精品解析：福建省龙岩市第五中学2025-2026学年八年级上学期期中数学卷

龙岩五中2025-2026学年上学期期中质量监测试题卷 八年级数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，满分40分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、它不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列各图中，作边AC上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，从三角形的一个顶点往对边引垂线，顶点与垂足所连线段为三角形的高线进行判断即可． 【详解】解：作边AC上的高，如图： 故选D． 3. 在平面直角坐标系中，点A和点B关于x轴对称，已知A的坐标为，则B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点A和点B关于x轴对称，且A的坐标为， ∴B的坐标为， 故选：A． 4. 如图，已知，要用证明，应补充的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故选：B． 5. 如图，在中，，，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．先在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 6. 已知是的三个内角，在下列条件中：①；②；③∶，能确定是直角三角形的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的定义，熟练掌握该知识点是关键． 根据三角形内角和定理逐一进行判定即可． 【详解】解：①，， ，即， 是直角三角形， ②， ， ， ， 是直角三角形， ③∶，， ， 是直角三角形， 故能确定是直角三角形的有3个， 故选：D． 7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查作图-基本作图、线段的垂直平分线、角平分线等知识点，读懂图形信息、灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图可知平分，垂直平分线段，再根据线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：由作图可知：平分，垂直平分线段， ∴，，即C选项符合题意． 故选：C． 8. 如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握角的平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行内错角相等，等角对等边，角的平分线的定义，进行推理计算即可． 【详解】解：∵和的平分线交于点E，， ∴，， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为． 故选：A． 9. 如图，中，点D在边上，将点D分别以为对称轴，画出对称点E、F，并连接．根据图中标示的角度，可得的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答． 利用轴对称的性质解答即可． 【详解】解： ∵D点分别以为对称轴， ∴， ， ， 故选：A． 10. 如图，已知，，，，和交于O点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型――“手拉手”模型．证即可判断AB；在上截取，证即可判断D；根据可推出平分，无法推出平分，即可判断C． 【详解】解：∵， ∴ 即： ∵，， ∴ ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，故选项B正确，不符合题意； 在上截取，如图所示： ∵， ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∵，， ∴是等边三角形 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，故D正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴点到边的距离相等， ∴平分 没理由能证明平分，故C错误，符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，满分24分） 11. 已知等腰三角形的两边长为、，则它的周长为________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）是解题的关键． 分两种情况讨论等腰三角形的腰长，再根据三角形三边关系判断是否成立，进而计算周长． 【详解】解：情况一：当腰长为时， 因为， 所以三边能构成三角形， 周长为， 情况二： 当腰长为时， 因为， 所以三边能构成三角形， 周长为， 故答案为：或． 12. 命题“在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题是：________ 【答案】角平分线上的点到角的两边距离相等 【解析】 【详解】命题“在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题是“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”． 13. 如图，平分，，垂足为，点为射线上一个动点，若，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离、垂线段最短和角平分线的性质，掌握点到直线的距离、垂线段最短是解答本题的关键．根据点到直线的距离、垂线段最短，可知当时，线段的值最小，然后再根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图，当时，线段的值最小， 是的平分线，，，， ，即的最小值是． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 15. 如图是由边长相等的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，，四点均在格点上，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过取格点，证明三角形全等得到角的等量关系，再结合三角形外角性质求解． 【详解】解：如图，取格点，连接，． 设小正方形边长为， 则，，． ， ， ∵，， ∴， 又∵是的外角， ，而， ∴， ， 故答案为：． 16. 如图，的高线与交于点，在直线上取点，使得．动点从点出发，以的速度从点向点运动，同时动点从点出发，沿射线以的速度运动，到达点时，P，Q两点都停止运动．已知，若两点移动过程中，存在与全等，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点F分别在延长线上或在之间时，再用t表示相关线段，根据全等三角形对应边相等列一元一次方程求解即可． 【详解】解：①当点F在延长线上时：设t秒时，P、Q分别运动到如图位置时． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴，解得：； ②当点F在之间时：设t秒时，P、Q分别运动到如图位置时． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴，解得：． 综上，的值为或． 故答案为或． 三、解答题（本大题共9题，满分86分） 17. 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．，是筝形的对角线．求证：平分． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，即可证明平分． 【详解】略 18. 在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． （1）画出边上的高和中线； （2）画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【答案】（1） 如图所示，高和中线即为所求； （2） 如图所示，边上的高即为所求； 【解析】 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 19. 如图，在中，，为上一点，点在的延长线上，，连接，从下面①②③中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并证明结论是否成立． ①；②；③． 选择的条件：________；证明的结论：________．（填序号） 证明如下： 【答案】 解：我选择的条件是；结论是． 证明：，， ∴是等边三角形， ． 又，即，是边上的高， 平分， ∴． 又， ， ， ， ， ∴； 当选择①②，③作为结论， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当选择②③，①作为结论； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得是等边三角形，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）若点与点A关于x轴对称，求的值． 【答案】（1） 如图所示：即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化，熟记相关结论即可； （1）确定各顶点关于y轴对称的对应点，依次连接即可作图； （2）关于轴对称的两点，其纵坐标互为相反数，横坐标不变，即可求解； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：； 21. 如图，于，于，若，．     （1）求证：平分； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， 在和中 ∴ 平分 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理；运用角平分线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得到，从而得出结论； （2）先求出的长度，然后证明，得出，求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 在和中 22. 如图，在中，点D在上，，，． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，求的度数． 【答案】（1） 如图，的垂直平分线即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线、等边对等角、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，过两弧的交点作直线，分别交，于点E，F，则即为所求； （2）根据等边对等角以及三角形内角和定理得到，根据垂直平分线的性质得到，再利用三角形外角的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. （1）如图1，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：是等边三角形， ． ， ________， ， ，（④________） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点D，延长至点E，使得，求证：是等边三角形． 【答案】 （1）证明：是等边三角形， ． ， ， ， ，（等角对等边） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）证明：由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟记相关结论即可； （1）根据推理过程即可补全； （2）由题意得：，推出即可求证； 【详解】（1）略 （2）略 24. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 【答案】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴； （2）24； （3） 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质是关键． （1）证明即可得证； （2）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解； （3）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为24． 故答案为：24； （3）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 25. 如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2） 是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）当等于或或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识. ()根据全等三角形的性质得到，再证明，即可证明是等边三角形； ()先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； ()分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩五中2025-2026学年上学期期中质量监测试题卷 八年级数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，满分40分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 2. 下列各图中，作边AC上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点A和点B关于x轴对称，已知A的坐标为，则B的坐标为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知，要用证明，应补充的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是的三个内角，在下列条件中：①；②；③∶，能确定是直角三角形的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 不确定 9. 如图，中，点D在边上，将点D分别以为对称轴，画出对称点E、F，并连接．根据图中标示的角度，可得的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，，，，和交于O点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 平分 D. 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，满分24分） 11. 已知等腰三角形的两边长为、，则它的周长为________________． 12. 命题“在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题是：________ 13. 如图，平分，，垂足为，点为射线上一个动点，若，则的最小值是___________． 14. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 15. 如图是由边长相等的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，，四点均在格点上，则的度数为______． 16. 如图，的高线与交于点，在直线上取点，使得．动点从点出发，以的速度从点向点运动，同时动点从点出发，沿射线以的速度运动，到达点时，P，Q两点都停止运动．已知，若两点移动过程中，存在与全等，则的值为_______． 三、解答题（本大题共9题，满分86分） 17. 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．，是筝形的对角线．求证：平分． 18. 在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． （1）画出边上的高和中线； （2）画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 19. 如图，在中，，为上一点，点在的延长线上，，连接，从下面①②③中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并证明结论是否成立． ①；②；③． 选择的条件：________；证明的结论：________．（填序号） 证明如下： 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）若点与点A关于x轴对称，求的值． 21. 如图，于，于，若，．     （1）求证：平分； （2）已知，，求的长． 22. 如图，在中，点D在上，，，． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，求的度数． 23. （1）如图1，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：是等边三角形， ． ， ________， ， ，（④________） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点D，延长至点E，使得，求证：是等边三角形． 24. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 25. 如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $