2026届高考数学一轮复习 课时作业：平面向量

2026届高考数学一轮复习 课时作业：平面向量 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量平行的坐标表示可直接构造方程求得结果. 【详解】，，解得：.故选：D. 2．如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意，.故选：D 3．已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量求得，进而求夹角余弦值. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以，所以，所以， 故选：D. 4．为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等边三角形的边长为1，建立平面直角坐标系，利用坐标法求出，可得，结合二次函数的性质求出最值即可. 【详解】设等边三角形的边长为1， 以为原点，所在直线为轴，以过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 所以，所以，则， 所以，则. 又因为，函数在上单调递增，所以在上单调递减， 所以在上单调递增，所以，所以.故选：C. 5．记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据向量夹角为锐角的条件求出甲成立时的取值范围，再分析甲与乙之间的充分性和必要性关系. 【详解】, 由向量与向量的夹角为锐角，故，且与不共线， 所以，解得， 又与不共线，则可得，解得. 故向量与向量的夹角为锐角，可得且. 故若且，则可得，即充分性成立； 反之，若，则推不出且，即必要性不成立；故甲是乙的充分不必要条件,故选：. 6．等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】作垂直于于点，作垂直于于点，建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标计算出的表达式，由二次函数的单调性即可求得答案. 【详解】 如图，作垂直于于点，作垂直于于点，又，，， 则，，，， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，又P为腰AD所在直线上任意一点， 则设，，则点P的坐标为， 所以，， 又关于的二次函数的对称轴为，则在上单调递减， 所以当，即点P和点D重合时，取得最小值．故的最小值是．故选：C． 7．如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】取的中点，将的表达式利用极化恒等式化简，再由三点共线可求出最大值. 【详解】取的中点，的中点，连接，如下图所示： 易知，所以． 因为，当且仅当三点共线时等号成立．所以的最大值为2． 故选：B． 8．如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】方法一，以点为坐标原点建系，设，根据，点在圆上，利用向量列出关于的方程求解即可；方法二，过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，，根据列出关于的方程求解即可. 【详解】方法一：以点为坐标原点，分别以、方向为轴正方向、轴正方向，建立平面直角坐标系， 设，则， 圆的方程，则，故， 设，则，则， 因，则①， 因，则， 则，将其代入①式得， 即，得（舍，此时）或，则；    方法二： 因，则在中， 则， 因，，则， 则，有， 过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，    易证四边形是矩形，则有，则有， 设，于是有，， ，，， 在矩形中，有， 则，即，解得，即．故选：C 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．设平面向量的夹角为，若，且，则（    ） A．当时，三点共线 B．当时，平分 C．当时，的最大值为2 D．当时，的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用平面向量基本定理即得；对于B，先证，得三点共线，过点作，利用中位线定理和三角形相似推得，即可证得；对于C，D，通过建系，设，将分别用的三角函数表示，利用三角恒等变换将目标函数化成正弦型函数，结合正弦函数的单调性即可求得其范围或最值. 【详解】对于A，当时，， 由平面向量基本定理，可得三点共线，故A正确； 对于B，如图，当时，由，可得 ， 即，故三点共线，且，过点作，交于点， 因，，则，而，故， 则，由可得，则，故平分，即B正确； 对于C，如图，以为坐标原点，所在直线为轴,建立平面直角坐标系， 则，即，因，不妨设， 由可得，故得， 解得，故， 其中，故的最大值为，故C错误； 对于D，根据C项建系，已得， 则 ， 因，故得，即的取值范围为，故D正确.故选：ABD. 10．已知椭圆的左、右焦点分别是，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P、Q两点．则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的短轴长为2 B．三角形面积的最大值是1 C．的取值范围为 D．以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的几何性质，可得判定A正确；设，得到，可判定B错误；由，根据，可判定C正确；连接，取的中点，连接，根据椭圆的定义得，可判定D正确. 【详解】对于A中，由椭圆，可得，则， 所以椭圆的短轴长为，所以A正确； 对于B中，设，可得，其中， 所以，所以最大面积为，所以B错误； 对于C中，由，且 ， 则， 因为，可得，则， 所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，连接，取的中点，连接，且， 以长轴为直径的圆的圆心为，半径为，以为直径的圆的圆心为，半径为, 由椭圆的定义得， 所以以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切，所以D正确. 故选：ACD.    11．已知向量满足，，则（   ） A．与的夹角为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的夹角计算公式、模长计算公式以及数量积的运算律，可计算并判断A,B,C，根据向量垂直的数量积表示可计算并判断D. 【详解】对于A,B，设与的夹角为，因为，所以， 得，所以，，故A正确，B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故，故D正确．故选：ACD． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知向量，，若且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出的坐标，再根据得出，利用消元法结合基本不等式可求. 【详解】由题意得，，， 因，则，则， 因，则，等号成立时，故的最小值为.故答案为： 13．已知函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点C，且，，，则 ． 【答案】 【分析】根据B、D点横坐标可确定周期得出，再把代入可求的值，利用得到A即可求解. 【详解】由题干图象可知，则，所以，所以， 由，得，，即，， 因为，所以，则． 又，则，又，， ，解得（负根舍去）， 所以，所以． 故答案为：. 14．已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则 ． 【答案】 【分析】根据投影向量的公式可得，计算模长可得结果. 【详解】由题意得，在上的投影向量为， ∵，∴，∴，∴.故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 由于 则，因为，所以. （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值. 16．（15分）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求出，得坐标，再根据向量垂直得坐标表示即可得解； （2）根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由，， 得， 因为，所以， 即，解得； （2）， 则， 当时，取得最小值. 17．（15分）在三角形ABC中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，的外接圆直径为，求的周长. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）借助向量垂直数量积为零结合余弦定理即可得解； （2）借助正弦定理计算可得，再利用余弦定理计算可得，即可得其周长. 【详解】（1）由，得， 整理得，所以由余弦定理，得，因为，所以； （2）由（1）根据正弦定理，得，解得， 由余弦定理，得，解得，所以的周长为. 18．（17分）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示求，再代入模的公式，即可求解； （2）首先根据两向量平行求，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）由，得，解得， ，则． （2）由题意， 又，，解得， 则，，， ， 即向量与的夹角的余弦值为． 19．（17分）在直角坐标系中，已知点，点在三角形ABC三边围成的区域（含边界）上， (1)若，求； (2)设，用表示，并求的最大值. 【答案】(1) (2)；1. 【分析】（1）因为，所以，即得，故求得； （2）因为，所以，即，两式相减得，令，点在三边围成的区域（含边界）上，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1. 【详解】（1）因为，所以， 即，所以. （2）因为，， 所以，即，两式相减得：， 令，由图可知，当直线过点时，取得最大值，，故的最大值为1. . 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高考数学一轮复习课时作业：平面向量 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.已知向量a=(-3,2),b=(m,-6),若a/6,则m=() A.-9 B.-4 C.4 D.9 D 2.如图，D是△ABC的边AC的中点，点E在BD上，且BE=2ED,则() A-号+名4C ®.亚-号丽+兮c B 31 C.A正-1B+24C D.AF-14B+1AC 3 3 3 3.已知平面向量a,五满足a=1,2),1b=1且a在6方向上的投影向量为2b,则ā与6夹角的余弦值大小为() A B c.⑤ 5 D. 2V5 5 4.P为等边三角形ABC所在平面内的一点，向量A亚=xAB+yAC,且1≤x≤2,1≤y≤2.设向量A亚与AB的夹角为 a,则cosa的最大值为() A.6 B.6 c.5万 4 D.2V万 14 7 5记向量ā三(2,3).B三(0D,设甲：向量a与向量a+5的夹角为锐角；乙：x>3,则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.等腰梯形ACD中，AB平行于CD,8=,CD=1,∠D4B-开，P为腰AD所在线段上任意一点，则元PB 的最小值是() y A.5 B.1 c.3 D.√2 2 7.如图所示，正方形ABCD的边长为1，点A,D分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动， 则OC.O.的最大值是() A.1 B.2 C.3 D.4 F D 8.如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD于点F,交BG于点E, 且EF⊥FG,若DF=2,DG=1,则AB的长为() A.10 9 B.2V5 p. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.设平面向量0.0丽的夹角为，若0网-1，p丽-2且0C=0+0丽，则《） A.当x+y=1时，AB,C三点共线 B.当x=3y三时，0c平分A0b C.当OC=1时，x+y的最大值为2 D.当Q网1时，约取独国为[名司 10.已知椭圆C:+y=1的左、右焦点分别是R,R,过坐标原点O的直线1与椭圆C交于PQ两点.则下列 4 说法正确的是() A,椭圆的短轴长为2 B.三角形PQE面积的最大值是1 C.,P.F,2的取值范围为[-1,2] D.以椭圆的长轴为直径的圆与以线段P为直径的圆内切 11.已知向量a,6满足a-2=万，d园==1，则() A.a与6的夹角为2弧 B.a与6的夹角为 6 c.2a-36=9 D.aL(a+2B) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.己知向量=(11)，万=(1，-1)，若（ā+）1(a+b)且1>0，则2-4的最小值为 13.已知函数f()=m(®x+9列A>0,0>04<号的部分图象如图所示，y=f)的图象与y轴交于点C,且 D(5,0),B(2,A),BC.CD=0,则f(4)= 14.已知平面向量a,万满足d=2=2,a在万上的投影向量为-16，则2a-= 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 1513分》E如时a(eos兰m)石-(e字m引且[引 D (1)求a5及a+b: (2)记f(x)=a.6-a+b,求函数y=f(x)的最小值. 16.(15分)已知向量a=(1,2),万=(-3,1). (1)若(a+b⊥(a-b),求k的值： (2)若teR,求a-tb的最小值. 17.(15分)在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a+b+c,-3b),n=(b+c-a,c), 且m⊥n: (1)求角A的大小： (Q若c=手，三角形ABC的外接圆直径为5，求△ABC的周长 18.(17分)已知向量a=(3,4),b=(1,x),c=(1,2). (1)若aL6,求的值； (2)若c/(ā-b),求向量a-2b与a的夹角的余弦值. 19.(17分)在直角坐标系xOy中，己知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在三角形ABC三边围成的区域（含边 界)上， (1)若PA+PB+PC=0,求O: (2)设OP=AB+nAC(,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.2026届高考数学一轮复习课时作业：平面向量 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.已知向量a=(-3,2),b=(m,-6),若a/b,则m=() A.-9 B.-4 C.4 D.9 【答案】D 【分析】根据向量平行的坐标表示可直接构造方程求得结果。 【详解】a/仍，.(-3)×(-6)=2m,解得：m=9.故选：D. 2.如图，D是△ABC的边AC的中点，点E在BD上，且BE=2ED,则() A正-+ 我-+ C.A亚=AB+24C D.A=1AB+1AC 3 3 3 3 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可。 【详解1由题高，4=B+B丽=A6号D=5+引财+4明亚引亚c号亚写亚放选：D 3.已知平面向量ā，b满足ā=Q,2),b=1且a在方向上的投影向量为2b,则a与石夹角的余弦值大小为() A月 B. 3 C. √5 D. 2√5 5 【答案】D 【分析】根据投影向量求得āb,进而求夹角余弦值 【详解1因为ā在6方向上的投影向量为26，所以因万 db25,所以a5=2,所以cosa6-a6=2=25 1+415 故选：D 4.P为等边三角形ABC所在平面内的一点，向量AP=xAB+yAC,且1≤x≤2,1≤y≤2.设向量A亚与AB的夹角为 a,则cosa的最大值为() A.6 B.V6 C.57 D. 2V5 4 3 14 > 【答案】C J 【分析】设等边三角形ABC的边长为1，建立平面直角坐标系，利用坐标法求出cosa,可得cos=1 结合二次函数的性质求出最值即可， 【详解】设等边三角形ABC的边长为1， 以A为原点，AB所在直线为x轴，以过点A且与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 3 所以A(0,0),B(10),C 13 22 所以AB=(1,0),4C 则AP=x10)+y 9+9 3 x+y x2+y+ 所以cosa&= 2 4 4 2 3 Vr++，则c0sa= x2+xv+y x+ ++1 4 3 「1 4一在22上单调递减。 3 所以h)=1- 4 上单调递增，所以cosa∈[125] 5 .故选：C 2+t+1 728,所以c0saam= 14 5.记向量a=(2),6=(01.设甲：向量a与向量i+6的夹角为锐角：乙：K>号，则甲是乙的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据向量夹角为锐角的条件求出甲成立时x的取值范围，再分析甲与乙之间的充分性和必要性关系. 【详解】：a=(2,3),b=(0,1),a+xb=(2,3)+x(0,1)=(2,3+x), 由向量a与向量a+x6的夹角为锐角，故（ā+xb)>0,且a与a+xb不共线， 所以aa+训)-2×2438+=4+03=13+3>0解得x>号 又a与a+b不共线，则可得2(3+x)≠2×3，解得x≠0. 放向量：与向量6的夹角为领角：可得x片且x÷0 故若x>-13且x≠0，则可得x>-13,即充分性成立： 3 3 反之，若x>-13 不出>13且x去0，即必要性不成立；故甲是乙的充分不必要条件 3 6.等腰梯形ACD中，AB平行于CD,AB=2,CD=1,∠D-子P为腰AD所在线段上任意一点，则元历 的最小值是() 3 A. B.1 C. 2 D.√ 【答案】C 【分析】作DD'垂直于AB于点DP,作CC'垂直于AB于点C',建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐 标计算出PC.PB的表达式，由二次函数的单调性即可求得答案. 【详解】 D D B衣 如图，作DD垂直于AB于点Dg,作CC垂直于AB于点C',又AB=2,CD=1,∠DAB= 则AD= 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则4〔0,0)，B(20),c3 D22又P为腰AD所在直线上任意一点， 则设AP=AD= 2 所以PcPB= 又关于1的二次函数y= 2产-22+3的对称轴为2=2，则y-号求-22+3在e0上单调递减。 2 所以当=1，即点P和点D重合时，元西取得最小值子敢元西的最小值是放击：C 7.如图所示，正方形ABCD的边长为1，点A,D分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC.OB的最大 值是() 0 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】取BC,AD的中点M,N,将OC.OB的表达式利用极化恒等式化简，再由三点共线可求出最大值 【详解】取BC的中点M,AD的中点N,连接MN,ON,如下图所示： 易知c+晒-0.所以oc06=(oM-ac)(of-)=0f-@-0WOM- 国为0M三ON+W4D:B}当且仅当Q,NM三点共线时等号收立.所以灭丽份装大值为2 故选：B 8.如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD于点F,交BG于点E,且EF⊥FG,若 DF=2,DG=1,则AB的长为（) 0 G C A.10 B.2V5 p 9 【答案】C 【分析】方法一，以A点为坐标原点建系，设AB=a,AD=b,根据EF⊥FG,点E,F在圆A上，利用向量列出 关于a,b的方程求解即可；方法二，过点E作ME上AD,垂足为M交BC于点N:过点A作AH⊥EF,垂足为H, H=时：x,根据am∠GBC=V-GC列出关于x的方程求解即可 BN BC 【详解】方法一：以A点为坐标原点，分别以AB、AD方向为x轴正方向、y轴正方向，建立平面直角坐标系， 设AB=a,AD=b,则A(0,0),B(a,0),D(0,b),C(a,b),F(0,b-2),G1,b), 圆A的方程x2+y2=d,则F(0,a,故a=b-2, 设BE=tBG=t1-ab)=t3-b,b),则E(3t-b+b-2,b),则FE=(3t-tb+b-2,tb-b+2）, 因AE=a,则(3t-b+b-2)+(b2=(b-2)2①， 因FG=(（1,2),则FG.FE=3t-tb+b-2+2tb-2b+4=3t+b-b+2=0, 会二号将共优人08号-会6-列-8号-o-明 即6-2（仙-2）=0，得6=2（合，此时a=0)或b-号则4=a=b-2-3 F E A B 方法二：因DF=2,DG=1,则在Rt△FDG中FG=√FD2+DG2=√22+F=5, FG 5C08-FGD=DG 则simn∠rGD=2-2W5 FG 5 因EF⊥FG,AD⊥DC,则∠FGD+∠GFD=∠AFE+∠GFD=90°， 则∠RGD=AFB,有in∠AB=25c0 5,cos∠4FE=V5 过点E作MB⊥AD,垂足为M交BC于点N;过点A作AH⊥EF,垂足为H, 4 M D G B W 易证四边形ABNM是矩形，则有MN=AB=AE=AF,则有FH=EH, AF=FH 设FH=EH=x,于是有 cos<A阳5V ，M=EF OAFE=25 5 ME=BFsn∠AE=45, EN-AF-MR-5 5x AM-AF-Mr=35 t, 在矩形ABCD中，有CG=AF-1=√5x-1,BC=AF+2=V5x+2, 5x 则tan∠GBC= C即，s EN GC V5.x-1 BN】 3V5.xV5.x+2 ,解得x=5.即AB=5x-3故选：C 2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.设平面向量010丽的夹角为受，若网-1,2且0c=01+0B.则（） B.当x=2y =3y=3时，0C平分∠40B 1 A.当x+y=1时，AB,C三点共线 3 C.当oC=1时，x+y的最大值为2 D.当OC=1时，y的取值范围为 117 -62 【答案】ABD 【分析】对于A,利用平面向量基本定理即得：对于B,先证4c-号正，得4B,C三点共线，过点C作CD1O1, 利用中位线定理和三角形相似推得CD=OD,即可证得：对于C,D,通过建系，设C(cosO,sn),将x,y分别用日 的三角函数表示，利用三角恒等变换将目标函数化成正弦型函数，结合正弦函数的单调性即可求得其范围或最值 【详解】对于A,当x+y=1时，OC=xOA+yOB=xOA+1-x)OB, 由平面向量基本定理，可得A,B,C三点共线，故A正确： 0 D B 对于B.如周，当x=号-时由0c-010,可得0c-丽-O丽-0. 2 3 即Ac-号丽，故4B.C三点共线，且AC=CB,过点C作CD10A,交0B于点D, 网-1.网2,2S阳-为沿-8g}收cn-0. 则∠DOC=∠DCO,由CD11OA可得∠AOC=∠DCO,则∠AOC=∠DOC,故OC平分∠AOB,即B正确： B A 对于C,如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则A1,0),B(2cos 2in学.即-1.因网-1，不结设ccom0. x-=COS0 由OC=xOA+yOB可得(cos6,sin)=(x0)+(-y5),故得 V3y=sime’ V x= sinθ+cos0 解得 23 ,故x+y= 3 ine+cos0= 3sin(0+p）, V= sin 3 其中tanp= 3,故x+y的最大值为2，故C错误： 3 -sin0+cos 0 对于D,根据C项建系，已得 3 3i6 y= 094-写9,9m6m89-1上s28. 39r 则w= 1 3 -sin 20= 2 63 因-1≤sm(20-爱s1,故得-6 1 1 117 6 y 2，即y的取值范围为 62 故D正确故选：ABD 10. 已知椭圆c:+=1的左、右焦点分别是R,R,过坐标原点0的直线1与椭圆C交于PQ两点.则下列 4 说法正确的是() A.椭圆的短轴长为2 B.三角形PQP,面积的最大值是1 C.EP.F,O的取值范围为[-1,2] D.以椭圆的长轴为直径的圆与以线段P?为直径的圆内切 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的几何性质，可得判定A正确：设P(x,y),得到S®s=2Ss,可判定B错误；由 Rp.0=F,O-DP=子P,根据1≤O≤2，可判定C正确：连接PR,取PR的中点M,连接oM,根据 椭圆的定义得OM=PR=a-PF,可判定D正确， 【详解】对于A中，由椭圆c于+y-1,可得a-2b=1,则c--F-5, 所以椭圆的短轴长为2b=2,所以A正确： 对于B中，设P(,y),可得(-5，-y),其中y≤1， 所以Se%=2Sas=2×OR,≤V5,所以aPOR最大面积为5，所以B错误 对于C中，由P=0+OP,F2=F,O+O9,且Op=-O0, P.FO-(Fo+op)(F0+00)-5o+op.00 -Fo"-Op"-3-p, 因为1≤0≤2，可得1≤D≤4，则-1≤3-0≤2， 所以E,P.F,Q的取值范围为[-1,2]，所以C正确： 对于D中，连接PR,取Pg的中点M,连接oM,且OM=Pr, 以长轴为直径的圆的圆心为O,半径为a,以PR为直径的圆的圆心为M,半径为P, 由椭圆的定义得oM=)P=(2a-|PRD=a-2P, 所以以椭圆的长轴为直径的圆与以线段PF为直径的圆内切，所以D正确.故选：ACD 11.已知向量a,5满足a-2=万，=团=1，则() A.云与方的夹角为否 B.a与6的夹角为 6 c.2a-3场=19 D.aL(@+2B) 【答案】ACD 【分析】根据向量的夹角计算公式、模长计算公式以及数量积的运算律，可计算并判断A,B,C,根据向量垂直的数 量积表示可计算并判断D. 【详解】对于AB,设a与方的夹角为6(0≤0≤元)，因为a-2=V万，所以(a-2乃)=a-4a.五+46=5-4a.万=7， 得a币=- ab 1 、,所以os03 26上2延，妆A正确B错误 3 对于c,2a-3=V2a-36=V4a+奶-12ai 4+9-12× √9，故C正确： 对于D,a.(a+2)=a+2a.i-1-1=0,故a1(a+2),故D正确.故选：AcD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.己知向量ā=(1,1)，b=(1,-1),若(a+)1(a+b)且>0，则2-4的最小值为 【答案】2 【分析】先求出ā+乃，ā+b的坐标，再根据(a+)L(a+b)得出u=-1,利用消元法结合基本不等式可求 【详解】由题意得，a+沥=(1+元，1-)，+b=(1+,1-), 因(a+b)1(a+b),则（ā+b)(a+b)=(+2)1+4+-)-4)=2(1+4)=0,则=-1， 因2>0，则2-u=2+号≥2，等号成立时2=1，故1-u的最小值为2.故答案为：2 13.已知函数/()=n(@x+A>0a>04号的部分图象如图所示，=了)的图象与y轴交于点C,且 D(5,0),B(2,A),BC.CD=0,则f(4)= 【答案】√10 【分析】根据B、D点横坐标可确定周期得出ω，再把D(5,O)代入可求p的值，利用BC.CD=0得到A即可求解 【详解1白题干图象可如子5-2-3，则T-12,所以@=产-名所以闲=4m（怎+， 4 南=4mg+9小-0.0p=2a-元，x,即9=君2a,e2 6 因为所以9=则)4[急+ 又0m则c0-(2引m-5分 c010手0，解行4=2而（负银舍去， 所以o)-2后- ,所以f(4)=1o. 故答案为：V10 14.已知平面向量a,6满足=2-2，a在6上的投影向量为-13，则2a-利- 【答案】3√2 【分析】根据投影狗量的公式可得a:五=-子计算模长可得结果 【详解】由腿意得，a在万上的投影向量为同 4 月-2响-2，月-1，a6=子pa-=a+6-4a6-6+1*7-35故答案为：35 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.1s分已知向最a-cwm到5-om到且xe引 (1)求ā5及a+b: 2)记f(x)=a-6-+b,求函数y=f(x)的最小值. 【答案】(1)a.b=cos2x,|a+b=2cosx; a- 【分析】(1)根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； ②根新0)中统果代入计算得间-a6与-6外2cox为多用根据=次适数性质即可得瑞答来 【详解】(1)由题意得a.万=cos3c0 -sin9 sin=cos 2x 2 2 2 则a+if-+5+2i-6-2+2a6-2+2cos2x=4csx,因为xe0引， 所以a+b=2cosx 2）f0=a5-h+=cm2x-2cosx=2s-2cax-12cmx-八} 因为c0引则os0小则当cax=方印：=号时，该数取狗最小值- 3 16.(15分)已知向量=(1,2)，i=(-3,1) (1)若（ā+b)⊥(a-b),求k的值： (2)若teR,求a-t拓的最小值 【容10-号 2)7ò 10 【分析】(1)先分别求出a+b,a-kb,得坐标，再根据向量垂直得坐标表示即可得解： (2)根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】(1)由=1,2)，b=(-3,1), 得a+i=（-2,3),a-kb=(1+3,2-k), 因为(a+b⊥(a-b,所以(a+)(a-b)=0, 即-20+3)+302-)=0，解得-号 (2)a-tb=(1+3t,2-t), 则a-b=V1+3)'+(2-t=M02+21+5, 当1=0时，台取得绿小值 10 17.(15分)在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a+b+c,-3b),n=(b+c-a,c), 且m⊥n. (1)求角A的大小 )若bc=4,△ABC的外接圆直径为V3,求△ABC的周 【答案】（①）A= 3 (2)4 【分析】(1)借助向量垂直数量积为零结合余弦定理即可得解： (2)借助正弦定理计算可得a,再利用余弦定理计算可得b+c,即可得其周长 【详解】(1)由m⊥n,得n=(a+b+c)(b+c-d)-3bc=0, 整理得+c-心=c,所以由余弦定理，得cA=+。-分：因为0<A<,所以4=子 2bc a元5，解得a产 (2)由(1)根据正弦定理，得sinA sin亚 3 得6+c-2bcc0sA=6+c-3c=6+c-4,解得b+c所以aABC的周长 4 18.(17分)已知向量=(3,4)，b=(1,x),c=(1,2). (1)若a1五，求的值； (2)若c∥(a-b),求向量a-2b与a的夹角的余弦值. 【答案】)4 25 【分析】(1)根据向量垂直的坐标表示求x,再代入模的公式，即可求解 (2)首先根据两向量平行求x,再代入向量夹角的余弦公式，即可求解。 【详解】0①)由a6,得3+4=0，解得=圣 6-》则=+(= 2026届高考数学一轮复习 课时作业：平面向量 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ） A． B． C． D． 3．已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（    ） A． B． C． D． 4．为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 7．如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　） A． B．2 C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．设平面向量的夹角为，若，且，则（    ） A．当时，三点共线 B．当时，平分 C．当时，的最大值为2 D．当时，的取值范围为 10．已知椭圆的左、右焦点分别是，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P、Q两点．则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的短轴长为2 B．三角形面积的最大值是1 C．的取值范围为 D．以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切 11．已知向量满足，，则（   ） A．与的夹角为 B．与的夹角为 C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知向量，，若且，则的最小值为 . 13．已知函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点C，且，，，则 ． 14．已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 16．（15分）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值. 17．（15分）在三角形ABC中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，三角形ABC的外接圆直径为，求的周长. 18．（17分）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的余弦值． 19．（17分）在直角坐标系中，已知点，点在三角形ABC三边围成的区域（含边界）上， (1)若，求； (2)设，用表示，并求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $