第07讲 图形的位似+用相似三角形解决问题（知识详解+2典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年苏科版数学九年级下册重难点讲义与测试

本初中数学讲义聚焦图形的位似及相似三角形应用，系统梳理位似多边形的定义、与相似的关系及性质，位似图形的画法，平面直角坐标系中的位似坐标规律，以及平行投影、中心投影的概念、性质与应用，构建从概念到变换再到实际应用的学习支架。 资料以“知识详解+典例分析+习题巩固”为框架，典例设置“举三反三”变式，结合测量纪念塔高度等真实情境问题，培养学生抽象能力、推理意识与模型意识。课中助力教师系统授课，课后通过分层习题帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

第07讲 图形的位似+用相似三角形解决问题 （知识详解+2典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：位似多边形 知识点02：位似图形的画法 知识点03：平面直角坐标系中的位似 知识点04：平行投影的概念和性质 知识点05：中心投影的概念和特征 典例分析 （举三反三） 考点1：位似作图与应用 考点2：平行投影和中心投影的简单应用 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（6） 【知识点01】位似多边形 1. 定义 如图6.6-1，两个多边形的顶点A与A'、B与B'、C与C'...... 所在的直线都经过同一点O，并且＝＝＝...... 像这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心. 2. 位似与相似的关系 (1)相似仅要求两个图形的形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点所在的直线相交于一点. (2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此,位似是相似的特殊情况. 3. 位似图形的性质 (1)位似图形每组对应顶点所在的直线必过位似中心. (2)位似图形任意一组对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比. (3)位似图形的对应边互相平行(或在同一条直线上)，且对应边之比等于相似比. (4)(拓展)若两个图形位似，则这两个图形必相似，其周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 【知识点02】位似图形的画法 画位似图形的步骤 (1)确定位似中心(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上或在某一个顶点处)； (2)分别连接位似中心和能代表原图的关键点，并延长； (3)根据相似比确定所画位似图形的关键点的位置； (4)顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形. 【知识点03】平面直角坐标系中的位似 1. 位似变换时对应点的坐标变化规律 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形 位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky) 或(－ kx，－ky). 2. 位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别 (1)位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变换是全等变换，而位似变换是相似变换. (2)在平面直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋转或位似变换，其对应点的坐标都有各自的变化规律： ①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离； ②在轴对称变换中，以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴，则对应点的纵 坐标相等，横坐标互为相反数； ③在旋转变换中，一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都分别互为相反数； ④在位似变换中，当以原点为位似中心时，变换后与变换前两个图形对应点的横坐标之比的绝对值、纵坐标之比的绝 对值都等于变换后的图形与变换前的图形的相似比. 【知识点04】平行投影的概念和性质 1. 概念 在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行 投影. 2. 性质 在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例．即在太阳光的照射下，甲物高、甲影长、乙物高、乙影长满足比例式：＝． 3. 应用 如图6.7-1，测量不能直接到达顶部的物体的高度，在有太阳光的前提下，通常将参照物体及其影子、被测物体及其影子构造相似三角形模型，利用“相似三角形对应边成比例”的性质解决. 【知识点05】中心投影的概念和特征 1. 概念 在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心 投影． 2. 特征 一般地，在点光源的照射下，同一个物体在不同的位置，它的物高与影长不成比例． 3. 应用 中心投影的对应点所在的直线都经过一点，这一点就是点光源的位置，如图6.7-3 所示，点A就是点光 源的位置. 根据△ABD∽△MCD，得＝， 根据△ABF∽△NEF，得＝， 当MC＝NE时，则有＝. 【题型一】位似作图与应用 【典例1-1】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）在中，已知点，，以原点O为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点A的对应点的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质计算，判断即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，与位似，相似比为，即把缩小，点A的坐标为， ∴点A的对称点的坐标为或，即或， 故选：D． 【典例1-2】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若，点B的坐标是，则点E的纵坐标是 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念得到，得到，进而求出，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ， ， ， 与的相似比为， ∵点B的坐标是， 点E的坐标是，即， 点E的纵坐标是8． 故答案为：8. 【典例1-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A，B，C都是格点（小方格的顶点叫格点），其中，，． (1)用无刻度直尺找出的外心M；（保留画图痕迹，不写画法） (2)点M的坐标是 ，外接圆的半径长是 ； (3)以点M为位似中心，在网格中把按相似比2:1缩小，得．（注：点D，E，F的对应点分别为点A，B，C．） 【答案】(1)图见详解； (2)；； (3)图见详解． 【分析】本题考查垂直平分线的作图以及勾股定理以及位似三角形的作图，熟练掌握相关作图的方法是解题的关键． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点M，则点M即为所求； （2）由图可得点M的坐标；利用勾股定理求出的长，即为外接圆的半径长； （3）根据位似的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点M， 则点M即为所求， （2）由图可得，点M的坐标为， 由勾股定理得，， ∴外接圆的半径长是， 故答案为：；； （3）如上图，和均满足题意． 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，与是位似图形，点是位似中心，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方，位似图形是相似图形的一种特殊情况，根据与是位似图形，且位似比是，可知，再根据即可求出． 【详解】解：∵ 与是位似图形， ， ∵， ， ∵， ， ． 故选： C． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图， 在平面直角坐标系中， 点A、B、P的坐标分别为． 若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形外接圆，熟知点C在圆P上是解题的关键． 如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，在圆上的格点即为所求． 【详解】解：如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆， 在圆上的格点有，，， ∵P是的外心，即点C在圆P上，且点C在第一象限， ∴点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，网格中最小的正方形边长为个单位．现作如下操作：在方格中建立直角坐标系，以原点为位似中心作的位似图形，使得顶点的对应点为、． (1)作出符合要求的直角坐标系并标注原点； (2)作出的位似图形； (3)只用无刻度直尺，作出的外心，标记为点； (4)的外接圆的半径为______． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 (4) 【分析】（）接相交于点，以点为原点建立平面直角坐标系即可； （）根据位似图形的性质画图即可； （）分别作线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求； （）先找出的圆心位置，进而根据图形求出半径即可； 本题考查了平面直角坐标系，画位似图形，三角形的外接圆，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示： （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求； （4）解：分别作线段的垂直平分线，相交于点，则点为外接圆的圆心， 由图可得，， ∴的外接圆的半径为， 故答案为：． 【题型二】平行投影和中心投影的简单应用 【典例2-1】（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，小树在路灯的照射下形成投影．若树高，树影，路灯的高度为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 【典例2-2】（21-22九年级上·江苏徐州·期末）阳光下，某学习小组测得0.8m高的竹竿在操场上的影长为0.6m，若同一时刻操场上旗杆的影长为9m，则旗杆的高度为 m． 【答案】12 【分析】利用平行投影中，两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，故可求出旗杆的高度． 【详解】解：设旗杆的高度为hm 由题意可知：      ∴ 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行投影，关键是理解：同一时刻，两个物体的两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，利用相似性质即可求出h． 【典例2-3】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在路灯下，甲的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯M在线段上．    (1)请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段． (2)如果灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离，请求出乙影子的长度． 【答案】(1)见解析 (2)1米 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）连接进而延长交于点，再连接并延长交于点，得出进而得出答案； （2）证明，根据相似三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：路灯,即为所求；    （2）， ， ， ∵灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离， ， 解得： ∴乙影子的长度为． 【变式2-1】（24-25九年级下·江苏南京·期中）小华拿着一块正方形木板在阳光下做投影验，这块正方形木板在地面上形成的投影不可能是（    ） A．等腰梯形 B．矩形 C．平行四边形 D．线段 【答案】A 【分析】可确定正方形木板与地面平行且与光线垂直时所成的投影为矩形；当正方形木板与光线方向平行且与地面垂直时所成的投影为一条线段；除以上两种情况正方形在地面上所形成的投影均为平行四边形，所以正方形木板在地面上形成的投影不可能是梯形． 考查了平行投影的知识，太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行． 【详解】解：将正方形木板立起与地面垂直放置时，形成的影子为线段； 将正方形木板与地面平行放置时，形成的影子为矩形； 将正方形木板倾斜放置形成的影子为平行四边形； 由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，梯形两底不相等，得到投影不可能是等腰梯形． 故选：A． 【变式2-2】（22-23九年级上·江苏徐州·期末）如图，树在路灯的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，则树的高度长是 ． 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：树的高度AB长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧的惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为，如图，即，由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动： 太阳光下，塔身的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观测者的水平视线上．已知在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题． (1)求该时刻下，纪念塔塔高与其影长的数量关系； (2)求纪念塔塔高． 【答案】(1) (2)18米 【分析】本题考查了相似三角形的应用及矩形的性质和判定，解题的关键是通过平行光线构建相似三角形，结合相似三角形性质建立等量关系． （1）根据太阳光下，同一时刻，物体长度和其影长的比值相等得出，结合题干数据即可求解． （2）如图，令与的交点为，则四边形和是矩形，得出，，，设， 则，，表示出，证明，则，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 即， ． （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ∴，， ∴， 设， 则 ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 米， 答：纪念碑的高度为18米． 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）小王的身高是，他在阳光下的影长是，在同一时刻测得某棵树的影长为，则这棵树的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设这棵树的高度为，根据同一时刻物体的高度和物体的影长成比例建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这棵树的高度为，     ∵同一时刻，物高与影长成正比例， ∴， 解得， ∴设这棵树的高度为， 故选C． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，在异侧把扩大到原来的3倍，则点的对应点的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似的性质，解题的关键是正确理解位似的性质． 利用位似的性质进行求点的坐标即可． 【详解】解：根据位似的性质和关于原点对称的性质可得， ∵ ∴点关于原点对称点的坐标为， ∴ 故选：D． 3．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，把缩小后得到，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，，根据位似图形的概念解答即可． 【详解】解：由平面直角坐标系可知：，， ∴与的相似比为：， 故选B． 【点睛】本题考查的是位似变换，熟记位似图形对应边的比是位似比是解题的关键． 4．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，，O，A，C三点在同一直线上，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得和是位似图形，位似中心为原点，再由位似图形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵O，A，C三点在同一直线上， ∴和是位似图形，位似中心为原点， ∵， ∴点C的横纵坐标均等于点A的横纵坐标的3倍， ∵， ∴点C的坐标为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意得到和是位似图形是解题的关键． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∵与的面积比为， ∴与的相似比，即， ∴，即， 故选：B． 6．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，若与的相似比为，且点A的坐标是，则它的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换中对应点坐标的变化规律，理解位似的概念，并熟记变化规律是解题关键． 根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原坐标乘以k或，即可求出答案． 【详解】解：由位似变换中对应点坐标的变化规律得：点的对应点的坐标是或，即点的坐标是或 故选：C． 二、填空题 7．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为 【答案】或/或 【分析】本题考查了位似图形，以及求位似中心，连接对应点，存在两种情况，第一：位似中心在两个图形的中间，第二：位似中心在第二象限，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离比，即可作答． 【详解】解：如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，轴， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， 则， ∴， 故， ∴， 即， 则， 此时位似中心为； 如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故， 由于点H在轴的负半轴上， 此时位似中心为； 综上：位似中心为或， 故答案为：或． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，和是位似图形，点O是位似中心，．若点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了位似变换，以及坐标与图形的性质，关键是掌握若位似比是k，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．据此求解即可． 【详解】解：∵和是位似图形，点O是位似中心，， ∴和的相似比是， ∵点A的坐标为，， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为18，则面积为 ． 【答案】// 【分析】此题考查了位似的性质、相似三角形的判定及性质，先求出，再根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 与位似， ， ， 的面积为18， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则和的面积之比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．根据位似图形的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， 设的面积为，设的面积为， 和是以点为位似中心的位似图形， ． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到．其中，B，D两点的坐标分别为，，则的值等于 ． 【答案】或1.5 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．根据信息，找到与的比值，即求得相似比；然后根据求解即可． 【详解】解：∵B，D两点的坐标分别为，， ∴，， ∴， ∵把放大后得到， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，根据位似变换的性质得到，证明，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∵ ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图所示， 在平面直角坐标系中， ，利用位似缩小；以原点O为位似中心，在第二、四象限分别画出与位似的三角形，使相似比为． 【答案】见解析 【分析】当在第二象限时，；当在第四象限时，，画图即可． 本题考查了位似作图，正确理解位似比的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，利用位似缩小；以原点O为位似中心，且相似比为． ∴当在第二象限时，；当在第四象限时，， 画图如下： 则和即为所求． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按要求用无刻度直尺完成下列作图． (1)以点O为位似中心，相似比为．将放大得到 (2)面积为 ； (3)若内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了画位似图形，求位似图形对应点坐标，熟知位似图形的相关知识是解题的关键． （1）根据位似比和位似图形的性质先找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）理由割补法求解即可； （3）根据相似比为，结合位似图形的位置只需要把M的横纵坐标都乘以2即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）面积； （3）解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，是内部一点，相似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位 长度，的顶点都在格点上． (1)以原点O 为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的2倍后的位似图形； (2)的面积是 ； (3)的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)14 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接，，并延长至，，，使得，，，顺次连接，，，则即为所求； （2）利用割补法求解即可； （3）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）如图，为所作； （2）的面积是； （3）∵和关于原点位似，位似比为 ∴，且相似比为 ∴，即 ∴． 16．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)以点O为位似中心，将按相似比为放大得到，与位于位似中心异侧； (2)点P在x轴上，且，则点P的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出，，关于原点O的位似坐标，，，顺次连接三点得出，即可解题； （2）设，则，， ，建立方程求解即可． 本题考查了位似变换作图，三角形的面积，坐标与图形，掌握位似变换的性质、正确作出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，，关于原点O的位似坐标分别是，，，画图如下： 则即为所求． （2）解：设， 则，， 由， 根据题意，得， 解得或， 故点或， 故答案为：或． 17．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）元宵节晚上，小王与爸爸妈妈看灯会，他想了解路边路灯的大致高度．具体做法如下：如图，先从路灯灯柱MN底部M向东走25步到A处，发现自己的影子端点落在B处，作标记后，继续沿刚才自己的影子走5步恰好到达点B处，此时影子的端点在C处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，且小王每步的间距相同．若小王的身高是，请帮他解决问题： (1)在图中画出路灯O和影子端点C的位置； (2)估计路灯的高，并求影长的步数． 【答案】(1)见解析 (2)，步 【分析】（1）根据中心投影的定义画出图形即可； （2）由得，代入数值可求出，由得，代入数值可求出的长． 【详解】（1）如图所示， （2）∵， ∴， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ∴步． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，中心投影，相似三角形的判定与性质的应用，解题的关键是掌握中心投影的性质． 18．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）为测量清江浦中学旗杆的高度，初三活动小组进行如下实验：如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，一部分在旗杆旁的演讲台上测得旗杆在地面上的影长为，演讲台墙面上的影长为，演讲台上的影长为；同一时刻，竖立于地面长的木杆的影长为，求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题考查投影问题，矩形的性质，延长交于点F，为段的影长，据此求出的长度，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F， 由题意可得四边形为矩形， ，， ， 即的影长为，∵竖立于地面长的木杆的影长为， ， ， ， 即旗杆的高度为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 图形的位似+用相似三角形解决问题 （知识详解+2典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：位似多边形 知识点02：位似图形的画法 知识点03：平面直角坐标系中的位似 知识点04：平行投影的概念和性质 知识点05：中心投影的概念和特征 典例分析 （举三反三） 考点1：位似作图与应用 考点2：平行投影和中心投影的简单应用 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（6） 【知识点01】位似多边形 1. 定义 如图6.6-1，两个多边形的顶点A与A'、B与B'、C与C'...... 所在的直线都经过同一点O，并且＝ ＝＝...... 像这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心. 2. 位似与相似的关系 (1)相似仅要求两个图形的形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点所在的直线相交于一点. (2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此,位似是相似的特殊情况. 3. 位似图形的性质 (1)位似图形每组对应顶点所在的直线必过位似中心. (2)位似图形任意一组对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比. (3)位似图形的对应边互相平行(或在同一条直线上)，且对应边之比等于相似比. (4)(拓展)若两个图形位似，则这两个图形必相似，其周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 【知识点02】位似图形的画法 画位似图形的步骤 (1)确定位似中心(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上或在某一个顶点处)； (2)分别连接位似中心和能代表原图的关键点，并延长； (3)根据相似比确定所画位似图形的关键点的位置； (4)顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形. 【知识点03】平面直角坐标系中的位似 1. 位似变换时对应点的坐标变化规律 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形 位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky) 或(－ kx，－ky). 2. 位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别 (1)位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变换是全等变换，而位似变换是相似变换. (2)在平面直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋转或位似变换，其对应点的坐标都有各自的变化规律： ①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离； ②在轴对称变换中，以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴，则对应点的纵 坐标相等，横坐标互为相反数； ③在旋转变换中，一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都分别互为相反数； ④在位似变换中，当以原点为位似中心时，变换后与变换前两个图形对应点的横坐标之比的绝对值、纵坐标之比的绝 对值都等于变换后的图形与变换前的图形的相似比. 【知识点04】平行投影的概念和性质 1. 概念 在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行 投影. 2. 性质 在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例．即在太阳光的照射下，甲物高、甲影 长、乙物高、乙影长满足比例式：＝． 3. 应用 如图6.7-1，测量不能直接到达顶部的物体的高度，在有太阳光的前提下，通常将参照物体及其影子、被 测物体及其影子构造相似三角形模型，利用“相似三角形对应边成比例”的性质解决. 【知识点05】中心投影的概念和特征 1. 概念 在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心 投影． 2. 特征 一般地，在点光源的照射下，同一个物体在不同的位置，它的物高与影长不成比例． 3. 应用 中心投影的对应点所在的直线都经过一点，这一点就是点光源的位置，如图6.7-3 所示，点A就是点光 源的位置. 根据△ABD∽△MCD，得＝， 根据△ABF∽△NEF，得＝， 当MC＝NE时，则有＝. 【题型一】位似作图与应用 【典例1-1】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）在中，已知点，，以原点O为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点A的对应点的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 【典例1-2】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若，点B的坐标是，则点E的纵坐标是 ． 【典例1-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A，B，C都是格点（小方格的顶点叫格点），其中，，． (1)用无刻度直尺找出的外心M；（保留画图痕迹，不写画法） (2)点M的坐标是 ，外接圆的半径长是 ； (3)以点M为位似中心，在网格中把按相似比2:1缩小，得．（注：点D，E，F的对应点分别为点A，B，C．） 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，与是位似图形，点是位似中心，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图， 在平面直角坐标系中， 点A、B、P的坐标分别为． 若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，网格中最小的正方形边长为个单位．现作如下操作：在方格中建立直角坐标系，以原点为位似中心作的位似图形，使得顶点的对应点为、． (1)作出符合要求的直角坐标系并标注原点； (2)作出的位似图形； (3)只用无刻度直尺，作出的外心，标记为点； (4)的外接圆的半径为______． 【题型二】平行投影和中心投影的简单应用 【典例2-1】（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，小树在路灯的照射下形成投影．若树高，树影，路灯的高度为，则为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（21-22九年级上·江苏徐州·期末）阳光下，某学习小组测得0.8m高的竹竿在操场上的影长为0.6m，若同一时刻操场上旗杆的影长为9m，则旗杆的高度为 m． 【典例2-3】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在路灯下，甲的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯M在线段上．    (1)请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段． (2)如果灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离，请求出乙影子的长度． 【变式2-1】（24-25九年级下·江苏南京·期中）小华拿着一块正方形木板在阳光下做投影验，这块正方形木板在地面上形成的投影不可能是（    ） A．等腰梯形 B．矩形 C．平行四边形 D．线段 【变式2-2】（22-23九年级上·江苏徐州·期末）如图，树在路灯的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，则树的高度长是 ． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧的惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为，如图，即，由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动： 太阳光下，塔身的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观测者的水平视线上．已知在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题． (1)求该时刻下，纪念塔塔高与其影长的数量关系； (2)求纪念塔塔高 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）小王的身高是，他在阳光下的影长是，在同一时刻测得某棵树的影长为，则这棵树的高度约为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，在异侧把扩大到原来的3倍，则点的对应点的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D． 3．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，把缩小后得到，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，，O，A，C三点在同一直线上，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　 　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，若与的相似比为，且点A的坐标是，则它的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 7．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，和是位似图形，点O是位似中心，．若点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为18，则面积为 ． 10．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则和的面积之比为 ． 11．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到．其中，B，D两点的坐标分别为，，则的值等于 ． 12．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积比是 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图所示， 在平面直角坐标系中， ，利用位似缩小；以原点O为位似中心，在第二、四象限分别画出与位似的三角形，使相似比为． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按要求用无刻度直尺完成下列作图． (1)以点O为位似中心，相似比为．将放大得到 (2)面积为 ； (3)若内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是 ． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位 长度，的顶点都在格点上． (1)以原点O 为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的2倍后的位似图形； (2)的面积是 ； (3)的面积是 ． 16．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)以点O为位似中心，将按相似比为放大得到，与位于位似中心异侧； (2)点P在x轴上，且，则点P的坐标为________． 17．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）元宵节晚上，小王与爸爸妈妈看灯会，他想了解路边路灯的大致高度．具体做法如下：如图，先从路灯灯柱MN底部M向东走25步到A处，发现自己的影子端点落在B处，作标记后，继续沿刚才自己的影子走5步恰好到达点B处，此时影子的端点在C处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，且小王每步的间距相同．若小王的身高是，请帮他解决问题： (1)在图中画出路灯O和影子端点C的位置； (2)估计路灯的高，并求影长的步数． 18．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）为测量清江浦中学旗杆的高度，初三活动小组进行如下实验：如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，一部分在旗杆旁的演讲台上测得旗杆在地面上的影长为，演讲台墙面上的影长为，演讲台上的影长为；同一时刻，竖立于地面长的木杆的影长为，求旗杆的高度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $