精品解析：广东省江门市华侨中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年九年级上学期期中核心素养测试数学卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案是历届冬奥会会徽，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A正确； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误． 故选：A． 2. 下列事件中，为不可能事件的是（ ） A. 掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B. 旭日东升 C. 当为某一实数时可使 D. 明天要下雨 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件．熟练掌握在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，是解题的关键． 根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，A中掷一枚均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故不符合要求； B中旭日东升，是必然事件，故不符合要求； C中当x为某一实数，，是不可能事件，故符合要求； D中明天要下雨，是随机事件，故不符合要求； 故选：C． 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．按照抛物线平移的公式即可求解． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度， 所得到的抛物线为． 故选：D． 4. 已知的图象如图所示，则的图象有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数图象的综合判断．根据已知一次函数图象得到a，b的符号，据此判断二次函数图象即可． 【详解】解：根据的图象可知：，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 综上可知，符合要求的图象为D， 故选：D． 5. 已知点在函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小关系，将代入比较即可． 【详解】解：∵将点在函数上， ∴对于：， 对于：， 对于：， ∴ ， ∴ 故选：B. 6. 如图四边形内接于，，连接，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，弦、弧、圆心角的关系，由四边形内接于，则，所以，然后通过弦、弧、圆心角的关系可得，所以，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7. 已知的半径为，为所在平面内某直线上一点，若，则直线与的公共点个数可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离是R，则直线和圆相交或相切，据此可以得到公共点的个数． 【详解】∵⊙O的半径为R，P为⊙O所在平面内某直线l上一点，若OP=R， ∴直线与圆相切或相交， 故公共点的个数为1或2． 故选D． 【点睛】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，解题关键是根据数量关系判断直线和圆的位置关系，再进一步根据概念明确公共点的个数． 8. 如图，某工程队计划将一块长64m、宽32m的矩形场地建设成绿化广场，广场内部修建四条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽．设小路的宽为xm，则可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的80%，即可得出关于x的一元二次方程. 【详解】解：设小路的宽为x 米，则绿化区域面积相当于长为米，宽为米的矩形面积， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键． 9. 已知二次函数，且当时，y随x 的增大而增大．若点为抛物线上的两点，且总有，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出二次函数对称轴为直线，结合当时，y随x的增大而增大，得出二次函数的开口方向向上，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，因为点为抛物线上的两点，且总有，列出，再化简求解，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴二次函数的开口方向向上，越靠近对称轴的所对应的函数值越小 ∵为抛物线上的两点，且总有， ∴， ∴， 当时， ∴（舍去）， 当时， ∴， 综上：， 故选：A 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为y轴上一点，，以为边向右侧作等边，现将依次进行如下操作（后一次操作均是在前一次的基础上进行）：第1次将它绕点B逆时针旋转，第2次作关于点B的中心对称图形，第3次绕点B逆时针旋转，第4次作关于点B的中心对称图形，以此类推……，则第2025次操作后点A的对应点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点的坐标规律问题，根据操作可知点A的位置每6次一循环，根据，可知点A落在点D处，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：延长交x轴于点F， 第次操作点在点O处； 第次操作点在点E处； 第次操作点在点D处； 第次操作点在点C处； 第5次操作点在点F处； 第次操作点在点A处； ； ∴点A的位置每6次一循环， ∵， ∴点A第次落在点D处， 设交x轴于点G， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，， 由操作可得， ∴， ∴点D的坐标为， 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是_____． 【答案】（4，﹣3） 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 【详解】点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3）． 故答案为（4，﹣3）． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单． 12. 如图，在平面直角坐标系中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的定义可得，对应点连线的交点即为旋转中心，即可求得坐标． 【详解】解：如图，旋转中心的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的定义、坐标系中点的坐标，根据旋转的定义确定旋转中心的位置是解题的关键． 13. 已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 14. 对于实数、，定义运算“※”如下：，例如．若，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，解一元二次方程等知识，先由新定义运算将化简为，解一元二次方程即可得到答案，读懂题意，理解新定义运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 由可得，解得或， 故答案为：或． 15. 如图，为半径为8的的弦，沿弦折叠经过圆心，点P为上一动点，连接，过点F作的垂线，垂足为H，连接，则最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．取的中点，连接，，当点共线时，有最小值，最小值为的长，，是等腰直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵为的弦， ∴， ∵沿弦折叠经过圆心， ∴是半径的一半， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径的上， ∴当点共线时，有最小值，最小值为的长， 此时，是等腰直角三角形， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8个小题，共75分．（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 或， ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或， ∴，． 17. 如图，方格纸中的每个小正方形都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出关于点P成中心对称的； （2）画出绕点P逆时针方向旋转后所得到的，此时点的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求三角形； ； （2） 如图，即为所求三角形； 点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查网格作图−中心对称和旋转变换、坐标轴上点的特征． （1）利用网格的特点和中心对称的性质画出点A、B、C的对称点、、，则可得到； （2）利用网格的特点和旋转的性质画出点A、B、C的对称点、、，则可得到，然后写出点的坐标． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 18. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数有6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率为． 19. 阅读材料： 如果，是一元二次方程的两根，那么有：，．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题． 例：，是方程的两根，求的值． 解，是方程的两根 ， ． 请你根据以上解法解答下题： （1）已知：关于的一元二次方程． ①求证：无论取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根； ②若，是原方程的两个实数根，且满足，求的值． （2）设、是方程的两个实数根，求的值． 【答案】 （1）①证明：． ， ，即， 无论实数取何值，方程总有两个不相等的实数根； ②或； （2）． 【解析】 【分析】（1）①利用一元二次方程的根的判别式进行证明即可；②由一元二次方程根与系数的关系得到，，代入中，得到关于m的一元二次方程，求解即可； （2）m、是方程的两个实数根，可得，，代入即可求解． 【详解】（1）①略 ②由根与系数的关系可知：，， ， ， ， 或． （2）、是方程的两个实数根 ， ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记x1＋x2＝−，x1•x2＝，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 20. 如图，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：如图，过点O作于点E，连接， 与相切于点D， ， 为等腰三角形，O是底边的中点， 是的平分线， ，即是的半径， 经过的半径的外端点且垂直于， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）过点O作于点E，连接，根据切线的性质，等腰三角形三线合一，推出，即可得证； （2）先证明四边形是正方形，利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，为等腰三角形， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ∵的半径为3， 正方形的面积是，，，． 21. 晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 【答案】直径为 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过O点作交于点E，延长交于点F．结合垂径定理得，，再根据勾股定理列式，因为半径相等得，解得，即可作答． 【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置． 过O点作交于点E，延长交于点F．连接 由矩形纸条可得， ∵ ∴，即E，O，F三点共线, ∵纸条宽度． ∴ ∵，，， ∴， 设， 则， 则 ∵半径相等， ∴ ∴ 解得， ∴, 答：碗口直径为 22. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】（1）； （2），； （3） 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【小问1详解】 解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 略 23. 【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】如图 1 ，在正方形中，点 E，F 分别在边上，连接．若，将绕点A 顺时针旋转 ．点 D 与点B 重合，得到 易证：． （1）根据以上信息，填空：① ° ； ②线段之间满足的数量关系为 ； 【迁移探究】（2）如图 2 ，在正方形 中，若点 E 在射线上，点 F 在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】（3）如图 3 ，已知正方形的边长为，连接分别交于点 M 、N ，若点 M 恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）45； （2），理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）2.5 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得，再根据旋转得，可知点G，B，E共线，即可说明，然后根据“边角边”证明，可得答案； （2）在上截取，连接，根据“边角边”可得， 接下来说明，即可得出答案； （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接，先根据正方形的性质及勾股定理求出，进而求出，再根据旋转的性质得，即可说明，得，然后设，则，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴． 将绕点A旋转，点D与点B重合，得到， 则， ∴点G，B，E共线． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45；； （2）略 （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 由旋转，得， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则． 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中核心素养测试数学卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案是历届冬奥会会徽，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，为不可能事件的是（ ） A. 掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B. 旭日东升 C. 当为某一实数时可使 D. 明天要下雨 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. B. C. D. 4. 已知的图象如图所示，则的图象有可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图四边形内接于，，连接，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 已知的半径为，为所在平面内某直线上一点，若，则直线与的公共点个数可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 8. 如图，某工程队计划将一块长64m、宽32m的矩形场地建设成绿化广场，广场内部修建四条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽．设小路的宽为xm，则可列方程（　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，且当时，y随x 的增大而增大．若点为抛物线上的两点，且总有，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为y轴上一点，，以为边向右侧作等边，现将依次进行如下操作（后一次操作均是在前一次的基础上进行）：第1次将它绕点B逆时针旋转，第2次作关于点B的中心对称图形，第3次绕点B逆时针旋转，第4次作关于点B的中心对称图形，以此类推……，则第2025次操作后点A的对应点坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是____________． 13. 已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 14. 对于实数、，定义运算“※”如下：，例如．若，则的值为________． 15. 如图，为半径为8的的弦，沿弦折叠经过圆心，点P为上一动点，连接，过点F作的垂线，垂足为H，连接，则最小值为________． 三、解答题：本大题共8个小题，共75分．（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，方格纸中的每个小正方形都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出关于点P成中心对称的； （2）画出绕点P逆时针方向旋转后所得到的，此时点的坐标为______． 18. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 19. 阅读材料： 如果，是一元二次方程的两根，那么有：，．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题． 例：，是方程的两根，求的值． 解，是方程的两根 ， ． 请你根据以上解法解答下题： （1）已知：关于的一元二次方程． ①求证：无论取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根； ②若，是原方程的两个实数根，且满足，求的值． （2）设、是方程的两个实数根，求的值． 20. 如图，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求图中阴影部分的面积． 21. 晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 22. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 23. 【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】如图 1 ，在正方形中，点 E，F 分别在边上，连接．若，将绕点A 顺时针旋转 ．点 D 与点B 重合，得到 易证：． （1）根据以上信息，填空：① ° ； ②线段之间满足的数量关系为 ； 【迁移探究】（2）如图 2 ，在正方形 中，若点 E 在射线上，点 F 在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】（3）如图 3 ，已知正方形的边长为，连接分别交于点 M 、N ，若点 M 恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $