2 成对数据的线性相关性-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．(2024·河南南阳联考)下面各图中，散点图与样本相关系数r不符合的是(　　) 解析：选B．对于A，散点图上所有点都在一条斜率小于0的直线上，所以r＝－1，A正确；对于B，散点图上所有点都在一条斜率大于0的直线上，所以r＝1，B错误；对于C，散点图上所有点从左上到右下的带状分布，所以－1<r<0，C正确；对于D，散点图中，X，Y之间的没有线性相关性，所以r＝0，D正确．故选B． 2．在成对数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，则这组数据的样本相关系数为(　　) A．－1 B．1 C．－ D． 解析：选A．所有点都在直线y＝－x＋1上，故两个变量具有确定的函数关系，且是负相关，所以样本相关系数为－1.故选A． 3．通过抽样调查发现，第三季度某地医院患有心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的样本相关系数很高．甲认为这是巧合，两者其实没有关系；乙认为摄入冷饮的某种成分导致了疾病；丙认为病人对冷饮会有特别需求；丁认为两者的相关性是存在的，但不能视为因果，请判断哪位的意见最可能成立(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：选D．第三季度某地医院患有心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的样本相关系数很高，但相关性是一种非确定性关系，相关关系不等于因果关系，所以丁的意见最可能成立．故选D． 4．(2024·江西景德镇一中期中)对两个变量的四组数据进行统计，获得以下散点图，关于两个变量样本相关系数的比较，正确的是(　　) A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3 解析：选A．由样本相关系数的性质，可知r2＜r4＜0＜r3＜r1.故选A． 5．在一次试验中，测得(X，Y)的五组数据分别为(1，3)，(2，4)，(4，5)，(5，13)，(10，12)，去掉一组数据(5，13)后，下列说法中正确的是(　　) A．X与Y由正相关变成负相关 B．样本相关系数不变 C．X与Y的线性相关性变弱 D．样本相关系数变大 解析：选D．由题意，去掉离群点(5，13)后，X与Y仍然为正相关，相关性变强，相关系数变大，故A，B，C错误，D正确．故选D． 6．(多选)对四对变量Y和X进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是样本相关系数，则下面四对变量Y和X线性相关程度较强的两组是(　　) A．n＝7，r＝0.953 3 B．n＝15，r＝0.301 2 C．n＝17，r＝0.499 1 D．n＝13，r＝0.995 0 解析：选AD．样本相关系数r的绝对值越接近于1，变量X，Y的线性相关程度越强． 7．对于样本相关系数r，下列说法中错误的是________．(填序号) ①当r＝0时，两个随机变量之间的线性相关程度较弱； ②当r>0时，表明两个随机变量正相关； ③若线性回归方程中<0，则样本相关系数r>0； ④|r|值越接近1，线性相关程度越强，|r|值越接近0，线性相关程度越弱． 解析：对于①，当r＝0时，两个随机变量之间没有线性相关性，错误；对于②，当r>0时，表明两个随机变量正相关，正确；对于③，若线性回归方程中<0，说明两个随机变量负相关，则r<0，错误；对于④，|r| 值越接近1，线性相关程度越强，|r|值越接近0，线性相关程度越弱，正确． 答案：①③ 8．(2024·陕西西安期末)若线性回归方程中的＝0，则样本相关系数r＝________．(附：＝，样本相关系数r＝). 解析：因为＝，且＝0，所以＝(xi－)(yi－)＝0，所以r＝＝＝0，所以r＝0. 答案：0 9．已知变量X，Y线性相关，样本相关系数r<0，则在以(x，y)为坐标原点的平面直角坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第________象限． 解析：由r＝<0，则(xi－)·(yi－)<0，所以xi－与yi－异号，又(x，y)为坐标原点，故大多数的点都落在第二、四象限． 答案：二、四 10．5个学生的数学和物理成绩如表： 　　学生 学科　　 A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 试分别用散点图和样本相关系数r判断数学成绩与物理成绩是否有线性相关性，若有，是正相关还是负相关？ 解：(散点图法)涉及两个变量：数学成绩与物理成绩，可以以数学成绩为自变量，考察因变量物理成绩的变化趋势．以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图． 由散点图可知，两变量具有线性相关性且是正相关． (样本相关系数r法)列表： i xi yi x y xiyi 1 80 70 6 400 4 900 5 600 2 75 66 5 625 4 356 4 950 3 70 68 4 900 4 624 4 760 4 65 64 4 225 4 096 4 160 5 60 62 3 600 3 844 3 720 ∑ 350 330 24 750 21 820 23 190 由表可得＝70，＝66，所以r＝＝＝0.9>0.所以两变量具有线性相关性且正相关． 11．已知相关变量X，Y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程Y＝1X＋1，样本相关系数为r1.方案二：剔除点(10，32)，根据剩下数据，得到线性回归方程Y＝2X＋2，样本相关系数为r2.则(　　) A．0＜r1＜r2＜1 B．0＜r2＜r1＜1 C．－1＜r1＜r2＜0 D．－1＜r2＜r1＜0 解析：选A．由题图可知，变量X和Y正相关，所以0＜r1＜1，0＜r2＜1.在剔除点(10，32)之后，可看出变量X，Y的线性相关程度更强，r2更接近1，所以0＜r1＜r2＜1.故选A． 12．(多选)已知变量X和Y的散点图如图所示，则下列说法中正确的为(　　) A．X与Y负相关 B．在该相关关系中，若用y＝c1e拟合时的样本相关系数为r1，用y＝bx＋a拟合时的样本相关系数为r2，则r1<r2 C．X，Y之间不能建立线性回归方程 D．由散点图，可以断定X＝11时的Y值一定比X＝10时的Y值要小 解析：选AB．在题图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此X与Y负相关，故A正确；由题图知用y＝c1e拟合比用y＝bx＋a拟合效果要好，则|r1|>|r2|，又Y与X负相关，所以r1<0，r2<0，故r1<r2，故B正确；X，Y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故C错误；D中只能估计，不能断定，故D错误． 13．某食品加工厂新研制出一种袋装食品(规格：500 g/袋)，下面是近六个月每袋出厂价格(单位：元)与月销售量(单位：万袋)的对应关系表： 月份序号 1 2 3 4 5 6 每袋出厂价格X 10.5 10.9 11 11.5 12 12.5 月销售量Y 2.2 2 1.9 1.8 1.5 1.4 并计算得＝782.56，＝19.9，iyi＝122. (1)计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格、平均月销售量和平均月销售收入； (2)求每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)若样本相关系数|r|≥0.75，则认为线性相关性较强；否则没有较强的线性相关性．你认为该食品加工厂制定的食品的每袋出厂价格与月销售量线性相关性是否较强． 附：样本相关系数r＝，≈0.57. 解：(1)该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格为x＝(10.5＋10.9＋11＋11.5＋12＋12.5)＝11.4(元)，平均月销售量为y＝(2.2＋2＋1.9＋1.8＋1.5＋1.4)＝1.8(万袋)，平均月销售收入为iyi＝×122＝(万元). (2)由已知得r＝ ＝＝ ＝－＝ －≈－≈－0.98. (3)由(2)知|r|≈0.98>0.75，所以认为该食品加工厂制定的食品的每袋出厂价格与月销售量线性相关性较强． 14．(2024·河南郑州检测)下图是某市2023年4月至2024年3月每月最低气温与最高气温(单位：℃)的折线统计图，已知每月最低气温与最高气温的样本相关系数r＝0.88，则下列结论正确的是(　　) A．月温差(月最高气温－月最低气温)的最大值出现在8月 B．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为负相关 C．每月最高气温与最低气温的平均值在4～8月逐月增加 D．9～12月的月温差相对于5～8月，波动性更小 解析：选C．对于A，月温差(月最高气温－月最低气温)的最大值出现在10月，故A错误；对于B，每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为正相关，故B错误；对于C，每月最高气温与最低气温的平均值在4～8月分别为20.5，23，26.5，29，30，逐月增加，故C正确；对于D，9～12月的月温差为20，31，24，21，5～8月的月温差为18，17，16，16，9～12月的月温差的波动性更大，故D错误．故选C． 15．(2024·安徽阜阳模拟)某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大地提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，下表为该企业2024年1～4月份接到的订单数量． 月份T 1 2 3 4 订单数量Y/万件 5.2 5.3 5.7 5.8 (1)试根据样本相关系数r的值判断订单数量Y与月份T的线性相关程度强弱(0.75≤|r|≤1，则认为Y与T的线性相关程度较强，|r|<0.75，则认为Y与T的线性相关程度较弱)；(结果保留两位小数) (2)建立Y关于T的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量． 附：样本相关系数r＝， 回归直线Y＝X＋的斜率和截距的最小二乘法公式分别为＝， ＝－ ， ≈1.14. 解：(1)＝＝2.5，＝×(5.2＋5.3＋5.7＋5.8)＝5.5， (ti－)(yi－)＝(－1.5)×(－0.3)＋(－0.5)×(－0.2)＋0.5×0.2＋1.5×0.3＝1.1， (ti－ )2＝(－1.5)2＋(－0.5)2＋0.52＋1.52＝5， (yi－)2＝(－0.3)2＋(－0.2)2＋0.22＋0.32＝0.26，所以r＝＝≈≈0.96>0.75，所以订单数量Y与月份T的线性相关程度较强． (2)因为＝＝＝0.22，所以＝－＝5.5－0.22×2.5＝4.95，所以线性回归方程为Y＝0.22T＋4.95，令T＝5，则Y＝0.22×5＋4.95＝6.05(万件)，即预测该企业5月份接到的订单数量为6.05万件． 学科网（北京）股份有限公司 $