精品解析：河南省信阳市羊山中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度上期期中考试 数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. “九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是( ) A. 1 B. 6 C. 7 D. 10 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a＋b的值为（ ） A. 5 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣5 5. 等腰三角形的周长为26cm,一边长为6cm,那么腰长为（ ） A. 6cm B. 10cm C. 6cm或10cm D. 14cm 6. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 7. 如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=3cm，则BE等于（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　） A. 24 B. 22 C. 20 D. 18 9. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有下列结论：①；②为等边三角形；③；其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ① C. ①② D. ②③ 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则________． 12. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 13. 已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝_____． 14. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点D为边的中点，M为直线上一动点，则的周长的最小值为______． 15. 如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 发展体育运动，增强人民体质．为扎实推进贵州省的中考体育项目，某校体育老师对该校男生进行了问卷调查，其内容是“1000米、篮球、排球、跳绳、跳远这五项体育运动中，你最喜欢哪一项目”，根据问卷数据绘制了两个不完整的统计图： （1）根据统计信息，该校男生有________人，________，并将条形统计图补充完整； （2）求扇形统计图中跳远类所对圆心角的度数； （3）请根据统计信息，提出一条恰当的建议． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别． （1）在图中画出关于x轴对称的图形 （2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则此时C点关于这条直线的对称点的坐标为________； （3）在y轴上确定一点P，使的周长最小，（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） 19. 如图，在五边形中，，，．求证：． 20. 如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 21. 某中学七年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，为测量该建筑物两端A，B间的距离，同学们给出了以下建议： （1）甲同学的方案如下：先在平地上取一个可直接到达A，B的点O，连接，，并分别延长至点C，延长至点D，使，，最后测出，则A，B间的距离为________． （2）由于在处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照甲同学的方案直接测量出A，B间的距离，但同学们测得，，，，，请求出该建筑物两端A，B之间的距离． 22. 如图，是的角平分线，，分别是和的高，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，求证：． 23. 模型再现：如图1，在中，，，，，垂足分别为E，D，探究图中与之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：先根据同角的余角相等得，再证明，从而可得出结论，他的结论应是：； 直接运用：（1）请你根据上述结论，并填空：已知，，则________；________． 类比探究：（2）如图2，在中，，，过点B作，过点A作，垂足分别为E，D，①猜想与之间的数量关系，并说明理由； ②已知，，求四边形的面积． 拓展应用：（3）如图3，在等腰中，，若点P（不与点B重合）在坐标平面内，若与全等，则点P的坐标为： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期期中考试 数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. “九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、“九”写成篆体后，整体形状不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项B、“达”写成篆体后，左右两侧形状不一致，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项C、“天”写成篆体后，能找到一条直线，使该字沿中间竖直方向对折后两部分完全重合，是轴对称图形； 选项D、“衢”写成篆体后，左右结构不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 故选：C． 2. 若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是( ) A. 1 B. 6 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：∵4﹣3=1，4+3=7，∴1＜x＜7，∴x的值可能是6．故选B． 考点：三角形三边关系． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，掌握去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．根据相关运算法则运算判断，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算错误，不符合题意； D、，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 4. 已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a＋b的值为（ ） A. 5 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣5 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值． 【详解】解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3）， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 5. 等腰三角形的周长为26cm,一边长为6cm,那么腰长为（ ） A. 6cm B. 10cm C. 6cm或10cm D. 14cm 【答案】B 【解析】 【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解． 【详解】解：①当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边=26﹣6﹣6=14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形； ②当6cm为底边时，则腰长=（26﹣6）÷2=10cm，因为6﹣6＜10＜6+6，所以能构成三角形； 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，灵活运用分类讨论的思想是解题关键． 6. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 如图：过D作垂足为F，由三角形面积公式可得，然后再根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图：过D作垂足为F， ∵的面积为5， ∴,即，解得：, ∵平分交于点D，，， ∴． 故选B． 7. 如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=3cm，则BE等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由DE垂直平分AB，得BE=AE．欲求BE，可求AE．由BE=AE，得∠B=∠BAE=15°，那么∠AEC=∠B+∠BAE=30°．根据含30度角的直角三角形的性质，得AE=2AC=6cm，从而解决此题． 【详解】解：∵DE垂直平分AB， ∴BE=AE． ∴∠B=∠BAE=15°． ∴∠AEC=∠B+∠BAE=30°． ∵∠ACB=90°，∠AEC=30°， ∴AE=2AC=6cm． ∴BE=AE=6cm． 故选：A． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解决本题的关键． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　） A. 24 B. 22 C. 20 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解． 【详解】∵CG∥AB， ∴∠B＝∠MCG， ∵M是BC的中点， ∴BM＝CM， 在△BMH和△CMG中， ， ∴△BMH≌△CMG（ASA）， ∴HM＝GM，BH＝CG， ∵AB＝6，AC＝8， ∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH， ∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值， ∵∠A＝90°，MH⊥AB， ∴GH∥AC， ∴四边形ACGH为矩形， ∴GH＝8， ∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22， 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键． 9. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． 10. 如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有下列结论：①；②为等边三角形；③；其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ① C. ①② D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质进行判断①，由三角形内角和定理求得，从而判断②，过点作，在上截取，证得，根据全等三角形的性质证得，据此判断③即可． 【详解】解：连接，如图， ，，D为的中点， ，，，， 是的垂直平分线， ， ∵， ， ，， ， ， 故①正确； ， ， ， ， 为等边三角形， 故②正确； 过点作，在上截取，如下图， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故③正确， 综上所述，正确的有①②③． 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的判定、全等三角形的判定是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，求解代数式的值，由已知条件 结合指数运算性质，求出的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵ ，且， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： 12. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 13. 已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝_____． 【答案】4． 【解析】 【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM=DE=2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解． 【详解】过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示． ∵OC是∠AOB的平分线， ∴DM＝DE＝2． 在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°， ∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°． 在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°， ∴DF＝2DM＝4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键． 14. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点D为边的中点，M为直线上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，垂直平分线的性质；连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴， 周长的最小值． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠中的角度问题，直角三角形的性质，垂直的定义，掌握折叠的性质和进行分类讨论是解题的关键． 分三种情况进行讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：如图，当时，, 由折叠性质，得, , ； 如图，当时， 由折叠性质，得， ∴； 如图，当时， 由折叠性质，得, ； 当时与时相同， 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以单项式，幂的乘方，合并同类项解答即可． （2）根据积的乘方，同底数幂的乘法解答即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 发展体育运动，增强人民体质．为扎实推进贵州省的中考体育项目，某校体育老师对该校男生进行了问卷调查，其内容是“1000米、篮球、排球、跳绳、跳远这五项体育运动中，你最喜欢哪一项目”，根据问卷数据绘制了两个不完整的统计图： （1）根据统计信息，该校男生有________人，________，并将条形统计图补充完整； （2）求扇形统计图中跳远类所对圆心角的度数； （3）请根据统计信息，提出一条恰当的建议． 【答案】（1）1200；15； 补全条形统计图如图： （2） （3）根据统计图可得，喜欢“跳绳”的人最多，建议增加更多跳绳课程． 【解析】 【分析】本题主要考查数据统计的知识，理解掌握利用个体比例求总体，圆心角的计算方法是解题的关键． （1）扇形统计图中“跳绳”部分占，条形图中“跳绳”的人数是360人，由此即可求解该校男生人数；根据总人数和“排球”的人数算出百分比；求出“篮球”和“跳远”的人数补全统计图即可． （2）根据圆心角的计算方法，乘以“跳远”所占比例即可求解； （3）根据数据提出建议，合理即可． 【小问1详解】 解：扇形统计图中“跳绳”部分占，条形图中“跳绳”的人数是360人， ∴问卷调查该校男生人数共有（名）． ， 则， 故答案为：1200；15． “篮球”的人数人， “跳远”的人数人， 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：“跳远”的所占的圆心角度数为． 【小问3详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别． （1）在图中画出关于x轴对称的图形 （2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则此时C点关于这条直线的对称点的坐标为________； （3）在y轴上确定一点P，使的周长最小，（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） （3） 如图，点P即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，再连接即可； （2）利用轴对称的性质求解问题即可； （3）作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接，此时点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点为，点B为，且点与点B关于一条直线成轴对称， ∴这条对称轴是直线，即为y轴， ∴此时C点关于这条直线的对称点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 19. 如图，在五边形中，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据题意易证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，由等腰三角形的性质证得，从而得出结论． 【详解】证明： 在和中 ． 20. 如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 【答案】 证明：如图，作于，    ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 21. 某中学七年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，为测量该建筑物两端A，B间的距离，同学们给出了以下建议： （1）甲同学的方案如下：先在平地上取一个可直接到达A，B的点O，连接，，并分别延长至点C，延长至点D，使，，最后测出，则A，B间的距离为________． （2）由于在处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照甲同学的方案直接测量出A，B间的距离，但同学们测得，，，，，请求出该建筑物两端A，B之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据甲同学的做法证明全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等可得答案； （2）延长，交于，根据平角的定义得到，根据三角形的内角和定理得到，求得，进一步可得到结论． 【小问1详解】 解：在和中， ， ， ， ∵， ∴. 【小问2详解】 解：如图②，延长，交于， ， ， ，， ， ， ， ， 由（1）知， 故该建筑物两端，之间的距离为． 22. 如图，是的角平分线，，分别是和的高，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：是的角平分线，，， ，，， ， ． ∵， ∴ ∴，， 垂直平分； （2） 证明：，， ． 平分， ， ． ， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质定理可证，即得出，从而可证，即得出，，即可得出结论； （2）由题意可求出，再根据角平分线的定义得出，，最后结合含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，线段垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．涉及知识点较多，难度一般，解题的关键是能够综合运用上述知识． 23. 模型再现：如图1，在中，，，，，垂足分别为E，D，探究图中与之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：先根据同角的余角相等得，再证明，从而可得出结论，他的结论应是：； 直接运用：（1）请你根据上述结论，并填空：已知，，则________；________． 类比探究：（2）如图2，在中，，，过点B作，过点A作，垂足分别为E，D，①猜想与之间的数量关系，并说明理由； ②已知，，求四边形的面积． 拓展应用：（3）如图3，在等腰中，，若点P（不与点B重合）在坐标平面内，若与全等，则点P的坐标为： ． 【答案】（1）16，128；（2）①，理由见解析；②64；（3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积计算，坐标与图形，利用一线三垂直模型证明三角形全等是解题的关键． （1）根据示例，证明，然后得出对应边相等，利用梯形的面积公式求解即可； （2）①同理证明，得出对应边相等，然后利用线段的和差进行求解即可； ②结合①的结论，利用梯形面积公式求解即可； （3）同理，分三种情况进行讨论，利用一线三垂直结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得， ∵， ∴， ∴； ∴； 故答案为：16，128； （2）①，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ②∵，， ∴， ∴， ∴四边形为梯形， ∴四边形的面积为； （3）如图所示，过点作轴于点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； ①如图所示， 当公共边为时， 与全等， 是等腰直角三角形， 同理可得， ， ； ②如图所示， 当为公共边时，且时， 同理可得， ， ； ③ 当为公共边时，且时， 同理可得， ， ； 综上所述，的坐标为：或或； 故答案为：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $