课时分层评价48 成对数据的线性相关性-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

课时分层评价48　成对数据的线性相关性 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.有变量x与变量m，n，o，p对应的4组样本数据，计算出它们的线性相关系数分别为r1＝－0.92，r2＝－0.71，r3＝0.84，r4＝0.51，则与x线性相关关系最弱的是(　　) A.m B.n C.o D.p 答案：D 解析：相关系数的绝对值越小，变量间的线性相关性越弱，因为＜＜＜，所以与x线性相关关系最弱的是p.故选D. 2.(2025·山西大同高二期中)对两个变量x，y进行线性相关性检验，得线性相关系数r1＝0.958，对两个变量u，v进行线性相关性检验，得线性相关系数r2＝－0.974，则下列判断正确的是(　　) A.变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量x与变量y的线性相关性更强 B.变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量u与变量v的线性相关性更强 C.变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量u与变量v的线性相关性更强 D.变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量x与变量y的线性相关性更强 答案：B 解析：由线性相关系数r1＝0.958＞0知x与y正相关，由线性相关系数r2＝－0.974＜0知u与v负相关，又＜，所以变量u与变量v的线性相关性比变量x与变量y的线性相关性更强.故选B. 3.(2025·广东珠海高二月考)一唱片公司欲知唱片费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：xi＝28，＝303.4，yi＝75，＝598.5，xiyi＝237，则y与x的相关系数r的绝对值为(　　) (相关系数：r＝) A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 答案：A 解析：因为xi＝28，yi＝75，所以＝2.8，＝7.5，｜r｜＝＝＝0.3.故选A. 4.已知变量x与变量y线性相关，x与y的样本相关系数为－0.8，且由观测数据算得样本平均数＝5，＝6，则由该观测数据算得经验回归方程可能是(　　) A.Y＝0.8X＋2 B.Y＝X＋1 C.Y＝－0.8X＋9 D.Y＝－X＋11 答案：D 解析：因为x与y的样本相关系数为－0.8＜0，可知x与y为负相关，故A、B错误；又因为经验回归方程过样本中心点，对于Y＝－0.8X＋9，则－0.8×5＋9＝5≠6，故C错误；对于Y＝－X＋11，则－5＋11＝6，故D正确.故选D. 5.为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见表)：若已求得一元线性回归方程Y＝X＋0.34，则下列选项中正确的是(　　) x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A.＝0.2 B.去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变 C.当x＝8时，y的预测值为2.2 D.x与y的样本是负相关 答案：B 解析：＝＝3，＝＝1，所以样本点的中心坐标为，将它代入Y＝X＋0.34，得3＋0.34＝1，解得＝0.22，故A错误；由相关系数公式可知，去掉样本点(3，1)后，x与y的样本相关系数r不会改变，故B正确；当x＝8时，y的预测值为y＝0.22×8＋0.34＝2.1，故C错误；因为＞0，所以x与y的样本是正相关，故D错误.故选B. 6.(多选题)(2025·四川成都高二期中)对于样本相关系数，下列说法正确的是(　　) A.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性 B.样本相关系数可以是正的，也可以是负的 C.样本相关系数越大，成对样本数据的线型相关程度越强 D.样本相关系数r∈ 答案：ABD 解析：对于A，样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性，故A正确；对于B，样本相关系数可以是正的，也可以是负的，故B正确；对于C，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度也越强，故C错误；对于D，样本相关系数r∈，故D正确.故选ABD. 7.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量y(单位：千箱)与单位成本x(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：＝，＝71，＝79，xiyi＝1 481.则销量每增加1 000箱，单位成本下降　　　　元(结果保留5位有效数字). 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：＝，＝－. 答案：1.818 2 解析：由题意知＝＝＝－，＝－＝71＋×＝，所以线性回归方程为Y＝－X＋，所以销量每增加1 000箱，单位成本下降≈1.818 2元. 8.戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”的调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30.现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44].由此求得爱看人数比Y关于年龄段X的回归直线方程为Y＝kX－0.418 8.那么，年龄在[60，64]的爱看人数比为　　　　. 答案：0.35 解析：由题意可得各年龄段的值为42，47，52，57，则＝＝49.5，爱看人数比的平均值＝＝0.195，代入Y＝kX－0.418 8，得0.195＝49.5k－0.418 8，即k＝0.012 4，所以Y＝0.012 4X－0.418 8，取X＝62，得Y＝0.012 4×62－0.418 8＝0.35.所以年龄在[60，64]的爱看人数比为0.35. 9.经调查，某种手机流量包的定价x(单位：元/月)和购买人数y(单位：万人)的关系如下表： x 30 35 40 45 50 y 18 14 10 8 5 计算该流量包的定价x与购买人数y的相关系数r＝　　　　.(结果保留3位小数)附：≈8.062. 答案：－0.992 解析：根据表格中的数据，可得＝(30＋35＋40＋45＋50)＝40，＝(18＋14＋10＋8＋5)＝11. 可列表如下： i 1 2 3 4 5 xi－ －10 －5 0 5 10 yi－ 7 3 －1 －3 －6 －70 －15 0 －15 －60 则(xi－)(yi－)＝－160， ＝×＝，因此相关系数r＝＝≈－0.992. 10.(15分)2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： x(日) 1 2 3 4 5 y(万人) 45 50 60 65 80 (1)计算x，y的相关系数r(计算结果精确到0.01)，并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程. 参考公式：＝＝，＝－，r＝， 参考数据：≈1.732. 解：(1)因为＝＝3，＝＝60， 所以＝xiyi－5＝(1×45＋2×50＋3×60＋4×65＋5×80)－5×3×60＝85， ＝＋＋＋(4－3)2＋＝10， ＝＋＋(60－60)2＋＋＝750， 所以r＝＝≈≈0.98， 由此可以认为两者的相关性很强. (2)由(1)知＝85，＝10， 所以＝＝＝8.5. 因为＝－＝60－8.5×3＝34.5，所以回归方程为Y＝8.5X＋34.5. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知两个变量X和Y之间具有线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归的方法求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量X的观测数据的平均数都为s，对变量Y的观测数据的平均数都是t，则下列说法正确的是(　　) A.l1与l2一定有公共点(s，t) B.l1与l2相交，但交点一定不是(s，t) C.l1与l2必定平行 D.l1与l2必定重合 答案：A 解析：由于回归直线Y＝X＋恒过(，)点，又两人对变量X的观测数据的平均值为s，对变量Y的观测数据的平均值为t，所以l1和l2恒过点(s，t).故选A. 12.(多选题)已知由样本数据(i＝1，2，3，…，10)组成的一个样本，得到回归直线方程为Y＝－X＋2，且＝4.剔除一个偏离直线较远的异常点后，得到新的回归直线经过点(7，－4).则下列说法正确的是(　　) A.相关变量x，y具有正相关关系 B.剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大 C.剔除该异常点后的回归直线方程经过点 D.剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小 答案：BC 解析：对于A，由回归直线方程为Y＝－X＋2，可得＝－1＜0，所以相关变量x，y具有负相关关系，故A不正确；对于B，剔除异常点后，变量的拟合程度变大，所以样本相关系数的绝对值变大，故B正确；对于C，由回归直线方程为Y＝－X＋2，且＝4，可得＝－2，剔除一个偏离直线较远的异常点后，得到＝＝6，＝＝－2，即回归直线方程经过点(6，－2)，故C正确；对于D，由新的回归直线经过点，列方程组解得＝10，＝－2，所以新的回归直线方程为Y＝－2X＋10，斜率由－1变成－2，所以剔除该异常点后，随X值的增加相关变量Y值减小的速度变大，故D错误.故选BC. 13.(双空题)某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与脉搏率f(单位：心跳次数/分钟)的对应数据(Wi，fi)(i＝1，2，…，8)，根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk(c，k为参数).令xi＝ln Wi，yi＝ln fi，计算得＝8，＝5，＝214.由最小二乘法得线性回归方程为＝x＋7.4，则k＝　　　　；c＝　　　　. 答案：－0.3　e7.4 解析：因为f＝cWk，两边取对数可得ln f＝ln c＋kln W，又xi＝ln Wi，yi＝ln fi，因为回归直线方程＝x＋7.4必过样本中心点，所以5＝8＋7.4，解得＝－0.3，所以k＝＝－0.3，ln c＝7.4，即c＝e7.4. 14.(15分)随着全球新能源汽车市场的快速发展，在政策的有力推动下，中国的国产新能源汽车迅速崛起.新能源汽车因其较高的驱动效率、较低的用车成本、安静舒适的驾驶体验等优势深受部分车主的支持与欢迎.未来在努力解决充电效率较低、续航里程限制、低温环境影响等主要困难之后，新能源汽车市场有望得到进一步发展.某地区近些年的新能源汽车的年销量不断攀升，如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码(x) 1 2 3 4 5 6 新能源汽车年销量(y)/万辆 y1 y2 y3 y4 y5 y6 (1)若该地区新能源汽车车主的年龄X(单位：岁)近似服从正态分布N，其中年龄X∈(61，69]的有5万人，试估计该地区新能源汽车车主共有多少万人？(结果按四舍五入取整数) (2)已知变量X与Y之间的相关系数r＝，请求出Y关于X的线性回归方程Y＝X＋，并据此估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量. 参考公式与数据： ①若随机变量X～N，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 6；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 4；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 4； ②r＝， ＝； ③＝210，＝30. 解：(1)由题意得，该地区新能源汽车车主的年龄X(单位：岁)近似服从正态分布N， 则μ＝45，σ＝8，所以61＝μ＋2σ，69＝μ＋3σ， P＝P＝[P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)]≈＝0.021 5， 所以估计该地区新能源汽车车主共有≈233万人. (2)由题意得，＝＝， 所以(xi－)2＝＋＋(3－)2＋＋＋＝， 由已知，r＝＝＝， 所以＝××＝35， 所以＝＝＝2， 所以＝－＝30－2×＝23， 所以Y关于X的线性回归方程为Y＝2X＋23， 2025年对应的年份代码x＝8，所以当x＝8时，Y＝2×8＋23＝39， 估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量约为39万辆. (15、16，每小题5分，共10分) 15.已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为Y＝2X＋0.75，且＝1.125，增加两个样本点和后，得到新样本的经验回归方程为Y＝3X＋，则＝(　　) A.1.1 B.0.5 C.0.8 D.－1.1 答案：C 解析：因为xi＝1.125×8＝9，所以增加两个样本点后x的平均数为＝0.8；因为＝2×1.125＋0.75＝3，所以yi＝3×8＝24，所以增加两个样本点后y的平均数为＝3.2，所以3.2＝3×0.8＋，解得＝0.8.故选C. 16.现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据，其中xi，yi分别表示第i个样本的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，构造向量a＝(x1－，x2－，…，x20－)，b＝，其中＝，＝，并计算得xi＝60，yi＝1 200，xiyi＝4 400，｜a｜＝9，＝100，由教材中的知识，我们知道n对数据的相关系数r＝cos 〈a，b〉，则上述数据的相关系数r＝　　　　. 答案： 解析：由题干数据，xi＝60，yi＝1 200可得＝3，＝60，根据夹角公式的定义，r＝cos〈a，b〉＝，而a·b＝(xi－)(yi－)，根据＝(xiyi－yi－xi＋·)＝xiyi－yi－xi＋·＝xiyi－20·－20·＋20·＝xiyi－20·＝4 400－20×3×60＝800，于是r＝cos 〈a，b〉＝＝＝. 学生用书⬇第191页 学科网（北京）股份有限公司 $