：， ， 则， 所以； ， ， 则， 所以 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可； 利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程-公式法及解一元二次方程-直接开平方法，熟知公式法及直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 20.【答案】；    【解析】转动乙转盘，指针指向蓝色的概率为， 故答案为：； 列表如下： 红 绿 蓝 红 红，红 绿，红 蓝，红 红 红，红 绿，红 蓝，红 蓝 红，蓝 绿，蓝 蓝，蓝 由列表可知：转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率为 根据几何概率求解即可； 列表求出所有等可能的结果数，再找出能配出紫色的结果数，然后利用概率公式求解即可． 本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21.【答案】解：由题意得：，，，， ， ∽， ， ∽， ， ， ， 答：像的长度为厘米． 过点作交MN于点E，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， 同理：四边形ACOP为平行四边形， ， ，， ， ∽， ， ， ∽， ， 厘米 答：凸透镜焦距OF的长为厘米．  【解析】利用相似三角形的判定与性质，通过证明∽与∽解答即可； 过点作交MN于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22.【答案】证明：， ，E是AB的中点， ， 在和中， ， ≌， ， 四边形AOBF是平行四边形， 四边形ABCD是菱形， ， ， 平行四边形AOBF为矩形  的长为，点A到BC的距离为  【解析】证明：， ，E是AB的中点， ， 在和中， ， ≌， ， 四边形AOBF是平行四边形， 四边形ABCD是菱形， ， ， 平行四边形AOBF为矩形； 解：如图，过A作于点H， 四边形ABCD是菱形， ，，，， ，点E是AB的中点， ， ， ， ， ， ， 解得：负值已舍去， ，， ， ， 即， 解得：， 答：AB的长为，点A到BC的距离为 证明≌，得，则四边形AOBF是平行四边形，然后由菱形的性质得，则，即可得出结论； 由菱形的性质得，，，再求出，，则，，然后由菱形的面积即可解决问题． 本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解题的关键． 23.【答案】，      【解析】解：当时，， ， 当时，， ， ； 如图1， 作轴于E， 由知：， ， ， ∽，且相似比为2， ，， ，， ， ， ， ； 如图2， 和位似， ，， ，当MN最小时，k最小， 当MN过O点时，MN最小，此时MN的解析式为：， 由得：， ，， ， ，，，， 直线BN的解析式为：直线AM的解析式为：， 由得， ， ， 分别求当时，y的值，及当时，x的值，进而得出结果； 作轴于E，根据∽，且相似比为2得出，，从而，，进而得出，进一步得出结果； 根据和位似得出，，从而得出，当MN最小时，k最小，从而得出当MN过O点时，MN最小，此时MN的解析式为：，进而得出M，N的坐标，进一步得出NB和MA的解析式，进而得出点P坐标． 本题考查了反比例函数和一次函数有关知识，位似图形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 24.【答案】米  养鸡场的宽AB为8米  【解析】解：设米，则米， 故答案为：米； 设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：养鸡场的宽AB为8米． 根据题意列出代数式即可； 根据养鸡场的面积是160平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25.【答案】双曲线的解析式；  ①；②的值不发生变化，理由见解析．  【解析】， ， ， 双曲线的解析式 ①由题意，当时，，令，得， ，即 令，得，即， ，即， 又联立方程， 或 设点D的坐标为，， ②的值不发生变化，理由如下：过C作轴于H， 如图：在中，令得，令得， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形． 设，则， ， ， 由反比例函数可得，， ，即， ，即的值不发生变化，为 依据题意，由非负数的性质可得，，再利用待定系数法求解即可； ①依据题意，求出点，，即可求出OB，OA，然后求出C的坐标，从而求出的面积，又设点D的坐标为，，根据则求出m的值，即可得解； ②依据题意，过C作轴于H，证得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，设，则，可得，然后再根据题意可得，进而可以得解． 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 26.【答案】证明：四边形ABCD是正方形， ，， ， ≌，   证明：四边形ABCD是正方形， ，，， ，， ∽， ， 由知：， ， ∽， ， ， ， ，， ， ，   点M的路径长为：  【解析】证明：四边形ABCD是正方形， ，， ， ≌， ； 证明：四边形ABCD是正方形， ，，， ，， ∽， ， 由知：， ， ∽， ， ， ， ，， ， ， ； 解：如图， 取CD的中点W，取BC的中点V，连接WV，交于，作，交WV于X， ， 四边形ABCD是正方形， ，， ，， ，， ， ， ， 点F关于CD的对应点为， ， ， ， ， ， ， ≌， ， 点M是的中点， 点M和重合， 点M运动的路径是WV， ， 点M的路径长为： 可证明≌，从而得出； 可证明∽，从而，可证明∽，从而，可证得，从而，进而证得结论； 取CD的中点W，取BC的中点V，连接WV，交于，作，交WV于X，可证得≌，从而得出，进而得出点M和重合，从而得出点M运动的路径是WV，进一步得出结果． 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $