等比数列讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等比数列 考点一 等比数列基本量计算 2 考点二 等比数列中项、下标和性质 5 考点三 等比数列的前n项和性质 7 考点四 差比混合 8 考点五 等比数列的单调性 9 考点六 证明判断等比数列 11 【知识点梳理】 1.等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为. 代数形式：是常数， 或 是常数， 2.等比中项 若成等比数列，则称与的等差中项,则； 3.证明数列是等比数列的方法 ① 定义法：是常数，是等比数列； ② 中项法：是等比数列； ③ 通项公式法：若数列的通项公式是形如是不为常数， 则数列是等比数列； ④ 前项和法：若数列的前项和是形如是常数且，，， 则数列是等比数列. 4.通项公式 等比数列的首项为，公比为，则.(由定义与累乘法可得) 5.前项和 等比数列的首项为，公比为，则其前项和为 (由错位相减法可证) 注：使用时注意公比是否等于，若不确定，使用时需要分类讨论. 6.基本性质(其中 设是首项为, 公比为的等比数列，那么 若 则 ； ； ； 数列(是不为零的常数)仍是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列， 则数列是公比为的等比数列； 下标成等差数列且公差为的项组成公比为的等比数列； (6)若,则成等比数列；(，是偶数时，) 考点一 等比数列基本量计算 【例1】 1.记为等比数列的前n项和.若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】根据题意结合等比数列通项公式求，结合等比数列求和公式运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，则，解得， 所以. 故选：B. 2.已知数列满足，且，则的值是（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由递推关系证明等比数列、利用等比数列的通项公式求数列中的项、对数的运算 【分析】由已知可得到数列为公比为3的等比数列，进而计算求解. 【详解】∵，∴，且各项非负， ∴数列为公比为3的等比数列， ∴， 故选：B 3.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则， 解得，，故选C． 4.等比数列的前项和，则=（ ） A．-1 B．3 C．-3 D．1 【答案】C 【解析】因为数列是等比数列故满足 ， ， 代入得到 故答案选C． 【过关检测】 1.已知数列满足，若，则等于 A．1 B．2 C．64 D．128 【答案】C 【解析】因为数列满足，所以该数列是以为公比的等比数列，又，所以，即；故选C. 2.已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B．2 C． D．17 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】应用等比数列的基本量运算求出得，再结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】等比数列设公比为，因为，所以， 所以，计算得， 所以. 故选：D. 3.已知正项数列的前项和为，，且，则满足的的最大值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由定义判定等比数列、数列不等式能成立（有解）问题、求等比数列前n项和 【分析】由对数运算性质及等比数列的定义得是首项、公比都为2的等比数列，应用等比数列前n项和公式及求的最大值. 【详解】由题设，又，即是首项、公比都为2的等比数列， 所以，则， 由，则，即. 所以满足的的最大值为9. 故选：A 4.数列中，，，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等比数列的定义、求等比数列前n项和 【分析】由得出是以3为首项，3为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求解. 【详解】由，令，则， 故是以3为首项，3为公比的等比数列，， ， 故， 故选：A. 考点二 等比数列中项、下标和性质 【例2】等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由等比数列的性质可得：，所以. 则故选B. 【过关检测】 1.在等比数列中，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由等比中项的性质可得，解得，因此，.故选：B. 2.设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、等比数列下标和性质及应用 【分析】等比数列中若，，则，先根据性质求出的值，最后运用对数性质计算即可. 【详解】在等比数列中，，得. 根据等比数列性质，. 所以 ，. 故选：C. 3.正项等比数列中，已知，那么（    ） A．4042 B．2021 C．4036 D．2018 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、等比数列下标和性质及应用 【分析】利用等比数列的中项性质结合对数的运算公式计算. 【详解】正项等比数列中，， ， ∴ ． 故选：B． 考点三 等比数列的前n项和性质 【例3】已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12= A．40 B．60 C．32 D．50 【答案】B 【解析】由等比数列的性质可知，数列S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9是等比数列，即数列4,8，S9−S6，S12−S9是等比数列，因此S12=4＋8＋16＋32=60，选B． 【过关检测】 1.已知是各项都为正数的等比数列，是它的前项和，若，，则（ ） A． B．90 C．105 D．106 【答案】C 【解析】由等比数列的性质得成等比数列， 所以成等比数列，所以.故选：C 2.等比数列的前n项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为数列为等比数列，则，，成等比数列， 设，则，则， 故，所以，得到，所以.故选：C. 考点四 差比混合 【例4】各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则公比的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由题得，所以， 因为是各项都是正数的等比数列，所以，所以.故选：B 【过关检测】 1.已知各项均为正数的等比数列，且成等差数列，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】各项均为正数的等比数列的公比设为q，则q>0， 由成等差数列，可得，即， 所以，解得或（舍）， 所以.故选：D. 2．已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】等比数列的其他性质、等比数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【分析】根据条件得，再由，得，解方程即可,注意公比为正数的取舍问题. 【详解】因为与的等差中项为4，所以，又，各项为正数,所以公比为正数， 所以，解得:或(舍). 故答案为：2 考点五 等比数列的单调性 【例5】已知单调递减的等比数列中，，则该数列的公比的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为等比数列单调递减，所以，， 因为，所以， 又因为，所以，所以，故选：D 【过关检测】 1.若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ） A．若是递增数列，则 B．若是递减数列，则 C．若，则 D．若，则是等比数列 【答案】D 【解析】A选项中，，满足单调递增，故A错误； B选项中，，满足单调递减，故B错误； C选项中，若，则，故C错误； D选项中，，所以是等比数列.故D正确. 故选：D. 2.已知数列为等比数列，，公比，则的最大值为（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式 【分析】可根据数列通项公式写出的表达式，进而得出结果. 【详解】，则， 当或4时，表达式取得最大值：． 故选：C． 3.设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论： ①；②；③的值是中最大的；④使成立的最大自然数等于198 其中正确的结论是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【解析】①，，． ，． 又，，且．，即①正确； ②，，即，故②错误； ③由于，而，故有，故③错误； ④中， ，故④正确． 正确的为①④， 故选：． 考点六 证明判断等比数列 【例6】 1.（多选）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算、由定义判定等比数列、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】由题意得数列的通项公式，然后写出每个选项中对应的数列的通项公式，再判断是等差数列还是等比数列. 【详解】对于A，由题意得，所以数列是常数列，A正确； 对于B，数列的通项公式为，则， 所以数列是公比为3的等比数列，B错误； 对于，所以数列是公差为1的等差数列，C错误； 对于D，，所以数列是公比为9的等比数列，D正确， 故选：AD. 2.数列的前项和满足，则数列的通项公式 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等比数列的定义、利用an与sn关系求通项或项 【解析】本题首先可根据得出，然后令，求出的值，最后根据等比数列的定义即可得出结果. 【详解】因为，所以， 则，即， 当时，，解得， 故数列是首项为、公比为的等比数列，， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：已知求的一般步骤： （1）当时，由，求的值； （2）当时，，求得的表达式； （3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示， （4）写出的完整的表达式. 3.已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1），， 因此，数列是等比数列； （2）由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，. 【过关检测】 1.（多选）已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、由定义判定等比数列、判断数列的增减性、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用与的关系，结合数列增减性的判断、等比数列的通项公式与求和公式即可得解. 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，，则， 整理得，则， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列，故A错误， 则数列是递增数列，故B正确， 且，，故CD正确. 故选：BCD. 2.已知数列满足，．设． （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式． 【答案】（1）详见解析；（2）． 【解析】（1），，由条件可得，即，又， 所以是首项为1，公比为2的等比数列． （2） 由（1）可得，，所以． 3.已知正项数列的前项和为，若数列是公差为的等差数列，且是等差中项. （1）证明数列等比数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】（1）因为数列是公差为的等差数列，所以， 故，所以，所以数列是公比为3的等比数列. （2）因为是的等差中项，所以，所以， 解得，数列的通项公式为. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 等比数列 考点一 等比数列基本量计算 2 考点二 等比数列中项、下标和性质 3 考点三 等比数列的前n项和性质 4 考点四 差比混合 4 考点五 等比数列的单调性 5 考点六 证明判断等比数列 6 【知识点梳理】 1.等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为. 代数形式：是常数， 或 是常数， 2.等比中项 若成等比数列，则称与的等差中项,则； 3.证明数列是等比数列的方法 ① 定义法：是常数，是等比数列； ② 中项法：是等比数列； ③ 通项公式法：若数列的通项公式是形如是不为常数， 则数列是等比数列； ④ 前项和法：若数列的前项和是形如是常数且，，， 则数列是等比数列. 4.通项公式 等比数列的首项为，公比为，则.(由定义与累乘法可得) 5.前项和 等比数列的首项为，公比为，则其前项和为 (由错位相减法可证) 注：使用时注意公比是否等于，若不确定，使用时需要分类讨论. 6.基本性质(其中 设是首项为, 公比为的等比数列，那么 若 则 ； ； ； 数列(是不为零的常数)仍是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列， 则数列是公比为的等比数列； 下标成等差数列且公差为的项组成公比为的等比数列； (6)若,则成等比数列；(，是偶数时，) 考点一 等比数列基本量计算 【例1】 1.记为等比数列的前n项和.若，，则（   ） A． B． C． D． 2.已知数列满足，且，则的值是（    ） A．5 B． C．3 D． 3.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 4.等比数列的前项和，则=（ ） A．-1 B．3 C．-3 D．1 【过关检测】 1.已知数列满足，若，则等于 A．1 B．2 C．64 D．128 2.已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B．2 C． D．17 3.已知正项数列的前项和为，，且，则满足的的最大值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 4.数列中，，，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 考点二 等比数列中项、下标和性质 【例2】等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A． B． C． D． 【过关检测】 1.在等比数列中，若，则（ ） A． B． C． D． 2.设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 3.正项等比数列中，已知，那么（    ） A．4042 B．2021 C．4036 D．2018 考点三 等比数列的前n项和性质 【例3】已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12= A．40 B．60 C．32 D．50 【过关检测】 1.已知是各项都为正数的等比数列，是它的前项和，若，，则（ ） A． B．90 C．105 D．106 2.等比数列的前n项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 考点四 差比混合 【例4】各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则公比的值为（ ） A． B． C． D．或 【过关检测】 1.已知各项均为正数的等比数列，且成等差数列，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为 ． 考点五 等比数列的单调性 【例5】已知单调递减的等比数列中，，则该数列的公比的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【过关检测】 1.若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ） A．若是递增数列，则 B．若是递减数列，则 C．若，则 D．若，则是等比数列 2.已知数列为等比数列，，公比，则的最大值为（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 3.设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论： ①；②；③的值是中最大的；④使成立的最大自然数等于198 其中正确的结论是（ ） A． ①③ B．①④ C．②③ D．②④ 考点六 证明判断等比数列 【例6】 1.（多选）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 2.数列的前项和满足，则数列的通项公式 . 3.已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式. 【过关检测】 1.（多选）已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C． D． 2.已知数列满足，．设． （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式． 3.已知正项数列的前项和为，若数列是公差为的等差数列，且是等差中项. （1）证明数列等比数列； （2）求数列的通项公式. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $