山东省青岛市城阳第一高级中学2025-2026学年高三上学期数学阶段性练习题（集合与逻辑用语，函数与导数，数列，三角，立体几何与解析几何）

高三练习题 一、单选题 1．已知，为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．若双曲线的两条渐近线的夹角为，则其离心率为（   ） A． B． C．2或 D．2 4．已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 5．设函数的定义域为是偶函数，是奇函数，且当时，，若，则（    ） A． B． C． D．3 6．已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为 A． B．1 C． D． 7．已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．若实数互不相等，且满足，则（    ） A． B． C． D．以上三个答案都不正确 二、多选题 9．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，平面，且，分别为的中点，是线段上靠近点的四等分点，则（    ） A．平面 B．直线与所成的角为 C． D．经过的平面截四棱锥所得的截面图形的面积为 10．平面直角坐标系中椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点、均在椭圆上，则（    ） A．点在椭圆上 B．椭圆的离心率为 C．直线与椭圆相交 D．若椭圆上弦的中点坐标为，则直线的斜率为 11．已知三角形ABC三个内角分别为A，B，C，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．．动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是____________ 13．等比数列的前项和为，则 ． 14．已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，其长轴长是短轴长的2倍，则过椭圆上点且与椭圆相切的直线方程为 . 四、解答题 15．已知向量，其中． (1)若，求图象的对称轴； (2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)已知为锐角三角形，内角的对边分别为，若，求的取值范围． 16．如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点E是棱的中点，． (1)求证：平面⊥平面； (2)若，点P满足，求直线与所成角的余弦值． 17．已知函数，记，且，． (1)求，； (2)设，， （ⅰ）证明数列是等差数列，并求数列的前项和为； （ⅱ）证明：． 18．已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程. 19．函数，. (1)方程有两解，，求证：； (2)证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三练习题 一、单选题 1．已知，为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算，结合实部等于虚部建立方程，解之即可求解. 【详解】， 所以，解得. 故选：D 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出集合A，再由补集的概念求即可. 【详解】由题意得， 又因为，所以， 故选：C. 3．若双曲线的两条渐近线的夹角为，则其离心率为（   ） A． B． C．2或 D．2 【答案】C 【分析】根据渐近线的夹角可得的值，从而可求离心率. 【详解】由题设可得渐近线的方程为， 因为两条渐近线的夹角为，故直线的倾斜角为或， 故或，故或， 故选：C. 4．已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由周期公式和正切函数的取值得到函数表达式，再利用换元法求出正切函数的对称中心； 【详解】由题可得，，又，所以， 所以，则， 则， 又，则，故． 令，解得． 结合选项可得当时，， 故是图象的一个对称中心． 故选：B. 5．设函数的定义域为是偶函数，是奇函数，且当时，，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性结合题意解方程组求出，再利用函数的周期性可得. 【详解】是偶函数， 是奇函数，且， 且. 根据所得的关系式， 可得. 由，解得， . 故选：B 6．已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为 A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】分析：以为原点，以为轴，建立坐标系，可得，，利用配方法可得的最小值. 详解：以为原点，以为轴，建立坐标系， 为边长为的正三角形，， ， ， ，故选C. 7．已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， 所以由垂径定理可得，故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 故选：A 8．若实数互不相等，且满足，则（    ） A． B． C． D．以上三个答案都不正确 【答案】C 【分析】令，然后分别求解出，利用指数、对数函数的图象与性质直接判断出大小关系. 【详解】设， 则，，， 根据指数、对数函数图象，且互不相等，易得：，， 即，， 故选：C 二、多选题 9．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，平面，且，分别为的中点，是线段上靠近点的四等分点，则（    ） A．平面 B．直线与所成的角为 C． D．经过的平面截四棱锥所得的截面图形的面积为 【答案】AC 【分析】根据线面平行判断A,应用定义得出异面直线所成角判断B,平行公理判断C,先证明线面垂直得出线线平行即可求出截面再计算判断D. 【详解】因为是的中位线，所以， 又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，A正确． 如图， 取的中点，连接，则，且． 因为且，所以且． 所以四边形为平行四边形，所以， 所以或其补角即为直线与所成的角． 由平面，面，得． 因为， 所以与所成角的正切值为，B错误． 由题意，得是的中点， 所以，又，所以，C正确． 显然四点共面，取的中点，连接， 可得四边形平行四边形，所以四点共面， 所以五点共面，即五边形即为所求的截面． 设，则，且， ，． 由题意及线面垂直的性质有，，且都在面， 所以BD⊥平面PAC． 而面，所以，又，，所以， 所以，D错误． 故选：AC． 10．平面直角坐标系中椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点、均在椭圆上，则（    ） A．点在椭圆上 B．椭圆的离心率为 C．直线与椭圆相交 D．若椭圆上弦的中点坐标为，则直线的斜率为 【答案】BC 【分析】求出椭圆的方程，利用点与椭圆的位置关系可判断A选项；利用椭圆的离心率公式可判断B选项；利用直线与椭圆的位置关系可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】设椭圆的方程为，由题意可得，解得， 故椭圆的方程为， 对于A选项，因为，故点不在椭圆上，A错； 对于B选项，，，则， 所以椭圆的离心率为，B对； 对于C选项，直线的方程可化为，该直线过定点， 因为，则点在椭圆内，故直线与椭圆相交，C对； 对于D选项，若的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 所以直线的斜率存在，设点、，由题意可得， 因为，两个等式作差得， 所以，故，D错. 故选：BC. 11．已知三角形ABC三个内角分别为A，B，C，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以， 化简得，又， 所以，故选项A正确； 由得， 所以，所以，故选项C正确； ，故选项B错误； 由及正弦定理得， 所以 ，当且仅当时等号成立， 又在上单调递减，所以，故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】令，解得，故的定义域为， ，当且仅当，即时，等号成立， 故，故以P为切点的切线的倾斜角取值范围是. 故选：C 13．等比数列的前项和为，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列基本量的计算，结合已知条件，求得首项和公比，即可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为； 若，则即为，解得，不满足题意； 故，则即为，整理得：， 即，解得或（舍），故； 又，即，则； 故. 故答案为：. 14．已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，其长轴长是短轴长的2倍，则过椭圆上点且与椭圆相切的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据条件，求出椭圆方程，设所求切线方程为，联立直线与椭圆方程，利用直线与椭圆的位置关系求出，即可求解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为， 又长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上， 所以，解得， 所以椭圆的方程为， 由题知切线斜率存在，设切线方程为， 由，消得到， 所以，整理得到， 解得，故所求的直线方程为，即， 故答案为：. 四、解答题 15．已知向量，其中． (1)若，求图象的对称轴； (2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)已知为锐角三角形，内角的对边分别为，若，求的取值范围． 【详解】（1） ， 当时，． 令，得， 所以图象的对称轴为. （2）由（1），得， 所以， 因为将的图象向左平移个单位长度得到的图象， 所以. 因为，所以， 又函数在区间上单调递增， 所以， 即，解得 所以，即 又，所以，即的取值范围是. （3）由，得， 又，所以， 又为锐角三角形，所以， 所以，解得． 由余弦定理，得， 所以， 所以． 由正弦定理，得， 所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以， 故的取值范围为， 所以的取值范围为． 所以的取值范围是． 16．如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点E是棱的中点，． (1)求证：平面⊥平面； (2)若，点P满足，求直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，，， 因为为中点，为中点，所以． 在三棱柱中，，则四边形是菱形， 可得，则， 又因为，，且平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为是等边三角形，为中点，所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）因为，，所以是等边三角形，所以． 又因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 因为由平面，所以，，又因为， 以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，， 设，因为，即， 可得，所以， 则， 又因为，所以． 直线CP与所成角的余弦值为. 17．已知函数，记，且，． (1)求，； (2)设，， （ⅰ）证明数列是等差数列，并求数列的前项和为； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）证明见解析；；（ⅱ）证明见解析； 【分析】（1）求出导数，利用递推关系可得答案； （2）（ⅰ）求出的递推关系，利用等差数列的定义可证明等差数列，利用错位相减法可求和； （ⅱ）利用进行放缩，结合等比数列求和公式可证结论. 【详解】（1）因为，所以， . （2）（ⅰ）因为，所以， 又，所以，； 由（1）可知，，所以，， ，所以是以为首项和公差的等差数列， ，所以. ,, 两式相减可得 , . （ⅱ），， 所以 因为，所以. 18．已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据离心率及椭圆参数关系得，再由通径的长度求参数，即可得； （2）根据已知，设，联立椭圆，结合向量坐标的线性关系、韦达定理求参数值，即可得直线方程. 【详解】（1）由题意， 过右焦点作垂直轴的直线，交椭圆于， 代入，则， 所以，则， 所以椭圆方程； （2）由（1）可得，设， 由题意，直线斜率存在，设直线且， 联立，整理得， 所以，则，， 而， 由，则，即，， 所以，可得，则（舍）或，    当时，经验证满足题设，所以直线方程. 19．函数，. (1)方程有两解，，求证：； (2)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由函数解释式求导，分情况可求得恒成立，整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案； （2）由（1）所得不等式，利用累加法以及裂项相消，可得答案. 【详解】（1）证明：，定义域为，则 因为方程有两解，，所以，不妨设. 要证，即证， ①若，则. ②若，由知， 当时，，当时，. 在上单调递减，在上单调递增，有. 综合①②知，，所以只需证（*）. 又，， 两式相减，整理得，代入（*）式，得， 化简得，令，则只需证， 令，则需证当时，. 因为在上恒成立， 所以在上单调递增，所以当时，，所以成立. （2）由（1）知，故， 取，，，，则， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $