2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册练习卷2

2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册练习卷（人教A版）答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D A D C B C BC AC 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】根据投影求出点坐标，再求坐标即可. 【详解】因为点是点在平面内的射影， 所以,所以. 故选：A. 2．A 【分析】在直线上任取两个不重合的点，可得出直线的一个方向向量. 【详解】在直线上取点、， 故直线的一个方向向量为. 故选：A. 3．D 【分析】通过空间向量坐标运算计算，再代入空间向量数量积求解即可. 【详解】∵，， ∴ 故选：D 4．A 【分析】先根据双曲线的离心率公式求出的值，再利用双曲线渐近线方程的公式得出渐近线方程. 【详解】已知离心率，由离心率公式可得（这是因为，两边同时除以得到，再开方就得到）. 所以，平方可移项得到. 可得. 对于双曲线（，），其渐近线方程为. 已经求得，将其代入渐近线方程，可得渐近线方程为. 故选：A 5．D 【分析】根据直线和圆相切得出圆心到直线距离为半径得出参数. 【详解】圆的圆心为，半径为不为， 因为圆与直线相切， 则， 则. 故选：D. 6．C 【分析】求出抛物线的直线方程，根据准线与圆相切列方程求. 【详解】抛物线的准线方程为 ， 因为准线与圆相切， 圆的圆心坐标为，半径为， 所以，又， 所以. 故选：C． 7．B 【分析】联立抛物线与圆的方程求出坐标，利用建立方程求解即可. 【详解】设，联立，消y得， 由抛物线和圆都关于x轴对称，所以， 所以，所以，所以. 故选：B 8．C 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间四点共面的充要条件列方程求解的值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 又在四棱柱中，有， 且，所以，即， 所以，，，四点共面，所以，解得. 故选：C. 9．BC 【分析】对于选项A，根据椭圆标准方程的要求，即可判断； 对于选项B，椭圆的焦点在轴上，根据椭圆的定义即可判断； 对于选项C，先求出椭圆方程，再结合椭圆的定义和性质，即可求解的周长； 对于选项D，先求出椭圆方程，结合椭圆的定义和性质，以及余弦定理，即可求解. 【详解】对于A选项，因为方程表示椭圆，所以且，故A错误； 对于B选项，椭圆的焦点在轴上，则，即， 又为椭圆上的点，根据椭圆定义，可得，故B正确； 对于C选项，若，则椭圆，焦点在轴上， 所以，，，所以，， 所以周长为，根据椭圆的定义及性质， 可得，，所以周长为，故C正确； 对于D选项，若，则椭圆，焦点在轴上， 所以，，，所以，， 根据椭圆的定义及性质，可得，， 又，在中，根据余弦定理可得， ， 即， 所以，解得， 所以的面积为，故D错误. 故选：BC 10．AC 【分析】根据空间向量坐标的定义，以及相关知识，即可判断选项. 【详解】A. 与点关于x轴对称的点的坐标为，故A正确； B. ，若，则与共线，所以不是空间向量的一组基底，故B错误； C. 在上的投影向量为，故C正确； D.因为，所以，所以或，故D错误. 故选：AC 11．BCD 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量逐项分析计算判断. 【详解】在边长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，由， 令，，， 则，， 对于A，，，不成立，A错误； 对于B，， 当且仅当时取等号，此时，B正确； 对于C，平面的法向量，，而平面，则平面，C正确； 对于D，平面的法向量，令直线与平面的夹角为， 由，得， 而，解得，此时， 因此存在使得与平面的夹角为，D正确. 故选：BCD 12． 【分析】设出直线的方程，利用待定系数法求出方程. 【详解】由直线与直线平行，设直线的方程为， 由直线经过点，得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为： 13．9 【分析】建立平面直角坐标系，根据已知条件求得椭圆方程，进而计算出镜子的高度. 【详解】如图，以椭圆的中心为原点，建立直角坐标系， 设椭圆的方程为，焦距为. 由，得， 所以椭圆的方程为. 当时，，得. 由图可知，镜子的高度为（）. 故答案为： 14． 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ， . 故答案为： 15．(1) (2). 【分析】（1）由三角形法则和中点公式求解. （2）由线线角的空间向量求法求解. 【详解】（1）因为是的中点， 所以. （2）如图，以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， ，.             因为， 所以直线与所成角的余弦值为. 16．(1)或 (2)或 【分析】（1）分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可； （2）由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的半径计算即可. 【详解】（1）由题意可知圆C：，即， 则圆心坐标，半径， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设l直线的方程为，即， 则，解得，所以l的方程为：，即. 综上所述，直线l的方程为或. （2）由（1）知，圆的圆心坐标，半径， 设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为， 所以，解得，圆的圆心为，半径为1， 则圆D的方程为， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆相离，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 因为直线l与圆D交于A，B两点，， 根据勾股定理可得， 即，解得或， 所以直线l的方程为或.    17．(1)证明见解析 (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）由底面ABCD为正方形，底面ABCD，先证明平面PAB，进而证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，设，由线面角的向量求法列方程解出即可； （ii）由点到平面的距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）因为底面ABCD，且底面ABCD，所以． 因为底面ABCD为正方形，所以， 又因为，且PA，平面PAB，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以． （2）如图，以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系Axyz， 则，，，，，． （ⅰ）设，则，． 易知平面PAB的一个法向量为， 设直线AF与平面PAB所成的角为θ，则，解得， 即． （ⅱ），，设平面AEF的法向量为， 则  取， 又，所以点M到平面AEF的距离为． 18．(1) (2)证明见解析 (3)、、、四点不能共圆，理由见解析 【分析】（1）求出、、的值，即可得出点的坐标； （2）由题可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，设点、，将该直线的方程与椭圆方程联立，由已知条件得出，结合韦达定理得出、所满足的关系式，化简直线的方程，即可求出直线所过定点的坐标； （3）求出线段、的中垂线的方程，将这两直线的方程联立，求出外心的横坐标，根据可得出结论. 【详解】（1）在椭圆中，，， 则，故. （2）若直线的斜率不存在，则点、重合，不合乎题意， 若直线的斜率为零，则该直线与轴重合，与题意矛盾， 故直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，设点、， 由，得， ， 由韦达定理可得，． 由，得， 又，故， 即， 则， 化简整理得，于是直线的方程为， 因此直线过点. （3）、、、四点不能共圆，事实上，总在的外接圆的内部．理由如下： 线段的垂直平分线方程为，即． 同理，线段的垂直平分线方程为． 联立上述两个方程，得的外心的横坐标为 ． 因，故， 所以，于是， 所以在的外接圆的内部，故、、、四点不能共圆. 19．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进而可求得、的值，由此可得出两曲线的方程； （2）利用点差法可求得曲线以点为中点的弦所在直线的方程，然后再将所求直线方程与曲线的方程联立，计算即可结论； （3）设，，利用椭圆和双曲线的定义可求出、的值，再利用余弦定理可求得的余弦值. 【详解】（1）设椭圆方程为，双曲线方程为，. 则，解得，，则，， 因此，椭圆方程为，双曲线方程为. （2）曲线以点为中点的弦的两端点分别为、， 则，， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为，这两个等式作差可得， 所以，，可得， 所以，直线的方程为，即， 检验：联立可得，则，合乎题意， 因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为. （3）不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点， 设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得， 所以，. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册练习卷（人教A版） 一、单选题 1．若点是点在平面内的射影，则（   ） A． B． C． D． 2．直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则（   ） A． B． C．1 D．5 4．若双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．若圆与直线相切，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为 A． B． C． D． 7．抛物线与圆交于、两点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．在四棱柱中，，分别在棱，上，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（   ） A．实数的取值范围是 B．若椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则周长为 D．若，则的面积为 10．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（    ） A．与点关于x轴对称的点的坐标为 B．若是空间向量的一组基底，且，则也是空间向量的一组基底 C．已知，，则在上的投影向量的坐标为 D．已知，平面的法向量为，则 11．如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在上，且，则下列命题正确的为（    ） A． B．当的长度最小时， C．平面 D．存在使得与平面的夹角为 三、填空题 12．已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 13．某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为的椭圆被一条橫线截去一小部分后剩下的图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为.底部的宽度为.则该镜子的高度为 . 14．若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，是的中点. (1)试用向量，，表示向量； (2)求直线与所成角的余弦值. 16．已知圆C：关于直线的对称圆的圆心为D，直线l过点． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l与圆D交于A，B两点，，求直线l的方程． 17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为PB的中点．(1)证明：． (2)点F在棱BC上，且直线AF与平面PAB所成角的正弦值为． （ⅰ）求线段BF的长； （ⅱ）M为PD的中点，求点M到平面AEF的距离． 18．如图，从椭圆上一点（异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点上，经轴反射，反射光线过椭圆上的另一点． (1)写出的坐标； (2)证明：直线过定点； (3)、、、四点能否共圆？请说明理由． 19．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为. (1)求这两条曲线的方程； (2)求曲线以点为中点的弦所在直线的方程； (3)若为两条曲线的交点，求的余弦值. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $