单元检测卷(二) 圆锥曲线-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

单元检测卷(二)　圆锥曲线 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 答案：C 解析：由e＝＝＝，得＝，即＝，故渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C. 2.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos ∠AFB等于(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：D 解析：由令B(1，－2)，A(4，4)，又F(1，0)，所以由两点间距离公式得｜BF｜＝2，｜AF｜＝5，｜AB｜＝3.所以cos∠AFB＝＝＝－.故选D. 3.直线x－y＋＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若＝2，则该椭圆的离心率是(　　) A.－1 B. C.2－2 D.－1 答案：A 解析：由题意知，直线x－y＋＝0经过椭圆的左焦点F，令y＝0，解得x＝－，所以c＝，即椭圆的左焦点为F(－，0)，且a2－b2＝3　①，直线交y轴于C(0，1)，所以＝，＝1，＝2，因为＝2，所以＝3，所以A，又由点A在椭圆上，得＋＝4　②，由①②，可得4a4－24a2＋9＝0，解得a2＝，所以e2＝＝(－1)2，所以椭圆的离心率为e＝－1.故选A. 4.已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：根据题意，抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，则点M到抛物线的准线x＝－的距离也为5，即1＋＝5，解得p＝8，所以抛物线的方程为y2＝16x，则m2＝16，所以m＝4，即M的坐标为(1，4).又双曲线－y2＝1的左顶点A(－a，0)，一条渐近线为y＝x，而kAM＝.由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则有＝，解得a＝.故选C. 5.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数.已知双曲线－＝1的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则m的值为(　　) A.2－2 B.＋1 C.2 D.2 答案：A 解析：由题意得，在双曲线中a2＝(－1)2，b2＝m，所以c2＝a2＋b2＝(－1)2＋m.因为双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数，所以＝＝，所以＝，即＝()2，解得m＝2－2.故选A. 6.已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点F与抛物线C2：y2＝2px(p＞0)的焦点相同，C1与C2交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为(　　) A. B. C.2 D.＋1 答案：D 解析：由图形的对称性及题设条件知AF⊥x轴，且c＝，p＝2c，不妨设交点A，y1＞0，代入y2＝2px可得y1＝p，故A－＝1，即e2－1＝，也即e2－1＝，由此可得(e2－1)2＝4e2，即e2－1＝2e，也即(e－1)2＝2，所以e＝＋1.故选D. 7.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2.这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若｜PF1｜＝10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是(　　) A. B. C. D.(0，＋∞) 答案：C 解析：设椭圆和双曲线的半焦距为c，｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n(m＞n)，由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若｜PF1｜＝10，即有m＝10，n＝2c，由椭圆的定义可得m＋n＝2a1，由双曲线的定义可得m－n＝2a2，即a1＝5＋c，a2＝5－c(c＜5)，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c＋2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5，由离心率公式可得e1·e2＝·＝＝，由于1＜＜4，则有＞，则e1·e2的取值范围是.故选C. 8.过双曲线－＝1的右支上一点P，如图，分别向☉C1：(x＋4)2＋y2＝3和☉C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则(＋)·的最小值为(　　) A.28 B.29 C.30 D.32 答案：C 解析：设P(x0，y0)(x0≥2)，由题意知C1(－4，0)，C2(4，0)，则(＋)·＝(＋)·(－)＝－＝(－3)－(－1)＝－－2＝(x0＋4)2＋－[(x0－4)2＋]－2＝16x0－2≥16×2－2＝30.故选C. 优解：由双曲线定义知，－＝2×2＝4，所以－－2＝(＋)(－)－2＝4(＋)－2≥4－2＝4×8－2＝30.故选C. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是(　　) A.若1＜t＜5，则C为椭圆 B.若t＜1，则C为双曲线 C.若C为双曲线，则焦距为4 D.若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5 答案：BD 解析：由题意知，若方程＋＝1表示椭圆，则满足解得1＜t＜3或3＜t＜5.对于A，当t＝3时，此时方程x2＋y2＝2表示圆，故A错误；当方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则满足解得3＜t＜5，故D正确；对于B，当t＜1时，5－t＞0，t－1＜0，此时表示焦点在x轴上的双曲线，故B正确；对于C，当t＝0时，方程－＝1，此时双曲线的焦距为2，故C错误.故选BD. 10.如图，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是(　　) A.a1－c1＝a2－c2 B.a1＋c1＝a2＋c2 C.＜ D.c1a2＞a1c2 答案：AD 解析：观察给定图形，由｜PF｜＝a1－c1及｜PF｜＝a2－c2得a1－c1＝a2－c2，故A正确；由a1＞a2，c1＞c2，得a1＋c1＞a2＋c2，故B不正确；因为a1－c1＝a2－c2，即a1＋c2＝a2＋c1，有(a1＋c2)2＝(a2＋c1)2，得－＋2a1c2＝－＋2a2c1，令＝－(b1＞0)，＝－(b2＞0)，即有＋2a1c2＝＋2a2c1，由给定轨道图知，b1＞b2，因此，c1a2＞a1c2，故D正确；而c1a2＞a1c2⇔＞，故C不正确.故选AD. 11.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，若｜AF｜＝4，D(0，1)，则以下结论正确的是(　　) A.p＝4 B.｜AF｜＝3｜BF｜ C.若E为C上的动点，其在l上的射影为E1，则｜ED｜＋≥ D.过点D且与C有且仅有一个公共点的直线有3条 答案：BCD 解析：对于A，因为F，直线的斜率为，则设直线l的方程为y＝，联立得12x2－20px＋3p2＝0，解得xA＝，xB＝，由｜AF｜＝xA＋＝2p＝4，得p＝2，故A错误；对于B，由于｜BF｜＝xB＋＝p，则｜AF｜＝3｜BF｜，故B正确；对于C，如图所示，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，｜ED｜＋＝｜ED｜＋｜EF｜≥｜DF｜＝，当且仅当D，E，F三点共线时取等号，故C正确；对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为x＝0，与抛物线只有一个公共点；当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1，联立消去x得ky2－4y＋4＝0，当k＝0时，方程的解为y＝1，此时直线与抛物线只有一个交点；当k≠0时，则Δ＝16－16k＝0，解得k＝1，综上所述，过点D与C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确.故选BCD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上.) 12.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且双曲线的一个焦点与抛物线x2＝8y的焦点重合，则该双曲线的方程为　　　　　　　. 答案：－＝1 解析：由题意知，抛物线x2＝8y的焦点坐标为(0，2)，故双曲线的一个焦点为(0，2)，所以双曲线的实轴在y轴上.由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的方程为y2－x2＝m(m＞0)，所以＝2，解得m＝2，于是双曲线的方程为－＝1. 13.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，｜DE｜＝6，则△ADE的周长是　　　　　. 答案：13 解析：因为椭圆的离心率为e＝＝，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2，所以椭圆的方程为＋＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，因为AF2＝a，OF2＝c，a＝2c，所以∠AF2O＝，所以△AF1F2为正三角形，因为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，所以直线DE的斜率为，斜率倒数为，直线DE的方程x＝y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得13y2－6cy－9c2＝0，判别式Δ＝(－6c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2，所以＝＝2×＝2×6×4×＝6，所以c＝，得a＝2c＝，因为DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，AD＝DF2，AE＝EF2，所以△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE的周长为｜DF2｜＋｜EF2｜＋｜DE｜＝｜DF2｜＋｜EF2｜＋｜DF1｜＋｜EF1｜＝｜DF1｜＋｜DF2｜＋｜EF1｜＋｜EF2｜＝2a＋2a＝4a＝13，故△ADE的周长为13. 14.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的上、下焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于y轴的直线与C交于A，B两点，直线AF2，BF2分别交x轴于点C，D，若＋＝12，则过点M(a，b2)，N(－2，0)的直线的斜率的最大值为　　　　.此时双曲线的离心率为　　　　. 答案：4　 解析：由题意得＝，＝，因为＋＝12，所以＋＝24，根据双曲线的定义可知＝＋2a，＝＋2a，所以＋＋4a＝24，即＋4a＝24⇔＋4a＝24，整理为b2＝12a－2a2＞0，解得0＜a＜6，kMN＝＝＝＝－2(a＋2)－＋20＝－2＋20≤－4＋20＝4，当a＋2＝时，即a＝2时等号成立，所以kMN的最大值为4；此时a＝2，b2＝16，则c2＝a2＋b2＝20，此时双曲线的离心率e＝＝. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知A(－2，0)，B(2，0)，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于. (1)求动点P的轨迹方程； (2)若点O为坐标原点，当｜OP｜＝时，求第二象限点P的坐标. 解：(1)设点P的坐标为(x，y)， 由题意得·＝(x≠±2)， 化简得－＝1(x≠±2). 故动点P的轨迹方程为－＝1(x≠±2). (2)因为｜OP｜＝＝，故x2＋y2＝.① 又由(1)知－＝1，② 由①②得⇒又点P在第二象限内， 所以点P的坐标为(－，). 16.(15分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点A(2，1)，离心率为，过点B(3，0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N. (1)求椭圆的方程； (2)若｜MN｜＝，求直线MN的方程. 解：(1)由题意有＋＝1，e＝＝， a2－b2＝c2， 解得a＝，b＝，c＝， 所以椭圆的方程为＋＝1. (2)由直线MN过点B且与椭圆有两交点，则直线MN的斜率必存在. 可设直线MN的方程为y＝k(x－3)， 代入椭圆方程整理得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0， Δ＝24－24k2＞0，得k2＜1. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， ｜MN｜＝ ＝ ＝＝， 解得k＝±，满足k2＜1， 所以所求直线方程为y＝±(x－3). 17.(15分)如图，是抛物线型拱桥，当水面在l时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米(即水面上部分高1.5米)，船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？(计算结果保留至小数点后一位，参考数据：≈1.732) 解：(1)如图所示，建立平面直角坐标系xOy，设抛物线型拱桥的方程为x2＝ay(a＜0)， 由题意，可知抛物线经过点G(8，－8)，代入抛物线方程可得64＝－8a，即得a＝－8， 所以抛物线方程为x2＝－8y. 当拱顶离水面2米时，即y＝－2，代入抛物线方程可得x＝±4，即水面宽为8米. (2)由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令x＝6， 代入抛物线方程中，则36＝－8y， 解得y＝－4.5， 即拱顶与船顶的最近距离为4.5米. 又因为船在水面上部分高为1.5米， 故拱顶离水面6米. 在抛物线方程x2＝－8y中，令y＝－6， 则x＝±4， 故2＝8≈13.9， 所以水面宽度至少应为13.9米. 18.(17分)已知双曲线Γ：－＝1(a＞0，b＞0)，其渐近线方程为x±2y＝0，点(2，1)在Γ上. (1)求双曲线Γ的方程； (2)过点A(2，0)的两条直线AP，AQ分别与双曲线Γ交于P，Q两点(不与点A重合)，且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点. 解：(1)因为a＞0，b＞0，依题意，得 解得a＝2，b＝1， 所以双曲线Γ的方程为－y2＝1. (2)证明：依题意可知PQ斜率存在，设方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如图所示， 由⇒(1－4k2)x2－8kmx－4m2－4＝0， 则Δ＝64k2m2＋4(1－4k2)(4m2＋4)＞0，即m2＋1－4k2＞0①， 所以 设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2， 由题意知k1＋k2＝1， 故有k1＋k2＝＋ ＝ ＝＝1， 即－4(2k＋m)＋4(m2＋4km＋4k2)＝0， 整理得(m＋2k)(m＋2k－1)＝0. 当m＋2k＝0⇒PQ：y＝kx－2k，过A(2，0)舍去， 当m＋2k－1＝0⇒PQ：y＝kx－2k＋1，过点(2，1)， 此时，将m＝1－2k代入①得(1－2k)2＋1－4k2＝2－4k＞0，得k＜，满足题意. 所以直线PQ过定点(2，1). 19.(17分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别是为F1，F2，上顶点为P，且＝4. (1)求C的标准方程； (2)不过原点O的直线l：y＝kx＋m与C交于不同的两点A，B，在OA的延长线上取一点D使得｜OA｜＝｜AD｜，连接BD交C于点E(点E在线段BD上且不与端点重合)，若S△OAB＝2S△EAB，试求直线l与坐标轴所围成三角形面积的最小值. 解：(1)由题意可得＝｜F1F2｜·｜OP｜＝×2c×b＝bc＝4. 又因为椭圆C的离心率为e＝＝， 所以a2＝2c2. 又a2＝b2＋c2，解得a2＝8，b2＝4. 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立可得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0， 则Δ＝(4km)2－4(2k2＋1)(2m2－8)＝8(8k2＋4－m2)＞0.① 由韦达定理可得x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝. 因为点A为OD的中点，所以D(2x1，2y1)， 由S△OAB＝2S△EAB，可得S△ABD＝S△OAB＝2S△EAB，即｜BD｜＝2｜BE｜， 所以点E为BD中点， 所以点E的坐标为(x1＋x2，y1＋y2). 将点E的坐标代入椭圆C的方程＋＝1， 可得(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝1， 化简得(＋)＋＋)＋(＋)＝1. 又＋＝1，＋＝1， 代入上式可得，＋＝－，即x1x2＋2y1y2＝－2. 把x1x2＝，y1y2＝，代入x1x2＋2y1y2＝－2， 可得2m2＝6k2＋3，且满足①式. 在直线l的方程中，令y＝0，可得x＝－，即直线l交x轴于点(－，0). 所以直线l与坐标轴所围成三角形的面积为S＝｜m｜｜｜＝＝·＝(2｜k｜＋)≥×2＝， 当且仅当2｜k｜＝时，即当k＝±时取等号. 所以直线l与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为. 学生用书⬇第86页 学科网（北京）股份有限公司 $