15.1 轴对称——探究与发现：三角形中边与角之间的不等关系 教学设计2025-2026学年人教版八年级数学上册

“ 三角形中边与角的不等关系” 教学设计 教学目标： 1.知道三角形中边与角的不等关系；能利用轴对称的性质进行探究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角相等的知识，解决边角之间的不等问题. 2.经历"观察→猜想→验证→证明"等一系列活动，获得合情推理、归纳推理能力，积累数学活动经验. 3.在观察、操作、想象、论证、交流的过程中,发展学生的空间观念、应用意识与创新意识，激发学生学习兴趣. 教学重点:通过构造全等三角形和等腰三角形实现对三角形中一个角的转化，将边角之间的不等问题转化为相等问题进行 教学难点:在折叠的试验中得出辅助线的作法． 【教学媒体与资源的选择与应用】 根据本节课内容的特点，为了更直观、形象的突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以观察发现为主，多媒体演示为辅的教学组织方式，在教学过程中，通过设置一系列学生的折纸活动，几何画板配合演示，创设问题情境，启发学生思考，让学生亲身体验知识的产生、开展和形成的过程. 【学具准备】三角形纸片数张、剪刀、三角板、圆规等. 【课时安排】 一课时 教学过程： 一、溯源拓新 如图，∠ACD是△ABC的外角， 则∠ACD______∠A+∠B,∠ACD______∠B. （1）△ABC是等腰三角形，AB=AC，则∠B____∠C. (2)在△ABC中，∠B=∠C，则AB_____AC (3)在研究等腰三角形边与角的数量关系时，我们应用了哪些探究方法？ 二、用数学眼光观察 （1）观察猜想 问题1：同学们拿出自己课前准备好的不等边三角形，在三角形中不相等边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？请同学们拿出课前准备的不等边三角形。通过观察猜想一下不等边三角形中边与角之间有什么样的数量关系？ 得出猜想:大边对大角.(边越大对应的角也就越大) （ ２） 实验探究，验证猜想 度量： ①小组合作测量展示成果：（1） （2） （3） （4） ②几何画板验证 【资料展示】几何画板展示 ＡＢ ＝ ＡＣ，ＡＢ＞ＡＣ，ＡＢ＜ＡＣ 三种情况： ①ＡＢ ＝ ９．３６ 厘米，∠Ｃ ＝ ４５．７０° ＡＣ ＝ ９．３６ 厘米，∠Ｂ ＝ ４５．７０° ②ＡＢ ＝ １４．５７ 厘米，∠Ｃ ＝ ８９．１８° ＡＣ ＝ ６．６３ 厘米，∠Ｂ ＝ ２７．０６° ③ＡＢ ＝ ５．６６ 厘米，∠Ｃ ＝ ２０．５９° ＡＣ ＝ １５．５５ 厘米，∠Ｂ ＝ １０５．１７° 图1 图2 图3 三、用数学思维思考 折叠 教师提问：同学们从折纸的过程中获得了什么启发？你们想到可以怎样证明两个角不等了吗？ 设计意图：学生通过折纸活动得出各种各样的证明方法，为后面添加辅助线、构造基本图形奠定了基础，并通过小组代表展示，提高了语言表达能力和归纳能力． ③证明猜想 教师提问：我们通过折纸和几何画板验证了之前的猜想是正确的，大家能否用学过的知识来证明呢？刚才我们通过两种方法进一步验证了我们猜想的准确性。接下来我们一起用几何语言来描述上面小组的推理过程。 四、用数学语言表达 证明：如图 ，作∠Ａ 的平分线 ＡＤ，交 ＢＣ 于点 Ｄ， 在边 ＡＢ 上截取 ＡＥ ＝ ＡＣ，连接 ＤＥ． ∵ ＡＤ 为∠ＢＡＣ 的角平分线， ∴ ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＣＡＤ． 在△ＥＡＤ 和△ＣＡＤ 中， ∴ △ＥＡＤ≌△ＣＡＤ（ ＳＡＳ）， ∴ ∠Ｃ ＝ ∠ＡＥＤ． ∵ ∠ＡＥＤ＞∠Ｂ， ∴ ∠Ｃ＞∠Ｂ． （ ３） 及时归纳 在一个三角形中，大边对大角． （ 几何语言：在△ＡＢＣ 中，∵ ＡＢ＞ＡＣ，∴ ∠Ｃ＞∠Ｂ．） 设计意图：不同的添加辅助线方法的本质其实是相同的，都是通过构造全等三角形或者等腰三角形，将其中一个角进行转化，把不等问题转化为相等问题进行求解，培养了学生总结归纳的能力． 五、实战演练 (1) 在△ABC中，已知BC＞AB＞AC，那么∠A，∠B，∠C有怎样的大小关系？ (2) 如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形吗？为什么？ (3) 直角三角形的哪条边最长？为什么？ 六、小组总结互评 接下来请同学们谈谈你在本节课学到了哪些知识？应用了哪些数学方法？ 七、教师总结 八、课后作业 基础作业：选择一种自己喜欢的方法证明“ 大边对大角”． 拓展作业：通过类比转化的思想证明“大角对大边”. 设计意图：这里通过作业规范学生书写推理的过程，进一步巩固所学知识，同时对“ 大角对大边” 的证明进行拓展思考，让学有余力的学生在课后进行探究，提高知识方法的迁移能力． 九、板书设计 三角形中边与角的不等关系 观察： 猜想： 大边对大角 实验： 证明：已知：在△ABC中，ＡＢ＞ＡＣ 求证：∠Ｃ＞∠Ｂ 数学思想：类比思想，转化思想 十、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $