课时分层评价28 空间中的角-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时分层评价28 对应学生 空间中的角用P25 (时间：60分钟满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ©基础排查(1一9，每小题5分，共45分) 1.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中 点，则AE与SD夹角的余弦值为( A. B.9 c.9 D.号 答案：C 解析：以正方形ABCD的中心O为坐标原，点，建立如图所示空间直 角坐标系.令正四棱锥的棱长为2，则A(1,-1,0),D(-1,一1,0)， S0,0,V2),E,,9),所以A症=（-是，9)，S=(-1,- 1.2.所以证，苏一-接-一9， 所以AE 与SD夹角的余弦值为与.故选C。 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,ABCD为正方形， 且PD=AB=1,G为△ABC的重心，则PG与底面所成角的余弦值 为() ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C ^{∘}G A B $$A . \frac { \sqrt 2 } { 2 }$$ $$B . \frac { 2 \sqrt { 3 4 } } { 1 7 }$$ $$C . \frac { 3 \sqrt { 1 7 } } { 1 7 }$$ $$D . \frac { \sqrt 6 } { 3 }$$ 答案：B 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，A(1，0，0)， B(1，1，0)， (0，1，0)， 所以 $$G \left( \frac { 2 } { 3 } ， \frac { 2 } { 3 } ， 0 \right) ， \overrightarrow { P G } = \left( \frac { 2 } { 3 } ， \frac { 2 } { 3 } ， - 1 \right)$$ 又因 为平面ABCD的一个法向量为 n=(0，0，1)， ，则 $$\cos \left( \overrightarrow { P G } ， n \right) =$$ $$\frac { - 1 } { \sqrt { \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { 2 } + 1 } } = - \frac { 3 \sqrt { 1 7 } } { 1 7 } ，$$ 所以PG与平面ABCD所成角的余弦值为 $$\sqrt { 1 - \left( \frac { 3 \sqrt { 1 7 } } { 1 7 } \right) ^ { 2 } } = \frac { 2 \sqrt { 3 4 } } { 1 7 }$$ .故选B. pt D B 3.把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角 A-BD-C， ，若 AB=1，AD= $$\sqrt 3 ， A C = \frac { \sqrt 7 } { 2 } ，$$ 则平面AB D 与平面BCD的夹角为() $$A . 3 0 ^ { \circ }$$ $$B . 6 0 ^ { \circ }$$ $$C . 1 2 0 ^ { \circ }$$ $$D . 9 0 ^ { \circ }$$ 答案：B 解析：过 A 作 AE⊥BD 于E，过C作 CF⊥BD 于 F( (图略)， 则 AE= $$C F = \frac { \sqrt 3 } { 2 } ， B E = \frac { 1 } { 2 } ，$$ 所以 EF=1， ，因为 $$\overrightarrow { A C } = \overrightarrow { A E } + \overrightarrow { E F } + \overrightarrow { F C } ，$$ 所以 $$| \overrightarrow { A C } |$$ $$2 = | \overrightarrow { A E } | ^ { 2 } + | \overrightarrow { E F } | ^ { 2 } + | \overrightarrow { F C } | ^ { 2 } + 2 | \overrightarrow { A E } | | \overrightarrow { F C } | \cdot \cos | \overrightarrow { A E } ， \overrightarrow { F C } \right)$$ 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 即4=是+1+是+2×9×9cos〈症，F元》，所以c0s〈症，F元) _学-一支，所以平西BD与平西BCD的夹商为60故选B 4.己知在矩形ABCD中，AB=1,BC=√3，将矩形ABCD沿对角线 AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则|BD|等于( A. B.9 c D.2 答案：C 解析：如图所示，过点B,D分别向AC作垂线，垂足分别为M,N, 则可得AM=,BAM=9,CV=支，DN=,N=1.由于D=B成 +M+ND,所以|BD|2=(B应+M+ND2=|B应|2+I M12+1ND12+2B成M+MND+BN)=(与)+12 +(5)+2×0+0+0)=,所以1D1=四.故选C 5.如图，在直三棱柱ABC-AB1C1中，∠ACB=90°，2AC=A41=BC =2,D为AA1上一点.若二面角B1-DC-C1的平面角的大小为60°， 则AD的长为( A.V2 B.3 C.2 D.马 答案：A ·独家授权侵权必究· 色学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：如图所示，以C为坐标原点，CA,CB,CC1所在的直线分别 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AD=(0≤≤2)，则C (0,0,0),B(0,2,0),D1,0,),B1(0,2,2),C1(0,0,2), CB=(0,2,0),CD=(1,0,t0,CB1=(0,2,2),平面CDC1的一 个法向量为CB=(0,2,O).设平面CDB1的法向量为=(c,y,z), C0m0,得2。，令1，得牛面CD8,的-个法向当 由CB1m=0, 2 为m=化，1，-1，由题意知c0s60°=m南2三，解得) =√2.故选A. 外C 6.(多选题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列四个 结论正确的是( A.AC⊥BD B.AB与CD的夹角大小为60 C.△ADC为等边三角形 D.AB与平面BCD的夹角为60° 答案：ABC 解析：对于A,如图所示， 0 取BD中点O,连接AO,CO,易知BD垂直于平面AOC,故AC⊥BD, 故A正确；对于B,如图所示建立空间直角坐标系.设正方形边长为α， ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则4号a,0,0,B(0,-a,0),故=(-号a,-9a,0).c (0,0,a,D(0,9a,0),故市=(0，a,-a所以cs (CD,A)=器=一克，故4B与CD的夹角为60°，故B正确； 对于C,在直角三角形A0C中，由A0=C0=5a,解得AC=2A0 =a,所以△ADC为等边三角形，故C正确；对于D,易知∠ABO即 为直线AB与平面BCD的夹角，可求得∠ABO=45°，故D错误.故 选ABC. 7.己知两平面的法向量分别为=(0,1,0)，n=(0,1,1),则两平 面所成的二面角的大小为 答案：45°或135° 解析：因为cosm,〉=册=方=， 所以两平面所成的二面 角的大小为45°或135° 8.在正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD 的中点，且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角大小为 答案：30° 解析：如图所示，以点O为原点建立空间直角坐标系.设OD=SO= OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0)C(-a,0,0),P(0,-号，是)， 则cA=(2a,0,0),A正=(-a,-号，是)，CB=(a,a,0).设平面PAC 的法向量为n,可求得n=(0,1,1),设BC与平面PAC的夹角为0， 则sin0=|cos〈C,n）|=2x=支，所以0=30° 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 9.正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角， 则异面直线AD与BF夹角的余弦值是 答案：号 解析：建立如图所示的坐标系，设AB=1,则D,0,号)，A0,0, 0),F(1,0,0),B(0,1,0) 所以茹=(30,9)，B驴=(1，-1,0)所以异面直线4D与BF夹角 +0叶0 的余孩值足需蹄--号 10.(I3分)如图，在四棱锥S-ABCD中，AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB 为等边三角形，AB=BC=2,CD=SD=1, (1)证明：SD⊥平面SAB; (2)求AB与平面SBC夹角的正弦值 解：以点C为原点，CD,CB所在直线分别为x轴、y轴建立空间直 角坐标系C-y,如图所示 则D1,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0) 设S(x,y,z),则x>0,y>0,z>0. (1)证明：A5=(x-2,y-2,z),B=(x,y-2,),D5=(x-1,y, 2), ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由1A5|=|B3|得V(x-2)+y-2)+z2 =Vx2+y-2}+z2,故x=1. 由1D51=1得y2+2=1,又由|B3|=2得x2+0y-22+2=4, 即y2+2-4y+1=0, 故y=,2= 于是s1,,9),本=(-1-)，=(1-，)， (0,), D5·A5=0,DB3=0, 故DS⊥AS,DS⊥BS,又AS0BS=S, 所以SDL⊥平面SAB (2)设平面SBC的法向量a=(m,n,p), 则a⊥B3,aLCB,即aB3=0,CB=0. 又3=(1，-，9)，C=0,2,0, m-n+9p=0, 故 2=0. 取p=2,得a=(-3,0,2) 又AB=(-2,0,0), 记0为AB与平面SBC的夹角， 则sin0=|cos〈a,a)|= a_25= ABaI 27 故AB与平面SBC夹角的正弦值为四 可综合运用(11一13，每小题5分，共15分) ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 11.（多选题)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC= AA1=2,E,F分别是BC,A1C1的中点，D在线段B1C1上，则下面 说法中正确的有) A.EF∥平面AABB B.若D是BC的中点，则BD⊥EF C.直线F与平面4C夹角的正弦值为S D.直线BD与直线EF的夹角最小时，线段BD长为3码 答案：ACD 解析：如图所示，建立空间直角坐标系.得A(0,0,0),B(2,0,0), C(0,2,0),B1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0)F0,1,2).设 Dx,2-x,2),EF=(-1,0,2),BD=(x-2,2-x,2).在直三棱 柱ABCA1B1C1中，∠BAC=90°，可得AC为平面AA1BB的一个法 向量，AA1为平面ABC的一个法向量.对于A,A元=(0,2,0)，E AC=O,即EF⊥AC,又EFt平面AA1BB,所以EF∥平面AABB, 故A正确；对于B,若D是BC1的中点，则B=(-1,1,2),所 以E·B=1十4=5，所以EF与BD不垂直，故B不正确；对于C, 由AA,为平面ABC的一个法向量，AA1=(0,0,2),设直线EF与平 面ABC的夹角为8，则sim0=|cos〈E,AA)|= EFAA E的AA, a=5,故C正确；对于D,设BD=B,C,=(-21,2,0X0≤ 1≤1)，则BD=BB1十B1D=(-21,2,2),所以BDE=21十4，所 以0sD,乎》=器=店=5，所以当扁 B动歌 2+ 等时，即λ=时，cos〈BD,E厅〉取最大值，即直线BD与直线EF ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 的夹角最小，此时丽=(-，，2)，所以1BD1=|D|=萼， 故D正确.故选ACD 12.(双空题)四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面 ABCD垂直，且PB=2MA=2,则平面PMD与平面ABCD夹角的余 弦值为 直线MA与平面PMD夹角的正弦值为 答案：与写 解析：如图所示，建立空间直角坐标系.则D(0,2,0),M(0,0,1), P(2,0,2).所以MD=(0,2,一1)，M=(2,0,1)设=(x,y, nrWD=0所以0 2是平面P八D的一个法向量，则nMP=0, (2x+z=0,令之 =1得=（-克，克，1)，易知2=(0,0，-1)是平面ABCD的一个法 向量所以com,心)1==-9又Ma=0,0, -小斯直钱1与平而八D失商的正弦值为盈品引- B 13.如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O,AE ⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=2,CF=3.若直线OF与平面BED的 夹角为45°，则AE= 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案：2 解析：设AE=a,在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC为正三 角形，又AB=2,易得OA=1,OB=V3,如图所示，以点O为原点， 以OA,OB所在直线分别为x轴、y轴，以过点O且平行于CF的直 线为z轴建立空间直角坐标系.则B(0,V3,0),D(0,一√3,0)，F (-1,0,3),E(1,0,a).所以0示=(-1,0,3)，D克=(0,2y3,0), EB=(-1,V3,-a).设平面BED的法向量为n=(x,y,),则 =0,则25y0, nEB=0,(-x+5y-az=0,令2=1，则n=(-a,0,1),因 为直线OF与平面BED的夹角为45°，所以|cos,OF〉|= n0 6=号，由a>0.解得a=2,所以伍=2 l0市=V2+1x√10 D::: 14.(15分)已知几何体EFG-ABCD,如图所示，其中四边形ABCD, CDGF,ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上， (I)求证：BM⊥EF; (2)是否存在点M,使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存 在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由 解：(1)证明：因为四边形ABCD,CDGF,ADGE均为正方形， ·独家授权侵权必究·