3.1.1 椭圆及其标准方程（教案+导学案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

“不努力是会被合并同类项的，你要做那个被提取出来的公因式” 3.1.1椭圆及其标准方程 【学习目标】 1.根据创设的情景，理解椭圆的定义。 2.能运用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程。（重点） 3.理解椭圆标准方程的推导过程，在简化过程中提高数学运算能力。（难点） 4.学会求轨迹问题的基本思路和方法，发展直观想象、数学运算等学科素养。 【学科素养】 1.直观想象 2.数学运算 3.逻辑推理 【课堂探究】 1. 创设情境 探究一：椭圆的定义 思考1: (1)取一条定长的细绳 (2) 把它的两端固定在板上的两点、 (3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形 在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 椭圆定义：平面内与两个定点F1，F2的  的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的  ，两焦点间的距离叫做椭圆的  . 思考2：若一个动点的轨迹是椭圆，则动点应该满足什么条件? 思考3: 改变两点之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 绳长能小于两点之间的距离吗？ 结论：（1）若 ，M点的轨迹为 （2） 若 ，M点的轨迹为 问题1：回忆一下我们是如何求圆轨迹方程的？ 建系、设点、列式、代换、化简 2. 新授教学 探究二：椭圆的方程 ( O x y )问题2　如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单． ( y ) ( O y 1 ) ( x ) 　 椭圆方程中的a、b、c它们满足什么关系？(推导过程） 问题3　建系时如果焦点在y轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？ 结论：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图 形 焦点坐标     a、b、c的关系     焦点位置的判断 3. 巩固练习 辨析1：判断正误. (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的轨迹叫做椭圆。( ) (2)到两定点F1(−2,0)和F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹为椭圆。( ) 辨析2：设P是椭圆上的任意一点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则 |F1|+|F2|等于( )。 A.10 B.8 C.5 D.4 3.判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点坐标。 [例]已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点（）， 求椭圆的标准方程。 解1：（定义法） 解2：（待定系数法） 4. 链接高考 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(−4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； 5. 课堂小结 1.椭圆的的标准方程： 2. 数学思想： 6. 课后作业布置 A层：基础巩固层（1.定义的理解；2.课本第109页1、2小题） B层：能力提升层（1.课本第109页3、4小题；2.练习册大本） C层：拓展探究层（小本A组、B组） 心中有理想，脚下的路再远，也永远不会迷失方向。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 椭圆及其标准方程 教学设计 1、 教学目标 1. 根据创设的情景，理解并背熟椭圆的定义。 2. 理解椭圆标准方程的推导过程，在简化中提高数学运算能力。 3. 掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程。 4. 掌握求轨迹问题的基本思路与方法，发展直观想象、数学运算等学科素养。 2、 教学重难点 1. 重点：①理解椭圆的定义及椭圆的标准方程。 ②掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程。 2. 难点：理解椭圆标准方程的推导过程，运用标准方程解决相关问题。 3、 学情分析与教材分析 1. 学情分析： 知识基础：学生已学过运用坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准 方程，用“方程研究曲线，用曲线理解方程”的解析几何基本思想有了初步的认识和实践。 薄弱环节：（建系意识不强）虽然接触过，但如何通过建立合适的坐标 系来简化运算，学生可能缺乏主动性和策略性。（代数运算能力）从椭圆的定义到标准方程的推导过程涉及两次平方，运算复杂，部分学生可能会在繁琐的代数变形中出错或产生畏难情绪。（数形结合能力）将几何条件（到两定点的距离之和为常数）精确转化为代数方程，并理解方程中每个参数的几何意义，对学生来说是一个挑战。 教学启示：教学应从直观演示入手（用图钉和细绳画椭圆），帮助学生建立清晰的几何表象，理解定义的必然性和合理性。在方程的推导环节，应放慢节奏，引导学生共同参与，明确每一步变形的目的，并适时总结化简技巧，突破运算难点。通过对比焦点在不同坐标轴上的椭圆方程，帮助学生掌握判断焦点位置的方法。 2. 教材分析： 《椭圆及其标准方程》安排在《高中数学·选择性必修第一册》第三章第一节。 圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容之一，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。本节是《圆锥曲线的方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。 教材的地位与作用：在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。一方面，它是对必修阶段“直线和圆的方程”的深化和拓展，是解析几何思想方法的又一次典型应用和强化。另一方面，椭圆是三种圆锥曲线中首先系统学习的一种，其研究思想将为后续学习双曲线和抛物线提供基本范式和方法论指导。同时，椭圆在物理学、天文学等领域有广泛应用，是连接数学与现实世界的重要模型。 教材内容与结构：对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。 教材处理建议：对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。 4、 教学过程 1． 创设情境，引入新课 同学们，前面我们采用坐标法研究直线和圆以及它们的位置关系。从今天开始，我们将学习第三章《圆锥曲线的方程》。其实，圆锥曲线最早始于古希腊，当时人们运用一个平面去截圆锥，得到了不同的曲线，接下来我们来看一个视频。 教师：其实，不难发现，通过平面去截圆锥，得到了哪几种曲线呢？ 学生：椭圆、双曲线、抛物线。 教师：接下来，我们一起欣赏以下几幅图片，观察它们有什么共同特征？ 展示生活中的椭圆图片。 教师：善于观察的同学会发现，不难发现，这几幅图片有一个共同的图形，是什么呢？ 学生：椭圆。 设计意图：培养学生用数学的眼光去看世界的意识，激发学生的想象力和思考，让学生对椭圆产生一个初步的感性认识，从而体验生活中的数学美。 2． 新课探究过程 教师：大家先来回顾一下圆的定义是什么？ 学生：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。 教师：取一根定长的细绳，将绳的两端固定在同一个位置，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，观察动点画出的轨迹是什么？ 学生：圆 教师：非常好。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？大家根据多媒体上的要求，进行实践。（小组合作）F1 F2 M 教师：巡视学生画图情况，并适当的个别指导。邀请两组小组代表进行展示小组成果。 教师：观察画椭圆的过程，哪些量在变，哪些量没有变？ 教师：播放视频演示画椭圆的过程，引导学生讨论思考1， 然后请一位学生用简洁的数学语言描述如何才能画椭圆。 设计意图：让学生体会画椭圆的过程，感受知识生成的过程，然后结合软件动画演示，形象直观地说明椭圆定义中的关键和必备条件，全程体会数学的直观性与严谨性。 教师：请同学们类比圆的定义，如何用最简洁的数学语言归纳椭圆的定义？ 学生：到两个定点，的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。 教师：她描述的准确吗？有什么需要补充的吗？ 学生：应该加上在平面内，因为绳子的长度大于两定点之间的距离，所以(大于)。 教师：（多媒体展示）平面内与两个定点，的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c），焦距的一半称为半焦距（c）. 教师：你认为在椭圆的定义中，我们必须重点关注哪些关键词句？（回答思考2） 学生：①平面——大前提；②和——任意一点到两个定点，的距离的和等于常数；两个定点，的距离的和等于常数; ③常数——常数必须大于焦距. 教师：如果这个常数等于焦距，或者这个常数小于焦距呢？会是一个什么轨迹? 请尝试着自己画画。（回答思考3） 学生：根据要求去尝试画动点的轨迹，得出结论：当常数等于焦距时，点的轨迹为线段；当常数小于焦距时，点的轨迹不存在. 设计意图：教师在引导学生理解椭圆的定义时，先突出“和”，再完善“常数”的长度要求．在师生互动过程中，教师引导学生用联系与发展的观点看问题，及时引导和提升，学生体会重要关节点和注意点，多正能量的正面评价和肯定，激励学生的学习热情与持续兴趣. 教师：类比圆的研究过程，知道椭圆的定义后，你们肯定知道接下来我们会研究什么？ 学生：推导椭圆的方程。 教师：大家还记得我们是如何求圆的轨迹方程的？ 学生：全体口答：①建系，②设点，③列式，④代换，⑤化简。 教师：根据研究圆的轨迹方程，要想研究椭圆的轨迹方程，第一步需要干什么呢？ 学生：建系。 教师：类比圆的方程的推导过程可知,利用椭圆的对称性建系能使椭圆的方程更简单(如图1、图2所示）.（学生展示） 设计意图：注重学生知识迁移能力的培养，用学生熟悉的知识解决新知识的理解，促使学生更深刻的学会建系技巧和策略. 教师：自主学习教材，如何巧设常数的值和两焦点的坐标，为我们求椭圆方程提供便利？ 学生：自主学习教材，得出巧设结论：设常数为，，从而得到以下符号化后的式子： ........... （※） 教师：化简（※）式的方法有哪些？可以自主化简。 学生：（两名学生展示自己的做题思路）两次平方去根号法，一位学生通过多媒体展示自己的推导过程，并且上讲台解说自已的推导演算过程.另外一名学生不进行移项，直接进行平方，学生在阐述自己的推导过程时，发现很繁琐并且计算量大。 教师：通过刚才两位学生的推导过程，应该选哪一种进行继续推导，想必大家心中已经做好了选择，继续完成自己的推导过程。 教师：观察的系数以及常数项,考虑怎样能让方程更简洁? 学生：全体口答：两边同时除以，可得更简洁的椭圆方程： 教师：观察以下图片，你能在图中找出表示的线段吗？ 并说出它们的几何关系。 教师：引导学生观察图形. 令，要求学生写出焦点在轴的椭圆的标准方程。 学生：认真观察图形，总结出的几何意义，并写出焦点在轴的椭圆的标准方程: 设计意图：让学生通过该过程体会数形结合重要数学思想，让学生更深入理解椭圆方程中各个字母的含义，促进学生深度学习。 教师：如果椭圆的焦点在y轴上，那么椭圆方程又会是什么呢？ 教师：引导学生类比推理。 学生：类比得到焦点在轴上的椭圆的标准方程的推到方法，推导出焦点在轴上的椭圆的标准方程： 设计意图：引导学生体会类比、化归等重要数学思想，探求焦点在轴上的椭圆的标准方程，让学生体会问题的本质所在，简化运算。 教师：如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？ 学生：哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上。 教师：非常正确，可简记为：“谁大在谁家”. 并同时引导学生完成以下表格： 设计意图：表格梳理所学知识，强化学生对椭圆方程的更深入的理解，培养学生的整理归纳能力,为后续学习做铺垫。 3． 巩固练习 教师：给大家时间思考，10分钟之后我们开始抢答。 辨析1：判断正误. (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的轨迹叫做椭圆.( ) (2)到两定点(-2,0)和(2,0)的距离之和为3的点的轨迹为椭圆.( ) 【答案】×,×. 辨析2：设P是椭圆上的任意一点，若，是椭圆的两个焦点，则等于( ). A.10 B.8 C.5 D.4 【答案】A 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，,并且经过点 ,求它的标准方程. 解1：（定义法） 由于椭圆的焦点在轴上，所以可设椭圆方程为 由椭圆的定义知，则 所求椭圆的标准方程为。 解2：（待定系数法） 由于椭圆的焦点在轴上，故可设椭圆方程为 ， 解得： 所求椭圆的标准方程为 4． 链接高考 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(−4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； 5． 课堂小结 教师：（i）本节课学习的主要知识是什么？ （ii）求椭圆标准方程的推到过程是怎样的?（有哪些更加简便的推到方法？） （iii）本节课涉及哪些重要的数学思想方法？ 学生：学生回忆本节课所学内容，从内容、方法、思想三个方面进行归纳. 设计意图：培养学生的归纳概括能力，提升学生的数学学科核心素养。 6． 课后作业布置 A层：基础巩固层（1.定义的理解；2.课本第109页1、2小题） B层：能力提升层（1.课本第109页3、4小题；2.练习册大本） C层：拓展探究层（小本A组、B组） 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $