6.1.2乘法公式与事件的独立性（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“乘法公式与事件的独立性”，通过复习条件概率公式及必修中独立性定义导入，搭建从条件概率推导乘法公式、从定性到定量深化独立性概念的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以摸球抽样、系统可靠性等实例为载体，引导学生用数学眼光观察现实问题中的概率关系，在公式推导与独立性判断中发展数学思维，结合“划重点”与课堂小结梳理分步计算等思想，助力学生构建知识体系，也为教师提供清晰教学路径与丰富素材。

6.1.2乘法公式与事件的独立性 第六章 概率 北师大版2019选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 理解乘法公式的推导，掌握利用乘法公式计算多事件同时发生的概率. 从条件概率角度深化事件独立性的概念，能判断事件是否独立. 会运用“乘法公式+独立性”解决放回与不放回抽样、系统可靠性等实际问题. 知识回顾 问题3：若独立，结合条件概率公式，可以如何表示？ 若A,B独立，则P(B|A) = P(B)，故P(AB) = P(A)P(B). 若一个事件发生与否，不影响另一个事件发生的概率，则这两个事件相互独立 问题2： 必修中事件独立性的定义是什么？ 问题1：什么是条件概率？请写出其计算公式. 已知事件A发生时，事件B发生的概率； 公式：（P(A) > 0）. 新知探究 问题1： 由条件概率公式 ，能否变形得到P(AB)的表达式？ 探究1：乘法公式的推导与应用 问题2：若已知P(B) > 0，P(AB)还有其他表达式吗？ 能，变形得P(AB) = P(A)P(B|A) (P(A) > 0). 同理可得P(AB) = P(B)P(A|B) (P(B) > 0). 新知探究  由条件概率的定义则有 探究1：乘法公式的推导与应用 称公式①②为乘法公式，利用它们可以计算两个事件同时发生的概率. 追问：使用乘法公式时，需要注意什么？ P(AB)=P(A)P(B|A) (其中P(A)>0). ① P(AB)=P(B)P(A|B) (其中P(B)>0). ② 需明确“前一个事件发生”是“后一个事件发生”的条件，即公式中的P(B|A)是A发生后的条件概率. 典例分析 例1 已知口袋中有3个黑球和7个白球这10个球除颜色外完全相同. (1)先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次摸到的均为黑球的概率； (2)从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第三次才摸到黑球的概率. 解 设事件Ai表示“第i次摸到的是黑球”(i=1,2,3), (1)由题意知 则事件A₁A₂表示“两次摸到的均为黑球”. 于是，根据乘法公式，有 所以先后两次从中不放回地各摸出一球，两次摸到的均为黑球的概率为 典例分析 例1 已知口袋中有3个黑球和7个白球这10个球除颜色外完全相同. (1)先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次摸到的均为黑球的概率； (2)从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第三次才摸到黑球的概率. 乘法公式的核心是“分步计算”：先算第一个事件的概率，再算前一个事件发生后下一个事件的条件概率；“第k次才发生”的事件，需表示为“前k-1次不发生，第k次发生”的交事件. (2)设事件A表示“第三次才摸到黑球”, 由题意知P(₁)=,P(₂|₁)=,P(A₃|₁₂)=. 于是，根据乘法公式，有 P(₁₂₃)=P(₁)P(₂|₁)P(₃|₁₂)=××= 所以从中不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球的概率为 则A=12A3. 新知探究 探究2：事件独立性的概率公式 问题1：若A,B相互独立，结合条件概率公式，P(AB)与P(A),P(B)有何关系？ 问题2： 反之，若P(AB) = P(A)P(B)，能否说明A,B相互独立？ 因A,B独立，P(B|A) = P(B)，故P(AB) = P(A)P(B|A) = P(A)P(B). 能，由P(B|A) = = P(B)，可知A发生不影响B的概率，故A,B独立. 新知探究 探究2：条件概率的定义与公式 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，即事件A与事件B相互独立. 事件A与事件B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B). 追问1：“互斥事件”和“独立事件”是同一概念吗？ 不是；互斥是“不能同时发生”，独立是“发生概率互不影响”. 追问2： 三个事件A,B,C相互独立，需要满足什么条件？ 需满足P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，且P(ABC)=P(A)P(B)P(C). 典例分析 例2 口袋中有4个黑球和3个白球，这7个球除颜色外完全相同，连摸两次，每次摸一球.记事件A表示“第一次摸得黑球”,事件B表示“第二次摸得黑球”.在放回摸球和不放回摸球两种情况下，事件A与事件B是否独立? 放回抽样时，各次试验的样本空间不变，事件通常独立； 不放回抽样时，样本空间随前一次试验缩小，事件通常不独立. 分析 两种判断事件A与事件B是否独立的方法： 解 ①放回摸球： ②不放回摸球： ①P(B|A)=P(B)是否成立； ②P(AB)=P(A)P(B)是否成立. 依题意有P(A)=,P(B)=,P(B|A)=. 因此，P(B|A)=P(B)， 即放回摸球时事件A与事件B独立. P(A)=,P(B)=,P(AB)===. 因此，P(AB)≠P(A)P(B)， 即不放回摸球时事件A与事件B不独立. 典例分析 例3 如图,用a,b,c三类不同的元件连接成两个系统N₁,N₂.当元件a,b,c都正常工作时，系统N₁正常工作；当元件a正常工作且元件b,c至少有一个正常工作时，系统N₂正常工作.已知元件a,b,c正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90. (1)求系统N₁正常工作的概率P₁; (2)求系统N₂正常工作的概率P₂. (N₁) a b c (N2) a b c 解 设事件A表示“元件a正常工作”, 事件B表示“元件b正常工作”, 事件C表示“元件c正常工作”. 由题意可知事件A,B,C相互独立. (1)依题意知 P₁=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648. 故系统N₁正常工作的概率为0.648. 典例分析 例3 如图,用a,b,c三类不同的元件连接成两个系统N₁,N₂.当元件a,b,c都正常工作时，系统N₁正常工作；当元件a正常工作且元件b,c至少有一个正常工作时，系统N₂正常工作.已知元件a,b,c正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90. (1)求系统N₁正常工作的概率P₁; (2)求系统N₂正常工作的概率P₂. (N₁) a b c (N2) a b c (2)依题意知 P₂=P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P(C) =0.80×0.90×0.10+0.80×0.10×0.90+0.80×0.90×0.90=0.792. 故系统N₂正常工作的概率为0.792. 串联系统：“都正常”的概率= 各元件正常概率的乘积； 并联系统：“至少一个正常” 的概率= 1-各元件都不正常的概率乘积； 混联系统：先分解为“串联 + 并联”，再分步计算. 课堂练习 1.袋中有3个黑球和2个白球，这5个球除颜色外完全相同.每次从中取出一球， 取后放回.设事件A表示“第一次取出白球”,事件B表示“第二次取出白球”, 则P(B|A)=____,P(AB)=____. 课堂练习 2.连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察每次掷出的点数.设事件A表示“第 二次掷出的点数为1”,事件B表示“第二次掷出的点数比第一次的小1”,则 P(B|A)=_____,P(AB)=_____. 3.甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,则2人都射中的概率为_____ . 4.如图，开关电路中，某段时间内，开关S₁,S₂,S₃开或关的 概率均2,且相互独立，则这段时间内灯亮的概率为_____ . 课堂练习 1.袋中有3个黑球和2个白球，这5个球除颜色外完全相同.每次从中取出一球， 取后放回.设事件A表示“第一次取出白球”,事件B表示“第二次取出白球”, 则P(B|A)=____,P(AB)=____. 课堂练习 解 有放回地取球,事件A,B相互独立，则每次取出白球的概率均为, 所以 P(A)=,P(B)=,P(B|A)=, P(AB)=. 课堂练习 课堂练习 2.连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察每次掷出的点数.设事件A表示“第 二次掷出的点数为1”,事件B表示“第二次掷出的点数比第一次的小1”,则 P(B|A)=_____,P(AB)=_____. 解 P(B|A)表示在事件A发生的前提下,事件 B发生的概率,即事件第一次掷出的点数为 2”的概率， 则P(B|A)=. P(AB)表示事件“第一次掷出的点数为2,第二次掷出的点数为1”的概率 则 P(AB)=. 课堂练习 课堂练习 3.甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,则2人都射中的概率为_________. 解 设“甲射击一次,射中目标”为事件 A,“乙射击一次,射中目标”为事件B,则事件A与B是相互独立的· 由题意知P(A)=0.8,P(B)=0.9, 所以两人都射中目标的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72 0.72 课堂练习 课堂练习 4.如图，开关电路中，某段时间内，开关S₁,S₂,S₃开或关的概率均2,且相互独立，则这段时间内灯亮的概率为_____ . 解 方法一：设事件A,B,C分别表示开关S1,S2,S3打开,则S1,S2同时闭合或S3闭合时灯亮, 即,, , 或 之一发生， 它们是互斥事件,所以灯亮的概率为 P = P()+P()+P()+P()+P() = 5×. 课堂练习 课堂练习 4.如图，开关电路中，某段时间内，开关S₁,S₂,S₃开或关的概率均2,且相互独立，则这段时间内灯亮的概率为_____ . 解 方法二：设事件A,B,C分别表示开关S1,S2,S3闭合, 若灯不亮,则两条线路都不通, 即S3一定打开，S1,S2至少有一个打开. 因为S1,S2至少有一个打开的概率是1-P(AB)=1-P(A)P(B)=， 所以两条线路都不通的概率为P()(1-P(AB))=×=, 故灯亮的概率为p=. 课堂小结 1.基本知识： 核心概念：条件概率 乘法公式： 基本方法： 基本思想： 事件独立性： 乘法公式的应用 独立性的判断 分步计算思想 等价转化思想 分类整合思想 P(AB) = P(A)P(B|A)（P(A) > 0）. A,B独立 P(AB) = P(A)P(B) P(B|A) = P(B) 系统可靠性计算 基础作业： 课本习题6-1A组第4,5,6题． 拓展练习： 课本习题6-1B组第1题． 布置作业 感谢聆听! $