3 4.3　第1课时　空间中的角-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

本讲义聚焦“空间中的角”核心知识点，系统梳理异面直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角的向量求解方法，通过问题引导辨析概念关系，结合例题与步骤总结搭建学习支架，衔接空间向量基础与立体几何度量关系后续内容。 资料以问题驱动深化概念理解，如通过辨析异面直线角与方向向量夹角的关系培养逻辑推理，结合直三棱柱等实例提升直观想象与数学运算素养。课中助力教师引导探究，课后学生可依步骤总结与分层练习查漏补缺，强化知识应用能力。

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时空间中的角 1.理解两条异面直线的夹角与它们的方向向量的夹角之间的关 系，会用向量方法求两条异面直线的夹角，提升直观想象、数学 学 运算的核心素养.2.理解直线与平面的夹角与直线的方向向量和 习 平面的法向量的夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面的 目 夹角，提升直观想象、数学运算的核心素养.3.理解二面角的大 标 小与两个平面法向量的夹角之间的关系，会用向量方法求平面与 平面的夹角，提升直观想象、数学运算的核心素养 任务一两条直线的夹角 ？问题导思 问题1.同学们在分组讨论异面直线的夹角时，有同学认为异面直线 1,2的夹角0就是其方向向量，v的夹角(，〉；有同学认为异 面直线1,2的夹角0与其方向向量u,v的夹角(u,v)没有任何关 系.你认为谁的观，点正确 提示：都不正确，异面直线的夹角与其方向向量的夹角既有区别又有 联系，事实上，它们是相等或互补的关系 新知构建 若向量4，b分别为直线a,b的方向向量，则直线a与b的夹角0∈ [0,受]，且θ与两个方向向量的夹角〈a,b)相等或互补也就是说： 当0≤(，b〉≤罗时，0=(a,b〉；当5<(a,b〉≤时，0=π -〈a,b〉 故cos0=|cos(a,b)L ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 典例□（链教材P130例8）如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC, AB=AC=2,AA=4,点D是BC的中点.求异面直线AB与CD夹 角的余弦值， A B 解：以点A为原点，AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、之轴 建立空间直角坐标系A-y%,如图所示。 A B D 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D1,1,0),A10,0,4) C1(0,2,4) 所以A1B=(2,0,-4),C1D=(1,-1,-4). AB.C DI 18 因为|Cos(A1B,C1D〉|=c市=2oxW丽 10, 所以异面直线AB与CD夹角的余弦值为 10 学生用书↓第113页 规律方法 1.利用向量法求异面直线的夹角的一般步骤 第一步：选好基底或建立空间直角坐标系； 第二步：求出两直线的方向向量y1,2; 第三步：代入公式|cos y,2》 □末解 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.C0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 2.两异面直线的夹角的范围是(0，号]，两向量的夹角的范围是[0，π， 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹 角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的 夹角 对点练1.如图，在正方体ABCD-AB1CD1中，已知M,N分别是BD 和AD的中点，则B,与DN夹角的余弦值为() A零 B. 15 c D.凭 答案：A 解析：建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则B1 (2,2,2),M1,1,0),D1(0,0,2),N1,0,0).所以MB1=(1,1, 2DN=,0.-2所以10sM)1=m= 所以MB,与DN夹角的余弦值为巴故选A. 10 D/ 任务二直线与平面的夹角 ?问题导思 问题2.(1)直线与平面的夹角就是直线与平面内任一直线的夹角吗？ (2)直线的方向向量与平面的法向量的夹角是直线与平面的夹角吗？ 提示：(1)不是.(2)不是. 新知构建 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则直线 1与平面a的夹角0∈[0，晋]，且0=受-L,n〉（如图①）或0=(l,n) -(如图②)，故sin0=|cos(L,n)L. 图① 图② 「微提醒]除了用向量求线面角外，还可以根据直线与平面夹角的定 义，确定出待求角，转化为两条直线的夹角求解 典例2（链教材P131例9）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC, AB LAC,PA=AC=AB,N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为 PB,BC的中点， (I)证明：CMLSN; (2)求直线SN与平面CN夹角的大小 解：(I)证明：设PA=1,以，点A为原点，AB,AC,AP所在直线分 别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示】 y B 则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0) 又AN=AB,M,S分别为PB,BC的中点， 所以N(,0,0),M(1,0,克)，S(1,克，0) CM=(1,-1,),S=（-,-,0), ·独家授权侵权必究· 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以c应S元=（1，-1，)(-克，-，0)=0 所以CM⊥S,因此CMLSN. (2)由(1)知，NC=(-专，1,0)，S=(-,-支，0)，CM= (1,-12) 设=(c,y,z)为平面CN的一个法向量， 所以CMa=0,N元：a=0, x-y+z=0所2=-2 x=2y, 则-x+y=0, 取y=1,得M=(2,1,-2). 设直线SN与平面CMN的夹角为O, 1- -9. 1剑 因为sin0=|cos(, 所以直线SN与平面CMN的夹角为 [变式探究] (变条件，变设问)本例中的条件“S为BC的中点”改为“S是线段 BC上一点，使得直线SN与平面CN夹角的正弦值为”，其他条 件不变，求SN的长 解：由本例(1)知，B(2,0,0),C(0,1,0), 所以在平面xOy内，直线BC的方程为y=一x十1， 设S(x,-x+1,0),0≤x≤2， N3=(x-,-x+1,0), 又平面CN的一个法向量a=(2,1,-2), 设SN与平面CMN的夹角为O, 则sin0=|cos(W3,a〉 ·独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3斟 -3x)1-刘=寺， 得4x2+8x-5=0, 解得x=号或x=一（舍去）， 则N3=(0,,0), 所以|N3|=圣，故SN的长为 学生用书↓第114页 规律方法 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 第一步：建立空间直角坐标系； 第二步：求直线的方向向量； 第三步：求平面的法向量； 第四步：设线面角为0，则sin0= 回 第五步：回归原题目，写出结论 对点练2.己知正三棱柱ABC-A B1C,的底面边长为a,侧棱长为y2a, M为AB1的中点，求BC1与平面AMC1夹角的正弦值 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),M(0,号，N2a) C(-9a,号，N2a),B0,a,0, 故AC=(-9a,号，2a),A成=(0，是N2a),BC (-9a,-号，N2a 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 设平面AMC1的法向量为=(x,y,z), ACin=0, 则 所以 -9x+y+2z=0, AM-n=0, y+V2az-0, 取y=2,则n=(0,2,-号)》 又BC=(-9a,-号，N2a, BCrn -aa 所以cos(BC,n〉=武=厚 --26 设BC1与平面AMC1的夹角为O, sin 0=I cos (BC,)25 任务三平面与平面的夹角 ？问题导思 问题3.(1)两个平面的夹角与二面角的平面角有什么区别？ (2)两个平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？ 提示：(1)平面a与平面B的夹角：平面α与平面B相交，形成四个二面 角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面a与平面B 的夹角 区别：二面角的范围是[0，，而两个平面的夹角的范围是[0，罗] (2)两平面的夹角是两平面的法向量的夹角或其补角， 新知构建 一般地，己知1,2分别为平面a,B的法向量，则二面角a-1-β的平 面角与两法向量所成角(1,2〉相等（如图①）或互补（如图②） B 图① 图② 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 平面a与平面B相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面a与平面B的夹角.设平面a与平面β的夹角为0， 则cos0=|cos(h,〉|=|nmg1. 「微提醒]求二面角的平面角问题转化为两平面法向量的夹角问题 典例3（链教材P133例10）如图的多面体是直平行六面体 ABCD-AB,CD1被平面AEFG所截后得到的几何体，其中∠BAE=∠ GAD=45°，AB=2AD=2,∠BAD=60°. G (I)求证：BD⊥平面ADG; (2)求平面AEFG与平面ABCD夹角的余弦值. 解：(1)证明：在△BAD中，因为AB=2AD=2,∠BAD=60°， 所以由余弦定理可得BD=√3 所以AB2=AD2十BD2,所以AD⊥BD 又在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以GD ⊥BD 又AD∩GD=D,所以BD⊥平面ADG. (2)以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-z. D B 因为∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2, 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 则有A(1,0,0),B(0,V3,0),G(0,0,1),E(0,3,2),C(-1, 3,0) 所以A正=(-1，V3,2),AG=(-1,0,1). 设平面AEFG的法向量为n=(x,y,z), 取=(1,1) 而平面ABCD的一个法向量为DG=(0,0,1), 所以m=密-有-厚 故平面AEFG与平面ABCD夹角的余弦值为年 规律方法 求两平面夹角的两种方法 1.定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条 直线的夹角即为两平面所成的角.也可转化为求与两平面交线垂直的 直线的方向向量的夹角，但要注意其异同. 2.法向量法：分别求出两平面的法向量1,2，则两平面所成二面角 的平面角为1,2〉或π一(1,2〉 对点练3.如图，四棱柱ABCD-A BC D1的所有棱长都相等，AC∩BD =O,A1C1∩BD1=O1,四边形ACCA1和四边形BDDB1均为矩形 (1)证明：OO⊥平面ABCD; (2)若∠CBA=60°，求二面角C1-OB1-D的平面角的余弦值， 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.C0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 解：(1)证明：因为四边形ACCA1和四边形BDDB1均为矩形， 所以CC1⊥AC,DD⊥BD, 又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD, 因为AC∩BD=O,AC,BDc平面ABCD, 所以O1O⊥平面ABCD (2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥ BD, 又O1O⊥平面ABCD, 所以OB,OC,OO1两两垂直. 如图所示，以点O为原点，OB,OC,OO1所在直线分别为x轴、y 轴、之轴建立空间直角坐标系】 C 设棱长为2，因为∠CBA=60°， 所以OB=3,OC=1, 所以O0,0,0),B1(W3,0,2),C(0,1,2) 则0B1=(5,0,2),0C1=(0,1,2) 平面BDDB1的一个法向量为n=(0,1,0), 设平面C1OB1的法向量为=(x,y,), 8低 (y+2z=0, 取z=-5,则x=2,y=23, 所以m=(2,2V3,-3) 独家授权侵权必究