单元检测卷(一) 直线与圆-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

单元检测卷(一)　直线与圆 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.直线x＝2 025的倾斜角为(　　) A.0° B.90° C.180° D.不存在 答案：B 解析：因为直线x＝2 025与x轴垂直，所以直线x＝2 025的倾斜角为90°.故选B. 2.已知直线l1：2x＋y－1＝0，l2：4x＋2y＋1＝0，则l1，l2间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：将直线l1方程化为4x＋2y－2＝0，由平行直线间的距离公式得d＝＝.故选C. 3.若直线l1：ax＋y－4＝0与直线l2：x－y－2＝0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，2) B.(－1，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案：A 解析：当a＝－1时，l1：x－y＋4＝0，此时l1∥l2，不满足题意；当a≠－1时，解方程组解得－1＜a＜2，即实数a的取值范围为(－1，2).故选A. 4.已知点P在圆(x＋1)2＋y2＝2上，则点P到直线x＋y－5＝0距离的最小值为(　　) A. B. C.2 D.3 答案：C 解析：(x＋1)2＋y2＝2的圆心C(－1，0)，r＝，圆心C(－1，0)到直线x＋y－5＝0的距离d＝＝＝3，故圆(x＋1)2＋y2＝2上的动点P到直线x＋y－5＝0的距离的最小值为3－＝2.故选C. 5.冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图①所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图②所示，且山楂的半径(图②中圆的半径)为2，竹签所在的直线方程为2x＋y＝0，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为(　　) A.2x＋y±2＝0 B.2x＋y±＝0 C.2x＋y±4＝0 D.2x＋y±2＝0 答案：D 解析：因为竹签所在的直线方程为2x＋y＝0，设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为2x＋y＋c＝0，由两平行直线间的距离公式，可得＝2，解得c＝±2，所以与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为2x＋y±2＝0.故选D. 6.若直线l：kx－y－2＝0与曲线C：＝x－1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D. 答案：B 解析：直线l：kx－y－2＝0恒过定点(0，－2)，由＝x－1，得到(x－1)2＋(y－1)2＝1(x≥1)，所以曲线C表示以点(1，1)为圆心，半径为1，且位于直线x＝1右侧的半圆(包括点(1，2)，(1，0))，如图所示，当直线l经过点(1，0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k＝2，当l与半圆相切时，由＝1，得k＝，由图可知，当＜k≤2时，l与曲线C有两个不同的交点.故选B. 7.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1，0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为(　　) A.1 B. C.2 D.2 答案：A 解析：由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r＝2.因为直线l经过点(1，0)且与直线x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率为－1，方程为y－0＝－(x－1)，即为x＋y－1＝0.又圆心(0，－1)到直线l的距离d＝＝，所以弦长｜AB｜＝2＝2＝2.又坐标原点O到弦AB的距离为＝，所以△OAB的面积为×2×＝1.故选A. 8.在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(0，2)，圆C：(x－a)2＋y2＝1.若圆C上存在点M，使得｜MA｜2＋｜MB｜2＝12，则实数a的值不可能是(　　) A.－1 B.0 C.1＋2 D.－2 答案：D 解析：设M(x，y)，由题意可知｜MA｜2＋｜MB｜2＝12＝(x－2)2＋y2＋x2＋(y－2)2⇒(x－1)2＋(y－1)2＝4，即M(x，y)是圆C：(x－a)2＋y2＝1与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝4的交点，由两圆位置关系可知圆心距满足：2－1≤｜CD｜≤1＋2，即∈⇒a∈[1－2，1＋2 ]，a的值不可能是－2.故选D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有(　　) A.直线l在y轴上的截距是2 B.直线l的斜率为 C.直线l不经过第三象限 D.直线l的一个方向向量为v＝(－，3) 答案：ACD 解析：对于A，直线方程可变为y＝－x＋2，在y轴上的截距是2，故A正确；对于B，斜率k＝－，故B错误；对于C，由直线方程y＝－x＋2可知，直线l不经过第三象限，故C正确；对于D，该直线的一个方向向量为(1，－)，与v＝(－，3)平行，故D正确.故选ACD. 10.已知AB为圆C：x2＋y2＝4的直径，直线l：y＝kx＋1与y轴交于点M(A，B，M三点不共线)，则下列结论正确的是(　　) A.l与C恒有公共点 B.△ABM是钝角三角形 C.△ABM的面积的最大值为1 D.l被C截得的弦的长度最小值为2 答案：ABD 解析：直线l：y＝kx＋1与y轴交于点M，所以M(0，1)，且M在圆C：x2＋y2＝4内部，所以l与C恒有公共点，故A正确；因为点M在圆C：x2＋y2＝4内部，所以∠AMB为钝角，所以△ABM是钝角三角形，故B正确；M到AB的最大距离，即到圆心的距离为1，所以≤×4×1＝2，故C错误；l被C截得的弦的长度最小时，圆心到直线的距离最大，且此距离为M到圆心的距离为1，故弦长的最小值为2＝2，故D正确.故选ABD. 11.已知圆M：x2＋y2＋4x＝0和圆N：x2＋y2－4y－12＝0相交于A，B两点，则下列说法正确的是(　　) A.AB⊥MN B.直线AB的方程为x＋y＋3＝0 C.线段AB的长为 D.M到直线AB的距离与N到直线AB的距离之比为1∶4 答案：ABC 解析：对于A，因为两个圆相交，所以圆心M，N所在直线垂直平分两圆的公共弦，故A正确；对于B，因为圆M：x2＋y2＋4x＝0和圆N：x2＋y2－4y－12＝0相交于A，B两点，所以两圆方程相减得到4x＋4y＋12＝0，即AB：x＋y＋3＝0，故B正确；对于C，圆M：x2＋y2＋4x＝0化为标准方程是(x＋2)2＋y2＝4，圆心M(－2，0)到直线AB：x＋y＋3＝0的距离为d＝＝，所以｜AB｜＝2＝2＝，故C正确；对于D，因为圆N：x2＋y2－4y－12＝0化为标准方程是x2＋(y－2)2＝16，圆心N(0，2)到直线AB：x＋y＋3＝0的距离为d'＝＝，所以M到直线AB的距离与N到直线AB的距离之比为d∶d'＝∶＝1∶5，故D错误.故选ABC. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上.) 12.已知直线l过点(－1，6)且方向向量为(2，－3)，则l在y轴上的截距为　　　　. 答案： 解析：因为直线l的方向向量为(2，－3)，所以直线斜率k＝－，又直线l过点(－1，6)，所以直线方程为y－6＝－(x＋1)，即3x＋2y－9＝0，令x＝0，得y＝，所以l在y轴上的截距为. 13.由点A(－3，3)发出的光线l经x轴反射，反射光线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，则l的方程为　　　　　　　　. 答案：3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0 解析：已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于x轴对称的圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1，设光线l所在直线的方程是y－3＝k(x＋3)(其中斜率k待定)，即kx－y＋3k＋3＝0，由题设知对称圆的圆心C'(2，－2)到这条直线的距离等于1，即d＝＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.故所求的直线方程是y－3＝－(x＋3)或y－3＝－(x＋3)，即3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0. 14.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向40 m处设立观测点A，在平台O的正西方向240 m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，如图，经观测发现，在平台O的正南方向200 m的P处，有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶，则小汽车　　　　进入安全预警区.(填“会”或“不会”) 答案：会 解析：由题意得A(40，40)，B(－240，0)，设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆C经过O，A，B三点，所以所以圆C的方程为x2＋y2＋240x－320y＝0，即(x＋120)2＋(y－160)2＝40 000，圆心为C(－120，160)，半径r＝200，小汽车行驶路线所在直线的斜率为－1，又点P的坐标是(0，－200)，所以小汽车行驶路线所在直线的方程为y＝－x－200，圆心C到直线y＝－x－200的距离d＝＝120＜r，所以直线y＝－x－200与圆C相交，即小汽车会进入安全预警区. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－. (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程. 解：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)， 整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0. (2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0(C≠－14)， 由点到直线的距离公式得＝3， 即＝3，解得C＝1或C＝－29， 故所求直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. 16.(15分)已知直线l经过直线l1：x－2y＋3＝0，l2：x＋y－3＝0的交点P，且A(3，2)，B(－1，－2)两点到直线l的距离相等. (1)求直线l的一般式方程； (2)若点A，B在直线l的同侧，且Q为直线l上一个动点，求｜AQ｜＋｜BQ｜的最小值. 解：(1)由所以交点P(1，2). ①当所求直线与直线AB平行时， 直线AB的斜率为kAB＝＝1， 则所求直线的方程为y－2＝1×(x－1)，即x－y＋1＝0. ②当所求直线过AB的中点时， 则所求直线垂直于x轴. 故所求直线方程为x＝1，即x－1＝0. 综上所述，所求直线方程为x－y＋1＝0或x－1＝0. (2)因为点A，B在直线l的同侧，所以直线l的方程为x－y＋1＝0， 设点A关于直线l的对称点为C(x0，y0)， 则 化简可得 所以点C(1，4). 因为｜AQ｜＋｜BQ｜≥｜CB｜＝＝2. 当Q，B，C三点共线时等号取到， 故｜AQ｜＋｜BQ｜的最小值为2. 17.(15分)已知k∈R，圆C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋(5k2＋20k＋9)＝0. (1)若圆C与圆x2＋y2＝1外切，求实数k的值； (2)求圆心C的轨迹方程； (3)是否存在定直线l，使得动圆C截直线l所得的弦长恒为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解：(1)由圆C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋(5k2＋20k＋9)＝0， 化为标准方程为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝42， 所以圆C的圆心为C(－k，－2k－5)，半径r＝4. 因为圆C与圆x2＋y2＝1外切， 所以＝4＋1＝5，解得k＝0或k＝－4. (2)由(1)得C(－k，－2k－5)，即消去k得y＝2x－5， 所以圆心C的轨迹方程为y＝2x－5. (3)设直线l交圆C于A，B两点，设C(－k，－2k－5)到直线l的距离为d， 则｜AB｜＝2，假设存在符合题意的定直线l， 则＝2，解得d＝， 即圆心C到直线l的距离恒为， 而圆心C的轨迹方程为2x－y－5＝0， 所以可设直线l的方程为2x－y＋t＝0(t≠－5)， 且＝，｜t＋5｜＝， 解得t＝－或t＝－， 所以存在符合题意的定直线l，且定直线l的方程为2x－y－＝0或2x－y－＝0. 18.(17分)已知圆心为C的圆经过A(3，0)，B(－1，4)两点，且圆心在直线l1：y＝3x－1上. (1)求圆C的方程； (2)在直线l2：y＝－2x上是否存在一点Q，过点Q向圆C引两切线，切点为E，F，使△QEF为正三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由. 解：(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 则 所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝8. (2)由(1)得，圆C的圆心C(1，2)，半径r＝2， 假设存在点Q，如图所示. 设Q(t，－2t)， 则∠CQE＝∠CQF＝30°， 则在Rt△QCE中，｜CQ｜＝2｜CE｜＝2r＝4， 即＝4， 解得t＝或－3， 则Q或Q(－3，6)， 所以存在点Q或Q(－3，6)使△QEF为正三角形. 19.(17分)在平面直角坐标系中，已知圆C经过原点和点P(2，0)，并且圆心在x轴上. (1)求圆C的标准方程； (2)设P1P2为圆C的动弦，且P1P2不经过点P，记k1，k2分别为弦P1P，P2P的斜率. ①若k1·k2＝－1，求△PP1P2面积的最大值； ②若k1·k2＝3，请判断动弦P1P2是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 解：(1)法一：几何法 由已知得，圆心在直线x＝1和y＝0上， 从而圆心坐标为C(1，0)，半径为r＝1， 所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝1. 法二：代数法 设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知可得 解得a＝1，b＝0，r＝1， 所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)①法一：几何法 因为k1·k2＝－1，所以P1P⊥P2P，从而直线P1P2经过圆心，从而｜P1P2｜＝2， 要使△PP1P2的面积最大，需使点P到直线P1P2的距离等于圆C的半径1， 所以()max＝×2×1＝1. 法二：代数法 因为k1·k2＝－1，所以P1P⊥P2P， 从而直线P1P2经过圆心，△PP1P2是直角三角形，且｜P1P2｜＝2， 设｜P1P｜＝a，｜P2P｜＝b，则a2＋b2＝4， 又4＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤2，当且仅当a＝b＝时取等号， 所以()max＝ab＝1. ②由k1·k2＝3，可知直线P1P2的斜率存在， 设直线P1P2的方程为y＝kx＋m，P1(x1，y1)，P2(x2，y2). 由消去y，得(k2＋1)x2＋2(km－1)x＋m2＝0， 则Δ＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝(※) 又k1·k2＝·＝＝＝3， 即(3－k2)x1x2－(km＋6)(x1＋x2)＋12－m2＝0， 代入(※)得，m2＋5km＋6k2＝0， 即(m＋2k)(m＋3k)＝0， 解得m＝－2k或m＝－3k. 当m＝－2k时，此时直线P1P2的方程为y＝k(x－2)，过定点P(2，0)(舍去). 当m＝－3k时，此时直线P1P2的方程为y＝k(x－3)，过定点(3，0). 故当k1·k2＝3，动弦P1P2过定点(3，0). 学生用书⬇第48页 学科网（北京）股份有限公司 $