精品解析：广东省中山市纪雅学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年初三上学期数学期中试卷 总分120分 时间120分钟 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 不能确定 3. 已知点与点关于原点对称，则（　　） A. B. 2 C. D. 6 4. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 5. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 6. 九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 12. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_____． 13. 某市2023年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2025“竹文化”旅游收入达到亿元、据此估计该市2024年、2025年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为___________． 14. 如图，是的弦，将劣弧沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，若，则的半径为_____． 15. 对称轴为直线的抛物线（a、b、c为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号有______． 三、解答题（每题7分，共21分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别是，，． （1）把向右平移4个单位长度后得到对应的，请画出平移后的； （2）把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； （3）观察图形可知，与关于点________中心对称． 17. 某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点F必须在线段上，设的长为x米． （1）_______米；（用含x的代数式表示） （2）若围成的篮球场的面积为1200平方米，求的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 18. 阅读材料，回答问题． 材料背景 遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（弧的中点到水面的距离）为． 问题解决 （1）确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径． （2）确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度． 四、解答题（每题9分，共27分） 19. 如图，已知四边形内接于，为其中一条对角线． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，若经过圆心O，连接， ，求的大小． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的边长，b、c为方程的两个根，求k值． 21. 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：cm）与水平距离（单位：cm）近似满足函数关系．乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 18 42 50 42 18 （2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由． 五、解答题（两小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）． （1）如图①，当时，求点D的坐标； （2）如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，直线与抛物线交于A，D两点，与直线交于点E．若是线段上（不包括点A，B）的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线于点H． ①连接，，，当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值． ②在平面内是否存在点P，使四边形为正方形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初三上学期数学期中试卷 总分120分 时间120分钟 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A．是轴对称图形而不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B．既是轴对称图形也是中心对称图形，故该选项符合题意； C．是轴对称图形而不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．是中心对称图形而不是轴对称图形，故该选项不符合题意． 故选：B． 2. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，其一般形式是（））是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列方程和不等式求解的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 由，得． 由，得． ∴． 故选：． 3. 已知点与点关于原点对称，则（　　） A. B. 2 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数，进而得出答案；本题主要考查了关于原点对称点的性质，熟练掌握横，纵坐标的符号关系是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故选：B． 4. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中抛物线的平移，其规律为“左加右减，上加下减”，据此即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数为，即． 故选：A 5. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系先求出和的值，代入原式求解即可；本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：A． 6. 九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，熟练掌握互赠问题中数量关系的分析方法是解题的关键． 根据每个学生要给除自己之外的其他同学赠送勉励卡，计算出赠送的总张数，从而列出方程． 【详解】解：由题意可得． 故选：B． 7. 已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键；原不等式可转化为，表明二次函数的图象位于一次函数的图象下方，观察图象即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 上式表示二次函数的图象位于一次函数的图象下方， 观察图象知，， 即不等式的解集为， 故选：C． 8. 如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握直角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等． 连接，由圆周角定理得到，再由圆周角定理得到，以及，然后直角三角形锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 10. 如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求． 【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求． 由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形， ∴PC=PF， ∵PB=EF， ∴PA+PB+PC=PA+PF+EF， ∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴， ∴AC=2AB， ∴∠ACB=30°，， ∵∠BCE=60°， ∴∠ACE=90°， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查利用旋转变换解决最短路径问题，两点之间线段最短、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， 故答案为：． 13. 某市2023年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2025“竹文化”旅游收入达到亿元、据此估计该市2024年、2025年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为___________． 【答案】20% 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题，熟练掌握是解题的关键，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 设年平均增长率为x，根据增长问题公式，列方程求解． 【详解】设该市“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x． 根据题意，2023年收入为2亿元，2025年收入为2.88亿元，从2023年到2025年经过2年增长， 则． 即． 解得（负值舍去）， 所以． 故该市2024年、2025年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为． 故答案为：． 14. 如图，是的弦，将劣弧沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，若，则的半径为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，翻折变换，关键是由翻折变换的性质推出是等边三角形． 由翻折变换的性质推出是等边三角形，得到，由垂径定理得到的长，由锐角的正弦即可求出的长． 【详解】解：设的对应点是，连接,，， 由题意知垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是2． 故答案为：2． 15. 对称轴为直线的抛物线（a、b、c为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号有______． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】该题主要考查二次函数图象的基本性质及通过图象判断式子的正负，结合图象，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键． 结合函数图象可得开口向上，，对称轴为，函数图象与轴的交点在轴负半轴，与轴有两个交点等，根据这些基本性质，逐项判断即可得出结果． 【详解】解：根据函数图象可得：函数图象的开口向上， 故，对称轴为， ，，③符合题意； 函数图象与轴的交点在轴负半轴， ， ∴，①不符合题意； 根据图象可得，函数图象与轴有两个交点， ∴对应方程有两个根， ∴，即，②符合题意； 当时，，故④不符合题意； 故答案为：②③ 三、解答题（每题7分，共21分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别是，，． （1）把向右平移4个单位长度后得到对应的，请画出平移后的； （2）把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； （3）观察图形可知，与关于点________中心对称． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移(作图)， 画旋转图形，画已知图形关于某点对称的图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）把向右平移4个单位长度得到； （2）分别找出关于原点的对称点，得到； （3）分别连结与，与，与，它们都相交于同一点，由此可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 观察图形可知，与关于点中心对称， 故答案为：． 17. 某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点F必须在线段上，设的长为x米． （1）_______米；（用含x的代数式表示） （2）若围成的篮球场的面积为1200平方米，求的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 【答案】（1） （2）40米 【解析】 【分析】题目主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出的长； （2）根据围成的篮球场的面积为1200平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：∵的长为x米， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，故舍去， 答：篮球场的宽的长为40米． 18. 阅读材料，回答问题． 材料背景 遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（弧的中点到水面的距离）为． 问题解决 （1）确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径． （2）确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度． 【答案】（1）主桥拱所在圆的半径为 （2）此时水面的宽度为 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，熟练掌握以上两个应用是关键. （1）连接，设半径，在中，利用勾股定理列方程求解. （2）先求OG，再利用勾股定理求GF，最后利用垂径定理求EF. 【小问1详解】 解：如图①，设主桥拱所在圆的圆心为O，连接． 是的中点，， 三点在一条直线上， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 故主桥拱所在圆的半径为． 【小问2详解】 解：如图②，记桥下水面上升所在水面为，交于点G，连接． 由题意，得 , ． 在中，由勾股定理， 得, ． 故此时水面的宽度为． 四、解答题（每题9分，共27分） 19. 如图，已知四边形内接于，为其中一条对角线． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，若经过圆心O，连接， ，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）四边形内接于，，则，即可求解； （2）连接，由， ，得；再由同弧所对的圆周角相等可得；由是的直径，得，从而求得． 【小问1详解】 解：∵四边形内接于，， ， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，弧、弦及圆周角的关系，直径对的圆周角为直角，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的边长，b、c为方程的两个根，求k值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴其判别式 ∵任何数的平方都大于等于，即， ∴无论为何值，方程总有实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及等腰三角形的性质、三角形三边关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系，以及等腰三角形的性质和三角形三边关系是解题的关键． （1）要证明无论为何值方程总有实数根，需要考虑方程的判别式．对于一元二次方程，当判别式非负时，方程有实数根，所以通过计算判别式并判断其取值范围来证明． （2）已知等腰三角形的边长，、为方程的两个根，需要根据等腰三角形的性质，分情况讨论哪两边相等，再结合方程根与系数的关系求解的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 分三种情况讨论： 情况一：若为腰，，． ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，这种情况舍去； 情况二：若为底，，则． 此时三边为，，，满足三角形三边关系； 综上，． 21. 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：cm）与水平距离（单位：cm）近似满足函数关系．乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 18 42 50 42 18 （2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下： 令，则， 解得或（舍去）， ∴球第一次落在球桌面上的点为， 把代入，得， 解得（舍去）或， ∴乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系， 当时，， 解得或（舍去）， ∵， ∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上． 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质； （1）从表格中发现高度的最大值为50，可知顶点为，可知，再将代入即可求出； （2）乒乓球在桌面的落点就是抛物线与x轴的交点，在中令，即可求出球第一次落在球桌面上的落点，再将代入到求出弹起后满足的关系式，再令，就可求出第二次的落点，然后跟桌面长度比较即可，注意乒乓球是向前运动的，即在坐标系中是向右运动的，所以求出在左侧的落点要舍去. 【小问1详解】 解：乒乓球竖直高度的最大值 依题意，， ∴与的函数关系式为， 把代入函数解析式得：， 解得， ∴与的函数关系式为. 【小问2详解】 略 五、解答题（两小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）． （1）如图①，当时，求点D的坐标； （2）如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作轴，根据旋转得到，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，即可； （2）过点D作轴于G，于H，则，由勾股定理得出的长，等面积法求出，进而求出，勾股定理求出，即可； （3）连接，作轴于G，由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，点，点， ∴， 过点作轴，则：， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为； 【小问2详解】 过点D作轴于G，于H，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵矩形，， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， 即：， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； 【小问3详解】 连接，作轴于G，如图所示： 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，直线与抛物线交于A，D两点，与直线交于点E．若是线段上（不包括点A，B）的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线于点H． ①连接，，，当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值． ②在平面内是否存在点P，使四边形为正方形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①，；②存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的交点式求出函数表达式即可； （2）①用m和抛物线及一次函数的解析式表示出的长度，根据，列出方程，求出m，即可求出答案； ②分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴抛物线的解析式可写为：； 【小问2详解】 解：①把代入得：， ∴直线与y轴交点为， 设直线与y轴交于点N，则， 把代入得：， 则点， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为． 令， 解得， ∴， ∵，且轴， ∴， 设直线与y轴交于点N， ∵， ∴，且， ∴ 解得：，； ②存在，点P的坐标为或； ∵四边形是正方形， ∴，． ∵，且轴， ∴，． 分以下两种情况讨论： （i）当时，如图1，点F在的左侧， ∴ ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （ii）当时，如图2，点F在的右边， 同理得， 解得，（舍去）， 同理得； 故存在点P，使四边形为正方形，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、正方形等综合知识点，难度较大，本题第（2）问中的第①小问通过面积关系列出关于m的方程是解题的关键，第②小问通过正方形的性质进行讨论即可解题，对于二次函数的综合题型要学会结合数形结合的方法解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $