等差数列 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学等差数列单元复习讲义通过知识框架图系统构建知识体系，梳理了定义、等差中项、通项公式、前n项和、证明方法及六大性质，将十个核心考点按逻辑递进排列，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，典型例题与过关检测结合，如含绝对值求和需先判断项的正负培养推理能力，裂项求和通过通项拆分渗透模型观念。每个考点附方法原理，帮助不同学生掌握技巧，支持自主复习与教师精准教学。

等差数列 考点一 判断是否为等差数列 2 考点二 求等差数列的项或通项 3 考点三 等差中项及下标和性质 4 考点四 等差数列的证明 4 考点五 等差数列前n 项和 6 考点六 含有绝对值的求和 7 考点七 下标和性质及其推论 8 考点八 前n项和Sn的性质 10 考点九 前n项和Sn的最值 12 考点十 与等差数列有关的裂项求和 14 【知识点梳理】 1.定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为. 代数形式：是常数) 2.等差中项 若成等差数列，则称与的等差中项，则. 3.通项公式 等差数列的首项为，公差为，则. (由定义与累加法可得) 4.前项和 等差数列的首项为，公差为，则其前项和为 (由倒序相加法可证) 5.证明一个数列是等差数列的方法 ① 定义法： 是常数，是等差数列； ② 中项法： 是等差数列； ③ 通项公式法： 是常数) 是等差数列； ④ 前项和公式法： 是常数)是等差数列； 注：方法③④不可以在解答题里直接使用. 6. 基本性质(其中 若数列是首项为，公差为的等差数列，它具有以下性质： 若, 则； ； ； 下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列； 数列(是常数)是公差是的等差数列； 若数列也是等差数列，则数列(为非零常数)也是等差数列； 成等差数列； . 考点一 判断是否为等差数列 【典型例题】 下列数列中，不是等差数列的是（ ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 【过关检测】 若是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是( ) A． B． C． D． 考点二 求等差数列的项或通项 【典型例题】 1.在单调递增的等差数列中，若，，则（ ） A． B． C．0 D． 2．在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【过关检测】 1．设数列，都是等差数列，且，，，那么数列的第37项为（   ） A．0 B．37 C．100 D． 2.已知数列满足，其中，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3.已知数列满足，，则（    ） A．3 B．2或 C．3或 D．2 4．已知数列满足，则数列的前项和的最大值是 ． 考点三 等差中项及下标和性质 【典型例题】 在等差数列中，若，则___________． 【过关检测】 1.已知等差数列的前三项为，则此数列的首项=______． 2．已知等差数列满足，则 . 3.已知数列为等差数列，若，且与的等差中项为6，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点四 等差数列的证明 【典型例题1】 设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝. (1)求证：数列为等差数列； (2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由． 【过关检测】 1.已知，在数列中，，. （1）证明：是等差数列. （2）求的值. 2.已知数列的前n项和为，，．证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； 3．数列的首项，.证明是等差数列，并求的通项公式. 【典型例题2】 已知数列的前n项和是n的二次函数，且，，. (1)求的表达式； (2)求数列的通项公式并证明数列是等差数列. 【过关检测】 已知数列是递增数列，其前项和满足.证明：是等差数列； 考点五 等差数列前n 项和 【典型例题】 记为等差数列的前项和，，，则（ ） A．-77 B．-70 C．-49 D．-42 【过关检测】 1.若等差数列的前项和为，且满足，，则公差（ ） A．1 B． C．2 D． 2.已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A．12 B．15 C．18 D．24 3.已知等差数列的前项和为，，，则 ． 4.已知等差数列的前n项和满足，则（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 5．已知一个等差数列共项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前项和为286，则项数为（    ） A．24 B．26 C．25 D．28 考点六 含有绝对值的求和 【典型例题】 已知等差数列 中，，，记，记的前项和为，的前项和为. （1）求首项和公差； （2）求和的表达式 【过关检测】 1.已知数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 2．在数列中，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 考点七 下标和性质及其推论 【方法原理】1.如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与(或其他项)有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值． 2.若为等差数列，为前项和，则． 3.若，为等差数列，，为前项和，若，有． 【典型例题1】 等差数列中，，则数列前11项和（ ） A．12 B．60 C．66 D．72 【过关检测】 1.设等差数列的前项和为，且 ，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2.已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 3.正项等差数列的前和为，已知，则=（ ） A．35 B．36 C．45 D．54 【典型例题2】 设等差数列、的前n项和分别是，，若，则=（    ） A． B． C． D． 【过关检测】 1.两等差数列和，前n项和分别为，，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知两个等差数列与的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点八 前n项和Sn的性质 【方法原理】（1）等差数列的项和也构成一个等差数列，即，为等差数列，公差为．（2）若为等差数列，则是等差数列，公差为，且． 【典型例题1】 已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．26 C．56 D．42 【过关检测】 1.已知等差数列的前项和为，若，则 （    ） A．288 B．144 C．96 D．25 2.是等差数列}的前n项和，若，则为（ ） A． B． C． D． 3．设等差数列的前项和，若，，则（    ） A．18 B．27 C．45 D．63 4．设为等差数列的前项和，且，，则 . 【典型例题2】 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 【习题检测】 一个等差数列共有项，若前项的和为100，后项的和为200，则中间项的和为（ ） A．75 B．100 C．50 D．125 【典型例题3】 记数列的前n项和为，若是等差数列，，则（    ） A． B． C．0 D．4 【过关检测】 1.设为等差数列的前项和，且，，则（ ） A． B． C． D． 2.在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ） A．0 B．2018 C． D．2020 3.（多选）记为公差d不为0的等差数列的前n项和，则（    ）. A．，，成等差数列 B．，，成等差数列 C． D． 考点九 前n项和Sn的最值 【方法原理】（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． （2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值； ②若，则满足的项数使得取得最小值． 【典型例题】 1.（多选）递增等差数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（    ） A． B． C．当时最小 D．时n的最小值为8 2．已知等差数列的前项和为，若，，则，，…，中最大的是（ ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，若，则当最小时，的值为 . 【过关检测】 1.（多选）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 2.（多选）设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列是等差数列 D．对任意，都有 3.已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（ ） A．1 B． C． D． 考点十 与等差数列有关的裂项求和 【方法原理】把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和.裂项时常用的五种变形: （1） ; （2） . （3） ; （4） . （5）若数列是等差数列，且公差，则 . 1．已知是等差数列的前项和，若，则数列的前2024项和为 . 2．若数列的通项公式为，则（    ） A． B． C． D． 3．记为等差数列的前n项和．若，则数列的前2024项和为（    ） A． B． C． D． 4．设数列的各项都为正数，且． (1)证明数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 5．已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 6．记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 等差数列 考点一 判断是否为等差数列 2 考点二 求等差数列的项或通项 3 考点三 等差中项及下标和性质 6 考点四 等差数列的证明 8 考点五 等差数列前n 项和 11 考点六 含有绝对值的求和 13 考点七 下标和性质及其推论 15 考点八 前n项和Sn的性质 19 考点九 前n项和Sn的最值 24 考点十 与等差数列有关的裂项求和 28 【知识点梳理】 1.定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为. 代数形式：是常数) 2.等差中项 若成等差数列，则称与的等差中项，则. 3.通项公式 等差数列的首项为，公差为，则. (由定义与累加法可得) 4.前项和 等差数列的首项为，公差为，则其前项和为 (由倒序相加法可证) 5.证明一个数列是等差数列的方法 ① 定义法： 是常数，是等差数列； ② 中项法： 是等差数列； ③ 通项公式法： 是常数) 是等差数列； ④ 前项和公式法： 是常数)是等差数列； 注：方法③④不可以在解答题里直接使用. 6. 基本性质(其中 若数列是首项为，公差为的等差数列，它具有以下性质： 若, 则； ； ； 下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列； 数列(是常数)是公差是的等差数列； 若数列也是等差数列，则数列(为非零常数)也是等差数列； 成等差数列； . 考点一 判断是否为等差数列 【典型例题】 下列数列中，不是等差数列的是（ ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 【答案】C 【解析】根据等差数列的定义，可得： A中，满足（常数），所以是等差数列； B中，（常数），所以是等差数列； C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列； D中，满足（常数），所以是等差数列.故选：C. 【过关检测】 若是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A: =（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列． B:== 与n有关系，因此不是等差数列. C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d为常数，仍然为等差数列； D: 当数列{an}的首项为正数、公差为负数时，{|an|}不是等差数列；故选：C 2.已知数列，c为常数，那么下列说法正确的是（ ） A．若是等差数列时，不一定是等差数列 B．若不是等差数列时，一定不是等差数列 C．若是等差数列时，一定是等差数列 D．若不是等差数列时，一定不是等差数列 【答案】D 【解析】当是等差数列时，由等差数列的性质可知，一定是等差数列，A错； 对于数列：1，2，4，5，令，则为等差数列，B错； 当c为0时， 0，0，0，0是等差数列，但不是等差数列，C错．故选D． 考点二 求等差数列的项或通项 【典型例题】 1.在单调递增的等差数列中，若，，则（ ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，所以，解得 故选：A 【答案】C 【解析】因为是等差数列，所以，， 解得：，故选：C 2．在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据题目条件得到为等差数列，公差为1，并求出首项，从而得到通项公式，求出，得到答案. 【详解】因为，所以为等差数列，公差为1，首项为， 故，所以， 因为，所以，. 故选：C 【过关检测】 1．设数列，都是等差数列，且，，，那么数列的第37项为（   ） A．0 B．37 C．100 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断等差数列、利用等差数列的性质计算 【分析】根据题意可判断也是等差数列，进一步可判断数列为常数列，得解. 【详解】因为，都是等差数列，所以也是等差数列． 又因为，， 所以数列的公差为0，即数列为常数列． 所以的第37项为100. 故选：C． 2.已知数列满足，其中，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用等差数列的性质计算 【分析】根据已知递推关系，可以得到，数列为等差数列，然后利用等差数列的性质求得的值. 【详解】由，得是等差数列，. 故选：C 3.已知数列满足，，则（    ） A．3 B．2或 C．3或 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据递推公式计算即可. 【详解】因为，， 所以， 所以， ， ， ， 所以或， 故选：C. 4．已知数列满足，则数列的前项和的最大值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和的最值 【分析】化简得到，得出为等差数列，求得，得到时，，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由数列满足，可得， 又由，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列， 所以， 令，即，解得，且， 所以，当时，；当时，， 所以数列的前项和的最大值是. 故答案为：. 考点三 等差中项及下标和性质 【典型例题】 在等差数列中，若，则___________． 【答案】60； 【解析】在等差数列中，，，解得， ．故答案为：60 【过关检测】 1.已知等差数列的前三项为，则此数列的首项=______ ． 【答案】 【解析】依题意可得，解得，故等差数列的前三项为，所以故答案为： 2．已知等差数列满足，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列的性质可得，代入条件式，可求得，再根据，可得解. 【详解】在等差数列中，，又， ，解得，又，而，解得. 故答案为：. 3.已知数列为等差数列，若，且与的等差中项为6，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】设的公差为. 数列为等差数列，，且与的等差中项为6， ，解得，，．故选：D． 考点四 等差数列的证明 【典型例题1】 设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝. (1)求证：数列为等差数列； (2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见证明；(2) a1a2是数列{an}中的项，是第11项． 【解析】(1)证明：根据题意a1＝及递推关系an≠0.因为an＝.取倒数得＋4， 即＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列． (2)解：由(1)，得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，. 又，解得n＝11. 所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项． 【过关检测】 1.已知，在数列中，，. （1）证明：是等差数列. （2）求的值. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：当时，因为，所以，即。 易知，所以，即。 所以是首项为，公差为的等差数列。 （2）由（1）知， 所以，所以。 2.已知数列的前n项和为，，．证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； 【答案】证明见解析，； 【详解】由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. 3．数列的首项，.证明是等差数列，并求的通项公式. 【答案】证明见解析； 【详解】解：由，可得， 所以，即 又由，可得， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以 则，即数列的通项公式为. 【典型例题2】 已知数列的前n项和是n的二次函数，且，，. (1)求的表达式； (2)求数列的通项公式并证明数列是等差数列. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据题意，由待定系数法列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由与的关系，代入计算，即可得到数列的通项公式，再由等差数列的定义，即可证明. 【详解】（1）设. ∵，，. ∴解得 ∴. （2）∵，当时， . 当时，也成立.∴， 当时，， 从而. 所以数列是一个等差数列. 【过关检测】 已知数列是递增数列，其前项和满足.证明：是等差数列； 【答案】证明见解析 【详解】当时，，解得， 当时，，则， 即，即 又数列为递增数列， 所以，故， 即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； 考点五 等差数列前n 项和 【典型例题】 记为等差数列的前项和，，，则（ ） A．-77 B．-70 C．-49 D．-42 【答案】A 【解析】由，得，∴，，.故选:A 【过关检测】 1.若等差数列的前项和为，且满足，，则公差（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】∵，∴，，解得.故选：A. 2.已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由题意解方程组，求得数列的首项和公差，根据等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为d， 由，，得，解得， 故， 故选：B 3.已知等差数列的前项和为，，，则 ． 【答案】153 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的前n项和公式求出公差，据此求出，即可得出. 【详解】由有，，， 则有，解得， 所以，所以． 故答案为：153 4.已知等差数列的前n项和满足，则（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【解析】因为，所以，又，所以． 故，解得．故选：D. 5．已知一个等差数列共项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前项和为286，则项数为（    ） A．24 B．26 C．25 D．28 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列前四项和与后四项和，求解首项和某项的和，利用前和求解项数，判断选项 【详解】由前四项之和为21，末四项之和为67， 所以，即 又由前项和为，则，所以. 故选：B 考点六 含有绝对值的求和 【典型例题】 已知等差数列 中，，，记，记的前项和为，的前项和为. （1）求首项和公差； （2）求和的表达式 【答案】（1），；（2），. 【解析】（1）由题可得，解得 ，； （2）由（1）可知， ，， 当，即时，, 当时， ， . 【过关检测】 1.已知数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为， 所以当时，， 又因为时，适合上式，所以； （2）因为. ①当时，， 所以； ②当时，， 所以 . 所以. 2．在数列中，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】（1）由已知条件可得数列是等差数列，再根据可求出公差，从而可求出数列的通项公式， （2）设数列的前n项和为，则由等差数列的求和公式可求出，由可求得时，，当时，，然后分情况可求出. 【详解】（1）∵，∴， ∴数列是等差数列，设其公差为d． ∵，∴， ∴ （2）设数列的前n项和为，则由（1）可得， 由（1）知，令，得， ∴当时，， 则 ； 当时，，则， ∴ 考点七 下标和性质及其推论 【方法原理】1.如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与(或其他项)有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值． 2.若为等差数列，为前项和，则． 3.若，为等差数列，，为前项和，若，有． 【典型例题1】 等差数列中，，则数列前11项和（ ） A．12 B．60 C．66 D．72 【答案】C 【解析】在等差数列中，，所以 所以.故选：C. 【过关检测】 1.设等差数列的前项和为，且 ，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】先求得，再利用求解即可. 【详解】由，可得， 则. 故选：A. 2.已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 3.正项等差数列的前和为，已知，则=（ ） A．35 B．36 C．45 D．54 【答案】C 【解析】正项等差数列的前项和，，， 解得或（舍），，故选C. 【典型例题2】 设等差数列、的前n项和分别是，，若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、利用等差数列的性质计算 【分析】方法1，利用等差数列前n项和公式将，和比较确定n的值，即得答案； 方法2，利用等差数列的性质结合前n项和公式将化为，即得答案. 【详解】方法1：因为等差数列，的前项和分别是，, 因为， 所以， 故选：C 方法2：因为等差数列，的前项和分别是，． 所以， 故选：C． 【过关检测】 1.两等差数列和，前n项和分别为，，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在为等差数列中，当，，，时，． 所以， 又因为，所以．故选：A． 2．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据已知及等差数列前n项和的特征，设，，再由求值即可. 【详解】根据已知及等差数列前n项和，设，， 则. 故选：C 3．已知两个等差数列与的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列的性质，先把数列对应项的比转化为前项和的比，再分离常数，结合为正整数求的个数. 【详解】因为为整数， 所以的值可以为：1，5，16. 故选：A 考点八 前n项和Sn的性质 【方法原理】（1）等差数列的项和也构成一个等差数列，即，为等差数列，公差为．（2）若为等差数列，则是等差数列，公差为，且． 【典型例题1】 已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．26 C．56 D．42 【答案】D 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】先通过求出，再利用求解即可. 【详解】设等差数列的公差为 由已知， 则 ， 得， . 故选：D. 【过关检测】 1.已知等差数列的前项和为，若，则 （    ） A．288 B．144 C．96 D．25 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等差数列的前项和列方程组求出，进而即可求解. 【详解】由题意，即，解得. 于是. 故选：B. 2.是等差数列}的前n项和，若，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，根据是一个首项为，公差为的等差数列，各项分别为，故.故选：. 3．设等差数列的前项和，若，，则（    ） A．18 B．27 C．45 D．63 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案. 【详解】由题意得成等差数列， 即成等差数列， 即，解得. 故选：C 4．设为等差数列的前项和，且，，则 . 【答案】39 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】由题意成等差数列，结合，即可求解. 【详解】由题意为等差数列的前项和，且，， 所以， 而成等差数列， 所以. 故答案为：39. 【典型例题2】 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【习题检测】 一个等差数列共有项，若前项的和为100，后项的和为200，则中间项的和为（ ） A．75 B．100 C．50 D．125 【答案】A 【典型例题3】 记数列的前n项和为，若是等差数列，，则（    ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由已知是等差数列，可求得的公差，进而求得的通项公式，可得，利用，计算可得结果. 【详解】因为是等差数列，， 所以的公差，所以， 所以， 所以， 故选:C. 【过关检测】 1.设为等差数列的前项和，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为， 则，则， 因此，.故选：A. 2.在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ） A．0 B．2018 C． D．2020 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得为等差数列，的公差为.，，解得. 则.故选：D. 3.（多选）记为公差d不为0的等差数列的前n项和，则（    ）. A．，，成等差数列 B．，，成等差数列 C． D． 【答案】ABD 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列性质及前项和公式对4个选项依次判断即可． 【详解】 ， ， ，，成等差数列，故选项A正确； ，， ，，， ， 即，，成等差数列，故选项B正确； ， 不成立，即选项C错误； ， 成立，即选项D正确； 故选：ABD． 考点九 前n项和Sn的最值 【方法原理】（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． （2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值； ②若，则满足的项数使得取得最小值． 可从以下两个方面入手：1、找出相邻两项间的正负，可借助项的性质推导；2、找到首项与公差的线性关系，并利用图象分析. 注意：看清楚问题是什么？尤其是跟前n项和有关的问法，是问的取最小值（最大值）时，n的取值，还是>0或者<0时，n的取值. 【典型例题】 1.（多选）递增等差数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（    ） A． B． C．当时最小 D．时n的最小值为8 【答案】ABD 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】由等差数列通项公式基本量的计算即可判断AB；由等差数列前n项和二次函数特性即可判断C；由等差数列前n项和的不等式法即可判断D. 【详解】A、B：由题意可设等差数列的公差为d， 因为，可得，解得， 又由等差数列是递增数列，可知，则，故A，B正确. C：， 由得，当或4时最小，故C错误. D：令，解得或，即时n的最小值为8，故D正确. 故选：ABD. 2．已知等差数列的前项和为，若，，则，，…，中最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 3．已知等差数列的前项和为，若，则当最小时，的值为 . 【答案】1012 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值 【分析】由等差数列，和，求出最小时的值. 【详解】因为等差数列中， ， 所以， 则当最小时，. 故答案为： 【过关检测】 1.（多选）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【知识点】等差数列的单调性、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的其他性质及应用、求等差数列前n项和的最值 【分析】由、知、，即可判断AB；根据数列的单调性即可判断CD. 【详解】由，得，即， 由，得，即，所以. A：由，可知，故A正确； B：由，可知数列的公差，故B错误； C：，由知随的增大而增大， 则，所以的最小值为，故C正确； D：当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以当时，；当时，；当时，， 又，， 所以，， 所以，即， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD 2.（多选）设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列是等差数列 D．对任意，都有 【答案】BCD 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和、判断等差数列 【分析】由题意首先得，，，结合等差数列求和公式即可判断AB，进一步可判断D，结合等差数列求和公式以及定义可判断C. 【详解】由题意等差数列的前n项和为，且，， 所以，，， ，故A错B对； 由题意（分别为首项公差），所以， 所以数列是分别以为首项公差的等差数列，故C正确； 因为，，，所以，所以对任意，都有，故D正确. 故选：BCD. 3.已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为等差数列的前项和有最大值，故可得 因为，故可得， 整理得，即， 又因为，故可得. 又因为，，故取得最小正值时n等于.故选：D. 考点十 与等差数列有关的裂项求和 【方法原理】把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和.裂项时常用的五种变形: （1） ; （2） . （3） ; （4） . （5）若数列是等差数列，且公差，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】裂项相消法求和 【分析】略 【详解】略 1．已知是等差数列的前项和，若，则数列的前2024项和为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项及前项和，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】等差数列中，，又，则， 因此等差数列的公差，则，， 于是， 数列的前项和， 所以数列的前2024项和为. 故答案为： 2．若数列的通项公式为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】裂项相消法求和 【分析】利用裂项相消求和可得答案. 【详解】， 则. 故选：A. 3．记为等差数列的前n项和．若，则数列的前2024项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】由已知条件求出数列的首项与公差，得到数列通项，裂项相消求数列的前2024项和. 【详解】设的公差为d，由得 解得，所以. 则 数列的前2024项和为． 故选：C 4．设数列的各项都为正数，且． (1)证明数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、构造法求数列通项 【分析】（1）将两边取倒数，再结合等差数列的定义即可得证； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由数列的各项都为正数，且， 得，即， 所以数列是以为公差的等差数列； （2），由（1）得， 所以，则， 所以. 5．已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）由已知可得，利用裂项相消法可求出，即可证得结论成立. 【详解】（1）解：由已知可得， 设等差数列的公差为，则，解得， 所以，. （2）证明：， 所以， . 故对任意的，. 6．记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列中的基本量可解得，可求出的通项公式为； （2）利用裂项求和即可求出数列的前n项和. 【详解】（1）设的公差为，因为，， 所以，解得 由等差数列通项公式可得． 即的通项公式为 （2）因为， 因此， 所以． 即数列的前n项和. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $