专题05 统计量的应用（五大压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级下册

专题05 统计量的应用 目录 典例详解 类型一、平均数的计算 类型二、加权平均数的计算 类型三、中位数的计算 类型四、方差的计算 类型五、频数分布表与直方图 压轴专练 类型一、平均数的计算 【例1】已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】 【详解】解：数据的平均数为． ∵平均数和众数相等， ∴需使众数等于平均数． 当时，数据为6,8,8,10，众数为8，平均数为，两者相等． 当时，众数为6，平均数为7.5，不相等． 当时，众数为10，平均数为8.5，不相等． 当时，数据无众数或众数不唯一，平均数为9，与任何数都不等． ∴． 故选：B． 【例2】五个数的平均数是，如果把其中一个数改为，则这五个数的平均数变为，改动前这个数是 ． 【答案】 【详解】解：改前后平均数的差：， 改的数前、后之差：， ． 答：改动前这个数是． 故答案为：． 【变式1-1】销售部门在月底统计了5名员工本月销售某产品的业绩情况，其中4名员工的销售业绩（单位：个）分别为180，178，180，177，已知这5名员工销售业绩的平均数与众数相同，且众数唯一，则第5名员工销售该产品的销售业绩为（   ） A．177个 B．178个 C．180个 D．185个 【答案】D 【详解】解：∵已知4名员工的销售业绩为180，178，180，177，其中180出现2次，出现的次数最多，且众数唯一， ∴众数是180． 设第5名员工销售该产品的销售业绩为个． ∵这5名员工销售业绩的平均数与众数相同， ∴， ， ， ． 故选：D． 【变式1-2】小英期末考试语文得88分，英语得94分，她想语文、数学、英语三科的平均分不低于93分，数学至少应得 分． 【答案】97 【详解】解：数学至少应得分， 故答案为：． 【变式1-3】两组数据：3，a，b，5与a，4，2b的平均数都是3.若将这两组数据合并为一组新数据，求这组新数据的众数． 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意得， ， 解得， 这两组数据为：，，，和，，，这两组数合并成一组新数据， 在这组新数据中，出现次数最多的是，因此众数是． 类型二、加权平均数的计算 【例3】某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【分析】 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 【例4】某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示： 候选人 通识知识 专业知识 实践能力 甲 乙 (1)如果学校认为这三项素质测试成绩同等重要，谁会被录取； (2)如果学校根据实际需要，将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按的比例确定最终成绩，部分看不清楚，最后甲被录取，通过计算说明被覆盖的部分最小值． 【答案】(1)乙将被录取； (2)最小值为． 【分析】 【详解】（1）解：甲的平均成绩为分， 乙的平均成绩为分， ∵， ∴乙将被录取； （2）解：设被覆盖的部分为，则， 解得， ∴的最小值为． 【变式2-1】某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是 分． 【答案】 【详解】解：设小安数学得分为分， 则， 解得， ∴小安数学得分是分， 故答案为：． 【变式2-2】某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，根据统计，调整前后各景点的旅客日平均人数基本不变，有关数据如下表： 景点 A B C D E 原价/元 20 20 25 30 50 现价/元 10 10 25 40 60 日平均人数 500 500 1000 2000 1000 (1)该风景区称调整前后这5个景点门票的平均价格不变，日平均收入也持平，则该风景区是怎样计算的？ (2)旅客认为调价后该风景区的日平均收入较调价前实际增加了近13%，则旅客是怎样计算的？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：风景区计算：调整前的平均价格是（元）， 调整后的平均价格是（元）． 因为调整前后的平均价格不变，日平均人数基本不变，所以日平均收入也持平． （2）解：游客计算：原日平均收入是（元）， 现日平均收入是175000（元）， 所以日平均收入增加了． 【点睛】本题考查了平均数的计算方法，从不同的方面得到的平均数的意义不同． 【变式2-3】为监测备考效果，某校教研组开展了以“紧抓‘四基’，把握核心知识”为主题的适应性练习（百分制），下面是珍珍同学在本次练习中取得的成绩（单位：分）． 项目 数与代数 图形与几何 统计与概率 成绩 85 80 81 (1)求珍珍同学三个项目成绩的平均数； (2)若把数与代数、图形与几何、统计与概率三项成绩按照的比例计入综合成绩，通过计算可知综合成绩比（1）的平均数提高了0.6分，求m的值． 【答案】(1)82分 (2)4 【分析】 【详解】（1）解：（分）， ∴珍珍同学三个项目成绩的平均数为82分； （2）根据题意，得， 解得,经检验为原分式方程的解， 的值为4． 类型三、中位数的计算 【例5】现有一组数据：，，，，，，若该组数据的中位数是，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将已知数据排列为：，，，， ， ∵ 数据个数为偶数，中位数为排序后第三个和第四个数的平均值，且中位数为， ∴ 排序后第三个和第四个数之和为 数据排序取决于： 若，排序后第三个和第四个数为和，中位数为； 若，排序后第三个和第四个数均为，中位数为； ，排序后第三个和第四个数为和，中位数为． ∴． 故选：C． 【例6】数学老师在统计一个班35人的数学考试成绩时，算出中位数是80分，但后来发现其中一位同学的成绩记录有误，将75分写成了55分，那么实际这次考试成绩的中位数是 分． 【答案】80 【分析】 【详解】解：由于该班有35人参加考试，35是奇数． 将35个学生的成绩按从小到大排序后，中位数是第个数． 把75分写成55分，两个数都比中位数小，那么第18个数不会改变． 因为原来的中位数是80分，即原来排序后第18个数是80分，所以修改成绩后，第18个数依然是80分，即实际这次考试成绩的中位数还是80分． 答案为：80． 【变式3-1】一组数据由五个正整数组成，中位数是4，且唯一的众数是7，则这五个正整数的平均数等于（　　） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】 【详解】∵一组数据由五个正整数组成，中位数是4， ∴4左边有两个数，4右边有两个数， ∵唯一的众数是7， ∴4左边有两个数不相等，4右边有两个数均为7 即这五个正整数为1，2，4，7，7或1，3，4，7，7或2，3，4，7，7 ，， 故选：D． 【变式3-2】某校八年级学生在一次数学测验中的成绩统计如下表，若成绩的中位数是80分，则x的最小值为 ． 成绩（分） 60 70 80 90 100 人数 5 10 12 8 【答案】6 【详解】解：∵中位数为80分， ∴将成绩按从小到大排列，中位数位置必须落在80分组的范围内，即第16人到第人之间， 学生的总人数为：人， 当为奇数时，中位数位置为第个，需满足： ， 解得：； 当为偶数时，中位数位置为第和个数的平均数，需满足： ， 解得：； 当时，总人数为为奇数，满足条件； 当时，总人数为为偶数，也满足条件； ∴的最小值为6． 故答案为：6． 【变式3-3】已知如下的两组数据： 第一组：20，21，22，25，24，23； 第二组：20，21，23，25，，26． 若两组数据的中位数相等，实数 ． 【答案】22 【分析】 【详解】解：第一组：20，21，22，25，24，23排列后为20，21，22，23，24，25， ∴中位数为， ①第二组：20，21，23，25，，26排列为：，20，21，23，25，26，中位数为，不符合题意； ②第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，，21，23，25，26，中位数为，不符合题意； ③第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，，23，25，26，中位数为，解得：； ④第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，23，，25，26，中位数为，解得：，此时，不符合题意； ⑤第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，23，25，，26，中位数为，不符合题意； ⑥第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，23，25，26，，中位数为，不符合题意； 故， 故答案为：22． 类型四、方差的计算 【例7】若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵第二组数据5，6，7，8，9是连续整数，方差为固定值， 又∵第一组数据2，3，4，5，x的方差与第二组相等， ∴第一组数据也应为连续整数， 当时，数据为1，2，3，4，5，是连续整数， 当时，数据为2，3，4，5，6，是连续整数， ∴x的值为1或6． 故选：C． 【例8】用方差公式计算一组数据的方差：，则的值为 ． 【答案】9 【详解】解：由题意知，这组数据分别为5、7、9、m、n，且平均数为6， ， ， 故答案为：9． 【变式4-1】某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）进行了调查，记录如下： 甲组：10，11，12，13，14，15 乙组：12，13，14，16，15， 若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的的值可以为 ．（写出一个即可） 【答案】11或17（写出一个即可） 【详解】解：法一，∵甲组的每个数据之间相差，而乙组除了外，每个数据之间也是相差， 又∵甲、乙两组病人康复时间的方差相同， ∴乙组按照顺序排列：a、12、13、14、15、16或者12、13、14、15、16、a，两组数据都是连续的相差只有1， ∴或者； 法二，甲组：， ∴， 乙组：， ∴， 解得或， 故答案为：或（写出一个即可））． 【变式4-2】一组有n个数据的样本的平均数为x，它的方差为，则＝ ． 【答案】0 【详解】解：∵ ∴这组数据分别为1、2、3、4、5，共5个，即n=5 ∴x=（1+2+3+4+5）÷5=3 ∴ ∴． 故答案为0． 【点睛】本题主要考查了平均数与方差，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 【变式4-3】如果一组数据的方差，已知9是这组数据中的一个数据，现把9去掉，所得新的一组数据的平均数是 ． 【答案】21 【详解】解：由方差可知，这组数据共有12个，平均数为20， ∴去掉9后，所得新的一组有11个数据的数据总和为， ∴新的一组数据的平均数为， 故答案为：21． 【点睛】本题考查了方差，平均数．解题的关键在于根据方差确定原数据共有12个，平均数为20． 类型五、频数分布表与直方图 【例9】025年4月15日是第十个“全民国家安全教育日”，为迎接党的二十大胜利召开，同时树立同学们的国家安全观、感悟新时代国家安全成就感．寻乌县第三中学组织七、八年级学生开展了以“国家安全我的责任”为主题的学习活动，并对此次学习结果进行了测试，调查小组从这两个年级中各随机抽取了相同数量学生的测试成绩（分数用x表示，单位：分），并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． c．扇形统计图中，分的成绩：80　80　83　86． d．相关统计量如下： 平均数 中位数 众数 七年级 78.9 78 76 八年级 79.1 80 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共抽取七年级学生______人，补全频数分布直方图及表格； (2)八年级学生李贤的分数为79分，他说自己在本年级的排名在前50%，请你判断他的说法是否正确，并说明理由； (3)结合相关统计量说明，你认为哪个年级的学生此次测试的成绩更好，并说明理由； (4)为了提高学生学习法律知识的积极性，学校决定对本次成绩不低于90分的学生进行奖励，已知该校七、八年级人数均为500人，估计七、八年级学生中可以获得奖励的人数． 【答案】(1)，直方图和表格见解析 (2)李贤的说法错误，理由见详解 (3)八年级学生此次测试的成绩更好，理由见详解 (4)250人 【分析】 【详解】（1）解：由扇形统计图中，八年级的这一组数据所占的百分比是， ∴七年级和八年级抽取的样本容量都是，即本次共抽取七年级学生10人， ∴七年级中的人数为：（人）． 补全频数分布直方图如下： ∵八年级抽取的样本容量为10，的人数为4人， ∴中位数为从小到大第5和第6名同学分数之和的平均数， ∴在八年级学生测试成绩中，的人数为：（人）； 的人数为：（人）； 的人数为：（人）； ∴从小到大，第5和第6名同学的分数分别是80分和80分， ∴八年级中位数是， 补全表格如下： 平均数 中位数 众数 七年级 78.9 78 76 八年级 79.1 80 80 故答案为：10，补全图形和表格见详解． （2）解：李贤的说法错误， 理由：由扇形统计图可知，八年级学生测试成绩的中位数在这一组，根据此组数据得八年级学生测试成绩的中位数是， ∵， ∴李贤的成绩不在本年级排名的前，李贤的说法错误． （3）解：八年级学生此次测试的成绩更好，理由：八年级分数的平均数、中位数和众数均高于七年级． （4）解：（人）， 即估计七、八年级的学生中可以获得奖励的有250人． 【例10】某校为了解七、八年级学生对“用火用电”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取40名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： 七年级成绩在这一组的是：80，81，82，82，84，85，86，86，87，87，87，88，89． 七、八年级成绩的平均数、中位数如表： 年级 平均数 中位数 七 82 八 83 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 人； (2)在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是84分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； (3)该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数82分的人数． 【答案】(1)24 (2)甲学生在该年级的排名更靠前 (3)估计七年级成绩超过平均数82分的人数为200人 【分析】 【详解】（1）解：在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有人， 故答案为：24； （2）解：甲学生在该年级的排名更靠前， 七年级40人成绩的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据分别为82、84， ， 七年级学生甲的成绩大于中位数83分，其名次在该年级抽查的学生数的20名之前， 八年级学生乙的成绩等于中位数84分，其名次在该年级抽查的学生数的中间， 甲学生在该年级的排名更靠前； （3）解：（人， 估计七年级成绩超过平均数82分的人数为200人． 【变式5-1】为了解某校八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从全年级700名学生中随机抽取20名学生进行调查．同时对调查数据进行如下统计分析． 【收集数据】抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下：3 7 5 10 5 9 6 7 4 7 8 7 10 8 7 9 6 9 8 5 【整理数据】结果如表： 【分析数据】数据的平均数是_________，方差是_________． 【解决问题】回答下列问题： （1）请补全频数分布表和频数直方图； （2）请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数． 次数x分组 画记 频数 T 2 正 5 正 下 8 正 5 【答案】[分析数据]7，；[解决问题]（1）见解析，（2） 【分析】 【详解】解：[分析数据] 数据的平均数是：； 方差是：， 因此数据的平均数是，方差是； 故答案为：，； [解决问题] （1）由题意得，“” 的频数为， 频数分布表为： 次数x分组 画记 频数 T 2 正 5 正 下 8 正 5 频数直方图为： （2）（人）， 答：该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为人． 【变式5-2】“地球一小时”是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的一项全球性节能活动，提倡于每年三月最后一个星期六的当地时间，家庭及商业用户关上不必要的电灯及耗电产品一小时，以此来表示他们对于应对气候变化行动的支持，为了解小区居民的用电情况，某小区物业随机抽取了部分家庭小时的用电情况，并整理成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 居民用电情况频数分布表 组别 用电量／度 频数（户数） 百分比 14 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)调查总户数为______； (2)频数分布表中，______，______，______； (3)为了响应节能减排号召，请提一条合理的建议． 【答案】(1)； (2)，，； (3)平时不使用的电器及时拔掉插销；只在有人长待的房间开灯，其他房间随用随关（写一条即可）． 【分析】 【详解】（1）解：调查总户数为（人）， 故答案为：； （2）解：由（）得调查总户数为人， ∴，（人），（人）， 故答案为：，，； （3）解：根据频数直方图总结该小区的居民用电情况，给出节能减排的建议：平时不使用的电器及时拔掉插销；只在有人长待的房间开灯，其他房间随用随关（写一条即可）． 【变式5-3】通化葡萄酒品质优良，深受消费者青睐，为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查． 【调查与收集】甲、乙两种葡萄树各种植了株，计划从中各抽取株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是__________． A．依次抽取株                            B．随机抽取株 C．在长势较好的葡萄树中随机抽取株        D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取株 【整理与描述】同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：），将所得数据整理描述如下： 甲样本的频数分布表 频数 根据以上信息，解答问题： （1）甲样本中组的频率是_________； （2）补全乙样本的频数分布直方图。 【分析与应用】 （3）填表： 样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差 甲 乙 （计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为） （4）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数． 【答案】【调查与收集】B 【整理与描述】（1）；（2）见详解 【分析与应用】（3）见详解；（4） 【分析】 【详解】解：【调查与收集】为了样本具有代表性，随机抽取能保证样本的代表性，避免系统性偏差，所以应该随机抽取株作为样本． 故选：B； 【整理与描述】（1）甲样本中组的频率是：， 故答案为：； （2）乙样本的总频数为， 组的频数为：， 补全乙样本的频数分布直方图如图所示， 【分析与应用】（3）甲样本各组中间值分别为：，，，，， ， 乙样本共个数据，中位数为第、个数据的平均值， 前两组频数的和为：，前三组频数的和为：， 第、个数据在组， 故乙样本中位数出现的组别在组， 填表如下： （4）甲样本中组的频数为，甲种葡萄树种植了株， 估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数为：（株）． 答：估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数为株． 1．某同学对数据36，36，38，48，5■，52进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（    ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数 【答案】A 【详解】解：∵数据共6个，排序后第三和第四个数分别为38和48， ∴中位数为，与被涂污数字无关， 而平均数、方差和众数均依赖于被涂污数字，因此有关． 故选：A． 2．小赵、小钱、小孙、小李四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字一定含有1的是（　　） A．小赵选出四个数字的方差等于4.25 B．小钱选出四个数字的中位数是4 C．小孙选出四个数字的平均数等于4 D．小李选出四个数字的极差等于4 【答案】A 【详解】解：A、假设选出的数据没有1，则选出的数据为2，3，5，6时，方差最大， 此时，方差为，不符合条件， 当数据为1，2，5，6时，，， 故得出符合条件的方差的话，选中的数字必须得有1，故该选项符合题意； B、当该同学选出的四个数字为2，3，5，6时，中位数为，符合条件，但其中没有1，故该选项不符合题意； C、当该同学选出的四个数字为2，3，5，6时，，符合条件，但其中没有1，故该选项不符合题意； D、当选出的数据为2，4，5，6或2，3，4，6时，极差也是4，符合条件，但其中没有1，故该选项不符合题意． 故选：A． 3．若一组数据“1、2、3、4、x”的方差与另一组数据“11、12、13、14、15”的方差相等，则的值是 ． 【答案】0或5 【详解】解∶由平均数公式得： “1、2、3、4、x”的平均数为：， “11、12、13、14、15”的平均数为：， 由方差公式可得： “11、12、13、14、15”的方差为， ∴， 解得． 故答案为：0或5． 4．为迎接五月份全县中考体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某周每天做引体向上的个数，如下表： 星期 日 一 二 三 四 五 六 个数 11 12 13 12 其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经得出这组数据的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：这组数据的众数是13， 13出现的次数最多，已知现有数据中13出现1次，所以被墨汁覆盖的三天中至少有两天是13， 平均数是12，设被墨汁覆盖的三天数据为， ，即，可得， 众数是13， 中有两个13，一个10， 则这组数据为， 根据方差公式，其中， 则， ， ． 故答案为：． 5．有一道题目要求计算15个自然数的平均数，结果保留两位小数．小高的计算结果是，老师说这个数百分位上的数字错了，其他数字都对，正确的平均数应该是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意可知：正确结果在和之间， 所以15个自然数的和在和，即和， 所以15个自然数的和是， 所以正确的平均数应该是． 故答案为：． 6．某校“节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 85，86，88，90，90，91，92，94 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组，第2组，第3组，第4组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 90 学生评委 93 根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分的众数 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则 （填“＞”“＝”或“＜”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 90 92 90 89 91 乙 90． 91 89 90 91 丙 92 89 91 91 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ． 【答案】(1)①90,3② (2)甲，89 【分析】 【详解】（1）解：①评委打分出出现次数最多的数据是90， （分）； 学生评分数据共50个，中位数是第25位和26位数据的平均数， 第1组有4个数据，第2组有12个数据，第3组有28个数据， 所以第25位和26位数据在第3组， 即的值位于学生评委打分数据分组的第3组， 故答案为：90,3； ②，， 故答案为：； （2）解：（分） （分） ∴， 所以甲排在乙的前面， 由于丙中间，， 所以， 解得， ， ①当时， ， ， 此时，，， 所以丙排在乙的后面，不符合题意； ②当时，， 此时，，， 所以甲排在丙的前面，丙排在乙的前面，符合题意； 综上，． 故答案为：甲，． 7．若一个四位数满足M的千位数字与百位数字的和与它们的差的积恰好是M的后两位数字组成的两位数，则称这个四位数M为“均衡数”，则最大的“均衡数”为 ；将均衡数M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到的新数记为，记，，当、均为整数时，则满足条件的所有M的中位数为 ． 【答案】 9817 6327 【分析】 【详解】千位数字最大为9，再根据“均衡数”的定义可知百位数字最大为8，则， 所以最大的“均衡数”是9817； 故答案为：9817； ∵是整数， ∴a是b的倍数，且， 当，时，，，则，不是整数，舍； 当，时，，，则，不是整数，舍； 当，时，，，则； 当，时，，，则，不是整数，舍； 当，时，，，则，不是整数，舍； 当，时，，，则，不是整数，舍； 当，时，，，则，是整数； 当，时，，，则，不是整数，舍； 当，时，，，则，不是整数，舍； 当，时，，，则，不是整数，舍； 当，时，，，则，是整数； 当，时，，，则，不是整数，舍． 符合题意的有8448，6327，4212， 所以中位数是6327． 故答案为：6327． 8．五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为 . 【答案】8 【详解】解：∵，，，，的平均数是， ∴, ∵，，，，，的平均数还是， ∴, ∴, ∵，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6， ∴, ∴，，，，对应的五个互不相等的正偶数分别是：2、4、6、8、10， ∴，，，，的方差为：． 故答案为：8． 9．有10个同学围成一圈做游戏，游戏规则是：每个人心里都想好一个数，并把想好的这个数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若这10个同学报出来的数如图所示，求报数字5的同学心里所想的数． 【答案】 【详解】解：设报5的人心里想的数是 ∵报5与报9的两个人报的数的平均数是7， ∴报9的人心里想的数应是， 报13的人心里想的数是， 报17的人心里想的数是， 报1的人心里想的数是， ∵报1的人与报5的人心里想的数的平均数是3， ∴，解得 10．为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试．为了了解活动效果，从两个年级中各抽取名学生的成绩进行整理分析，分成四组（用表示成绩分数），组：，组：，组：组：，下面是部分信息： 七年级人的得分：，，，，，，，，，； 八年级人的得分在组中的分数为：，，，； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：    年级 平均数 中位数 众数 七 77.8 84 八 77.8 b 85 (1)填空：______，______；______； (2)如果该校七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)人 (3)八年级在此次人工智能科普测试中表现更好，理由见解析． 【分析】 【详解】（1）解：∵出现的次数最多， ∴众数 ∵八年级组人数：， 八年级组人数：， 八年级组人数：， ∴八年级组人数：， ∴， ∴. ∵八年级成绩排在第和第位的是和， ∴. ∴，，； （2）∵七年级人的得分组：的有，，， ∴组得分在七年级人数中占：， ∴七年级有人参加得分在组的有：（人）； ∵八年级组得分在七年级人数中占：， ∴八年级有人参加得分在组的有：（人）， ∴（人）， 即：七、八两个年级得分在组的共有人． （3）八年级在此次人工智能科普检测中表现更好， 理由如下：虽然两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，说明八年级学生掌握的较好； 11．随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 (1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； (2)表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； (3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】(1)，见解析 (2)， (3) 【分析】 【详解】（1）解：根据频数之和等于样本容量， 得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人） 补全频数直方图如下： 根据题意，得． （2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8， 故中位数， 故答案为：． 根据题意，得 ． 得 ． ， 故答案为：． （3）解：画树状图如下： 由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果， ∴三家种植户选择同一快递公司的概率为． 12．新冠无情，人间有爱，线上教学，云端战“疫”﹒疫情期间，某中学积极组织开展线上教学，复学后，该校为了解学生线上和线下不同阶段的学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后对线下教学质量测评．根据第一次测评的数学成绩制成频数分布直方图（图1）． 复学一个月后，根据第二次测评的数学成绩得到如下统计表： 成绩 人数 1 3 3 8 15 m 6 根据以上图表信息，完成下列问题： (1)______； (2)请在图2中作出两次测评的数学成绩折线统计图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）； (3)请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数． 【答案】(1)14 (2)见详解 (3)320人 【分析】 【详解】（1）第一次测评总人数为：2+8+10+15+10+4+1=50（人）， ∵两次测评人数相等， ∴m=50-(1+3+3++8+15+6)=14（人）， 故答案为：14； （2）结合（1）的结果，绘图如下： 由图可知：第一次线上教学测评质量较差高分值的学生较少，第二次线上教学的测评质量明显上升，高分值学生人数较多； （3）（人）， 即：复学一个月后该校800名八年级学生的数学成绩优秀的人数为320人． 【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、折线统计图，掌握各组频数之和等于样本容量以及数形结合的思想是解答本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 统计量的应用 目录 典例详解 类型一、平均数的计算 类型二、加权平均数的计算 类型三、中位数的计算 类型四、方差的计算 类型五、频数分布表与直方图 压轴专练 类型一、平均数的计算 【例1】已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【例2】五个数的平均数是，如果把其中一个数改为，则这五个数的平均数变为，改动前这个数是 ． 【变式1-1】销售部门在月底统计了5名员工本月销售某产品的业绩情况，其中4名员工的销售业绩（单位：个）分别为180，178，180，177，已知这5名员工销售业绩的平均数与众数相同，且众数唯一，则第5名员工销售该产品的销售业绩为（   ） A．177个 B．178个 C．180个 D．185个 【变式1-2】小英期末考试语文得88分，英语得94分，她想语文、数学、英语三科的平均分不低于93分，数学至少应得 分． 【变式1-3】两组数据：3，a，b，5与a，4，2b的平均数都是3.若将这两组数据合并为一组新数据，求这组新数据的众数． 类型二、加权平均数的计算 【例3】某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【例4】某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示： 候选人 通识知识 专业知识 实践能力 甲 乙 (1)如果学校认为这三项素质测试成绩同等重要，谁会被录取； (2)如果学校根据实际需要，将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按的比例确定最终成绩，部分看不清楚，最后甲被录取，通过计算说明被覆盖的部分最小值． 【变式2-1】某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是 分． 【变式2-2】某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，根据统计，调整前后各景点的旅客日平均人数基本不变，有关数据如下表： 景点 A B C D E 原价/元 20 20 25 30 50 现价/元 10 10 25 40 60 日平均人数 500 500 1000 2000 1000 (1)该风景区称调整前后这5个景点门票的平均价格不变，日平均收入也持平，则该风景区是怎样计算的？ (2)旅客认为调价后该风景区的日平均收入较调价前实际增加了近13%，则旅客是怎样计算的？ 【变式2-3】为监测备考效果，某校教研组开展了以“紧抓‘四基’，把握核心知识”为主题的适应性练习（百分制），下面是珍珍同学在本次练习中取得的成绩（单位：分）． 项目 数与代数 图形与几何 统计与概率 成绩 85 80 81 (1)求珍珍同学三个项目成绩的平均数； (2)若把数与代数、图形与几何、统计与概率三项成绩按照的比例计入综合成绩，通过计算可知综合成绩比（1）的平均数提高了0.6分，求m的值． 类型三、中位数的计算 【例5】现有一组数据：，，，，，，若该组数据的中位数是，则的值为（  ） A． B． C． D． 【例6】数学老师在统计一个班35人的数学考试成绩时，算出中位数是80分，但后来发现其中一位同学的成绩记录有误，将75分写成了55分，那么实际这次考试成绩的中位数是 分． 【变式3-1】一组数据由五个正整数组成，中位数是4，且唯一的众数是7，则这五个正整数的平均数等于（　　） A．或 B．或 C．或 D．或或 【变式3-2】某校八年级学生在一次数学测验中的成绩统计如下表，若成绩的中位数是80分，则x的最小值为 ． 成绩（分） 60 70 80 90 100 人数 5 10 12 8 【变式3-3】已知如下的两组数据： 第一组：20，21，22，25，24，23； 第二组：20，21，23，25，，26． 若两组数据的中位数相等，实数 ． 类型四、方差的计算 【例7】若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 【例8】用方差公式计算一组数据的方差：，则的值为 ． 【变式4-1】某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）进行了调查，记录如下： 甲组：10，11，12，13，14，15 乙组：12，13，14，16，15， 若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的的值可以为 ．（写出一个即可） 【变式4-2】一组有n个数据的样本的平均数为x，它的方差为，则＝ ． 【变式4-3】如果一组数据的方差，已知9是这组数据中的一个数据，现把9去掉，所得新的一组数据的平均数是 ． 类型五、频数分布表与直方图 【例9】025年4月15日是第十个“全民国家安全教育日”，为迎接党的二十大胜利召开，同时树立同学们的国家安全观、感悟新时代国家安全成就感．寻乌县第三中学组织七、八年级学生开展了以“国家安全我的责任”为主题的学习活动，并对此次学习结果进行了测试，调查小组从这两个年级中各随机抽取了相同数量学生的测试成绩（分数用x表示，单位：分），并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． c．扇形统计图中，分的成绩：80　80　83　86． d．相关统计量如下： 平均数 中位数 众数 七年级 78.9 78 76 八年级 79.1 80 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共抽取七年级学生______人，补全频数分布直方图及表格； (2)八年级学生李贤的分数为79分，他说自己在本年级的排名在前50%，请你判断他的说法是否正确，并说明理由； (3)结合相关统计量说明，你认为哪个年级的学生此次测试的成绩更好，并说明理由； (4)为了提高学生学习法律知识的积极性，学校决定对本次成绩不低于90分的学生进行奖励，已知该校七、八年级人数均为500人，估计七、八年级学生中可以获得奖励的人数． 【例10】某校为了解七、八年级学生对“用火用电”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取40名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： 七年级成绩在这一组的是：80，81，82，82，84，85，86，86，87，87，87，88，89． 七、八年级成绩的平均数、中位数如表： 年级 平均数 中位数 七 82 八 83 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 人； (2)在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是84分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； (3)该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数82分的人数． 【变式5-1】为了解某校八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从全年级700名学生中随机抽取20名学生进行调查．同时对调查数据进行如下统计分析． 【收集数据】抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下：3 7 5 10 5 9 6 7 4 7 8 7 10 8 7 9 6 9 8 5 【整理数据】结果如表： 【分析数据】数据的平均数是_________，方差是_________． 【解决问题】回答下列问题： （1）请补全频数分布表和频数直方图； （2）请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数． 次数x分组 画记 频数 T 2 正 5 正 下 8 正 5 【变式5-2】“地球一小时”是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的一项全球性节能活动，提倡于每年三月最后一个星期六的当地时间，家庭及商业用户关上不必要的电灯及耗电产品一小时，以此来表示他们对于应对气候变化行动的支持，为了解小区居民的用电情况，某小区物业随机抽取了部分家庭小时的用电情况，并整理成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 居民用电情况频数分布表 组别 用电量／度 频数（户数） 百分比 14 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)调查总户数为______； (2)频数分布表中，______，______，______； (3)为了响应节能减排号召，请提一条合理的建议． 【变式5-3】通化葡萄酒品质优良，深受消费者青睐，为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查． 【调查与收集】甲、乙两种葡萄树各种植了株，计划从中各抽取株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是__________． A．依次抽取株                            B．随机抽取株 C．在长势较好的葡萄树中随机抽取株        D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取株 【整理与描述】同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：），将所得数据整理描述如下： 甲样本的频数分布表 频数 根据以上信息，解答问题： （1）甲样本中组的频率是_________； （2）补全乙样本的频数分布直方图。 【分析与应用】 （3）填表： 样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差 甲 乙 （计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为） （4）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数． 1．某同学对数据36，36，38，48，5■，52进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（    ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数 2．小赵、小钱、小孙、小李四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字一定含有1的是（　　） A．小赵选出四个数字的方差等于4.25 B．小钱选出四个数字的中位数是4 C．小孙选出四个数字的平均数等于4 D．小李选出四个数字的极差等于4 3．若一组数据“1、2、3、4、x”的方差与另一组数据“11、12、13、14、15”的方差相等，则的值是 ． 4．为迎接五月份全县中考体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某周每天做引体向上的个数，如下表： 星期 日 一 二 三 四 五 六 个数 11 12 13 12 其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经得出这组数据的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是 ． 5．有一道题目要求计算15个自然数的平均数，结果保留两位小数．小高的计算结果是，老师说这个数百分位上的数字错了，其他数字都对，正确的平均数应该是 ． 6．某校“节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 85，86，88，90，90，91，92，94 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组，第2组，第3组，第4组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 90 学生评委 93 根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分的众数 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则 （填“＞”“＝”或“＜”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 90 92 90 89 91 乙 90． 91 89 90 91 丙 92 89 91 91 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ． 7．若一个四位数满足M的千位数字与百位数字的和与它们的差的积恰好是M的后两位数字组成的两位数，则称这个四位数M为“均衡数”，则最大的“均衡数”为 ；将均衡数M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到的新数记为，记，，当、均为整数时，则满足条件的所有M的中位数为 ． 8．五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为 . 9．有10个同学围成一圈做游戏，游戏规则是：每个人心里都想好一个数，并把想好的这个数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若这10个同学报出来的数如图所示，求报数字5的同学心里所想的数． 10．为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试．为了了解活动效果，从两个年级中各抽取名学生的成绩进行整理分析，分成四组（用表示成绩分数），组：，组：，组：组：，下面是部分信息： 七年级人的得分：，，，，，，，，，； 八年级人的得分在组中的分数为：，，，； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：    年级 平均数 中位数 众数 七 77.8 84 八 77.8 b 85 (1)填空：______，______；______； (2)如果该校七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由． 11．随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 (1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； (2)表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； (3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 12．新冠无情，人间有爱，线上教学，云端战“疫”﹒疫情期间，某中学积极组织开展线上教学，复学后，该校为了解学生线上和线下不同阶段的学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后对线下教学质量测评．根据第一次测评的数学成绩制成频数分布直方图（图1）． 复学一个月后，根据第二次测评的数学成绩得到如下统计表： 成绩 人数 1 3 3 8 15 m 6 根据以上图表信息，完成下列问题： (1)______； (2)请在图2中作出两次测评的数学成绩折线统计图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）； (3)请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $