5.4.3 正切函数的性质与图象（分层作业）数学人教A版2019必修第一册

5.4.3 正切函数的性质与图象 知识点1 正切函数的定义域 1．（24-25高一下·四川·期中）函数的定义域为 ． 2．（24-25高一下·陕西汉中·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·云南楚雄·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 知识点2 正切函数的最值或值域问题 1．（24-25高一上·湖南衡阳·月考）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 2．函数（且）的值域是 ． 3．（24-25高一下·四川南充·期中）函数的值域是 . 4．（24-25高一下·四川德阳·月考）求函数，的值域. 知识点3 正切函数的周期性 1．（24-25高一下·广东湛江·月考）函数的最小正周期为 ． 2．（24-25高一下·上海·月考）已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为 ． 3．（24-25高一下·上海宝山·月考）设常数，已知函数的最小正周期为2，则的值为 ． 4．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）“函数的最小正周期为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点4 正切函数的奇偶性 1．（24-25高二下·河北·期末）（多选）下列函数是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 2．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25高一下·上海·月考）已知，，若，则 ． 4．（24-25高一下·重庆沙坪坝·月考）若函数为奇函数，则的最小值为 . 知识点5 正切函数的对称性 1．（24-25高一下·湖南·期末）函数图象的对称中心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南丽江·月考）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北襄阳·月考）函数的对称中心为 . 4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数关于点中心对称，则 ． 知识点6 正切函数的单调性 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的单调递增区间为 4．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 知识点7 比较正切函数值的大小 1．（23-24高一下·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西·月考）若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·期中）若锐角满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法均不对 4．（多选）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点8 利用正切函数解不等式 1．（24-25高一下·广东·月考）利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 2．（24-25高一下·河北承德·期中）已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁·月考）的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东清远·期中）若是斜三角形的一个内角，则函数的定义域为 . 1．（2025·云南昆明·一模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知函数，则此函数在区间内零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知函数在上单调递增. (1)求的取值范围； (2)若，求的单调递增区间； (3)若，求的最小正周期. 1．（24-25高一下·山西·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域是 B．是奇函数 C．是的一个周期 D．是曲线的一个对称中心 2．（24-25高一下·广东·月考）（多选）已知函数，下列关于该函数结论正确的是（   ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．在上不单调 D．，有4个零点 3．（24-25高一下·辽宁大连·月考）已知函数，则函数的定义域是 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4.3 正切函数的性质与图象 知识点1 正切函数的定义域 1．（24-25高一下·四川·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】由，得， 所以函数的定义域为. 2．（24-25高一下·陕西汉中·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得． 所以函数的定义域为.故选：A. 3．（24-25高一下·江西·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得.故选：D. 4．（24-25高一下·云南楚雄·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，， ∴， ∴， ∴函数的定义域为.故选：B. 知识点2 正切函数的最值或值域问题 1．（24-25高一上·湖南衡阳·月考）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】故选：C. 2．函数（且）的值域是 ． 【答案】 【解析】当时，，∴； 当时，，∴． 即当时，函数的值域是． 3．（24-25高一下·四川南充·期中）函数的值域是 . 【答案】 【解析】令，， 在上单调递增，. 4．（24-25高一下·四川德阳·月考）求函数，的值域. 【答案】 【解析】因为，令，可得， 因为二次函数在上单调递增，故. 因此，函数，的值域为. 知识点3 正切函数的周期性 1．（24-25高一下·广东湛江·月考）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【解析】函数的最小正周期为. 2．（24-25高一下·上海·月考）已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为 ． 【答案】或 【解析】由，解得. 3．（24-25高一下·上海宝山·月考）设常数，已知函数的最小正周期为2，则的值为 ． 【答案】 【解析】由题设及正切函数的性质，有且，则. 4．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）“函数的最小正周期为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由函数的最小正周期为，得，得， 故“函数的最小正周期为”推不出“”， “”可推出“函数的最小正周期为”， 所以“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件．故选：B 知识点4 正切函数的奇偶性 1．（24-25高二下·河北·期末）（多选）下列函数是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A，，定义域为，关于原点对称， ，所以为奇函数，故A正确； 对于B，，定义域为，关于原点对称， ，所以为奇函数，故B正确； 对于C，，定义域为，关于原点对称， ，所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，，定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，故D错误，故选：AB. 2．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)奇函数，理由见解析；(2)偶函数，理由见解析；(3)奇函数，理由见解析；(4)偶函数，理由见解析 【解析】（1）是奇函数，理由如下： 设，由解得， 所以的定义域为， ， 所以是奇函数. （2）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. （3）是奇函数，理由如下： 设，则定义域是， ， 所以是奇函数. （4）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. 3．（24-25高一下·上海·月考）已知，，若，则 ． 【答案】1 【解析】因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以 4．（24-25高一下·重庆沙坪坝·月考）若函数为奇函数，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为函数为奇函数,所以 由得,, 即, 所以，解得, 因为,取,得,所以的最小值为. 知识点5 正切函数的对称性 1．（24-25高一下·湖南·期末）函数图象的对称中心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得， 所以函数图象的对称中心坐标为.故选：C. 2．（24-25高一下·云南丽江·月考）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是，即， 又，则时最小，最小值是，即．故选：C 3．（24-25高一下·湖北襄阳·月考）函数的对称中心为 . 【答案】 【解析】令，解得， 所以的对称中心为， 4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数关于点中心对称，则 ． 【答案】 【解析】令，可得：，结合， 令，可得，得，解得， 所以， 所以 . 知识点6 正切函数的单调性 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得：.故选：C. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因在上是增函数，依题意该函数在区间上是增函数， 则有，解得，又因，故.故选：C. 3．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的单调递增区间为 【答案】 【解析】对于函数，由， 可得， 所以，函数的单调递增区间为. 4．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 【答案】1 【解析】由函数在区间内单调递增， 可得，且，解得， 所以的最大值为1. 知识点7 比较正切函数值的大小 1．（23-24高一下·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为函数在上单调递增，且， 所以，即.故选：D 2．（24-25高一下·江西·月考）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据诱导公式，可得. 因为函数在上单调递增，所以. 又在上单调递增，所以， 所以.故选:D 3．（24-25高一下·四川成都·期中）若锐角满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法均不对 【答案】B 【解析】锐角满足，又在上单调递增， 所以， 对于：在上单调递减，所以，故错误； 对于：在上单调递增，所以，故正确； 对于：，由不等式的性质可得，故错误.故选：. 4．（多选）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，因为，函数在上单调递增， 所以．故A正确； 对于B, ．故B不正确； 对于C，，． 又，函数在上单调递增， 所以，即．故C不正确； 对于D，，． 又，函数在上单调递增， 所以，即．故D正确.故选：AD. 知识点8 利用正切函数解不等式 1．（24-25高一下·广东·月考）利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 【答案】D 【解析】由正切函数图象知，在内，满足不等式的取值范围是， 所以在整个定义域内满足不等式的取值范围是，.故选：D 2．（24-25高一下·河北承德·期中）已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的最小正周期为，所以，得． 所以， 由，得， 解得．故选：A． 3．（24-25高一下·辽宁·月考）的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】要使函数有意义， 则应有. 由正切函数的图象与性质解可得，， 所以，函数的定义域为.故选：A. 4．（24-25高一下·广东清远·期中）若是斜三角形的一个内角，则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】的定义域需要满足，故， 因此或， 故定义域为. 1．（2025·云南昆明·一模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的周期相等， 则函数的周期，即，所以， 则， 令，故， 令，则， 故，解得， 因为，所以．故选：D． 2．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知函数，则此函数在区间内零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】令得，， 当或或时，，但，故不是函数零点， 当且且时，， 同一坐标系内画出与在上的图象，如下： 可以看出上，与在上共有3个交点， 故零点个数为3个，分别为.故选：D 3．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知函数在上单调递增. (1)求的取值范围； (2)若，求的单调递增区间； (3)若，求的最小正周期. 【答案】(1);(2);(3) 【解析】（1）当，， 因为在上单调递增， 所以，所以， 所以的取值范围为. （2）若， 由，，解得，， 所以的单调递增区间为：. （3）若，则，得 则，，解得，， 又因为，所以， 的最小正周期为. 1．（24-25高一下·山西·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域是 B．是奇函数 C．是的一个周期 D．是曲线的一个对称中心 【答案】BCD 【解析】对于A中，由有定义，可得， 又由，可得，即， 所以函数的定义域是，且，所以A错误； 对于B中，因为，所以，即， 又因为定义域关于原点对称，所以是奇函数，所以B正确； 对于C中，由，即， 所以是的一个周期，所以C正确； 对于D中，函数的定义域关于点对称， 又由，可得， 即，所以曲线关于点中心对称，所以D正确．故选：BCD． 2．（24-25高一下·广东·月考）（多选）已知函数，下列关于该函数结论正确的是（   ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．在上不单调 D．，有4个零点 【答案】ABD 【解析】对于A，易得的定义域为. ， 所以是偶函数，故A正确； 对于B，因为 ，所以的一个周期是，故B正确； 对于C，看成由，和复合而成， 又，单调递增且，单调递减， 所以在上单调递减，故C错误； 对于D，同理可得在上单调递增，易得简图如下： 又的最大值为， 所以，与有4个交点， 故选项D正确.故选：ABD. 3．（24-25高一下·辽宁大连·月考）已知函数，则函数的定义域是 【答案】 【解析】要使函数有意义，则根号下的，且有意义，即的分母. 因为，所以（）. 那么等价于. 由可得. 由可得.   因为，即. 综合以上条件，取交集可得或. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $