第07讲 投影（知识详解+4典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年浙教版数学九年级下册重难点讲义与测试

第07讲 投影（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：投影、投射线、投影面的概念 知识点02：平行投影 知识点03：中心投影 典例分析 （举三反三） 考点1：与平行投影有关的计算 考点2：在太阳光下物体影子的变化规律 考点3：确定中心投影点光源位置 考点4：与中心投影有关的计算 习题巩固 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 【知识点01】投影、投射线、投影面的概念 物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影.这时，光线叫做投射线，投影所在的平面叫做投影面. 示例 投影现象 【知识点02】平行投影 1. 平行投影的定义：由平行的投射线所形成的投影叫做平行投影. 2.线段、平面图形的平行投影： 线 段 当线段与投射线平行时，线段在投影面上的投影是一个点. 当线段与投射线、投影面均不平行时，线段在投影面上的投影长度与其本身长度不一定相等. 当线段与投影面平行时，线段在投影面上的投影长度与线段长度相等. 平 面 图 形 ___ 当平面图形所在平面与投射线平行时，平面图形的投影是一条线段. 当平面图形所在平面与投射线、投影面均不平行时，平面图形的投影与其本身不全等. 当平面图形所在平面与投影面平行时，平面图形的投影与其本身全等. 平行投影的特征 1 等高的物体垂直（或平行）于地面放置时,如图所示,在同一时刻的太阳光下,它们的影子长度相等. ②在同一时刻的太阳光下,同一地点、不同物体的高度与它们的影子长度成正比,即 . 2 同一地点的同一物体，在不同时刻的太阳光下，光线与地面的夹角越小，它的影子越长. 【知识点03】中心投影 1. 中心投影的定义：由同一点出发的投射线所形成的投影叫做中心投影 2.线段、平面图形的中心投影： 线段 平面图形 当线段 与投影面平行时， 的中心投影 把线段 放大了， ， . 当 所在的平面与投影面平行时， 的中心投影 把 放大了， 和 是位似图形. 中心投影的特征 （1）等高的物体垂直于地面放置时,如图（1）所示,在灯光的照射下,离点光源越近，物体的影子越短,离点光源越远，物体的影子越长. （2）等长的物体平行于地面放置时,如图（2）所示,在灯光的照射下,离点光源越近,物体的影子越长,离点光源越远,物体的影子越短,但不会比物体本身短. （3）形成中心投影的过程中,点光源、物体上的点以及影子上的对应点在同一条直线上,根据同一点光源下的两个不同物体及它们的影子,可以确定点光源所在的位置. 平行投影与中心投影的区别与联系 平行投影 中心投影 区 别 光源 太阳等 点光源（灯泡等） 投射线 投射线是平行的 投射线是从一点发出的，不是平行的 投影 同一时刻、同一地点，影子的长度与物体的高度成比例，所有物体的投影在同一方向. 影子的长度与物体的高度不一定成比例，不同物体的投影可能在同一方向，也可能在不同方向. 联 系 （1）都是物体在投射线下形成的投影； （2）若投射线一定，投影随着物体位置的变化而变化； （3）影子的长度与物体的高度（长度）有关； （4）当物体与投影面平行时，物体和投影的形状相同. 【题型一】与平行投影有关的计算 【典例1-1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）兴趣小组测量学校的旗杆，在阳光下，甲同学测得长1米的竹竿影长为米，同一时刻乙同学测量时发现旗杆的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，墙壁垂直地面，如图所示，落在墙上的影长为2米，，落在地面上的影长AB为9米，则旗杆的高度是（    ）米． A．8 B．12 C． D． 【典例1-2】（22-23九年级上·浙江金华·期末）已知同一时刻物体的高与影子的长成正比例．身高的小明的影子长为，这时测得一棵树的影长为，则这棵树的高为 ． 【典例1-3】（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得 (1)求点O，M之间的距离． (2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度． 【变式1-1】（24-25九年级下·浙江温州）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（21-22九年级下·浙江温州·阶段练习）图1是一款摆臂遮阳蓬的实物图，图2是其侧面示意图，点A，O为墙壁上的固定点，摆臂OB绕点O旋转过程中，遮阳蓬AB可自由伸缩，蓬面始终保持平整．如图2，米，光线l与水平地面的夹角为，此时身高为1米的小朋友（米）站在遮阳蓬下距离墙角1.2米（米）处，刚好不被阳光照射到，此时小朋友的头顶M距离遮阳蓬的竖直高度（MP）为 米；同一时刻下，旋转摆臂OB，点B的对应点恰好位于小朋友头顶M的正上方，当小朋友后退至刚好不被阳光照射到时，其头顶距离遮阳蓬的竖直高度为 米． 【变式1-3】已知如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻在太阳光下的投影．    (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影． (2)在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为，计算的长． 【题型二】在太阳光下物体影子的变化规律 【典例2-1】如图，这是小红在一天中四个不同时刻看到的同一棵树的影子的图，下列选项是将它们按时间先后顺序进行排列，其中正确的是（   ） A．①②③④ B．④②①③ C．④①②③ D．①③④② 【典例2-2】如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（    ） A． B． C． D． 【典例2-3】下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（    ） A．④③②① B．③④①② C．②④③① D．①②③④ 【变式2-1】在一个充满阳光的上午，文亮同学拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，他摆动矩形木板，观察投影的变化，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（    ） A．B．C． D． 【变式2-2】下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排序正确的是（    ）    A．①②③④ B．②①④③ C．③④①② D．③①④② 【变式2-3】如图是一幢建筑物和一根旗杆在一天中四个不同时刻的影子．将四幅图按先后顺序排列应为 ． 【题型三】确定中心投影点光源位置 【典例3-1】如图，路灯下，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在处有一棵大树，它的影子是，在图中画出表示大树高的线段． 【典例3-2】三根垂直地面的木杆甲、乙、丙，在路灯下乙、丙的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出甲的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 【典例3-3】如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH.    （1）填空：判断此光源下形成的投影是： 投影. （2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子. 【变式3-1】三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源P的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 【变式3-2】两根立柱及其在路灯下的影子如图所示． (1)在图中画出路灯的位置，并用点P表示； (2)画出旗杆在该路灯下的影子． 【变式3-3】如图是两棵小树在同一个路灯下的影子． (1)请画出光线及路灯灯泡的位置； (2)在适当位置画出路灯杆． 【题型四】与中心投影有关的计算 【典例4-1】如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是．若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为米，在距地面米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为，，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是 ． 【典例4-3】（20-21九年级上·浙江杭州·期末）小明想利用所学的知识来求出树的高度．如图，他观察到小树AB在路灯C的照射下形成投影BE．若根据灯杆的指示牌已知路灯的高度米，测得树影米，树与路灯的水平距离米，则树高AB为多少？ 【变式4-1】如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进3米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高米，他若继续往前走6米到达D处，此时影子长为（   ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【变式4-2】如图是三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子，现测得，这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是 ．    【变式4-3】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影． 如图，河对岸有一灯杆， 在灯光下，小明在点 D 处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长 ． 已知小明的身高为 ，求灯杆的高度． 一、单选题 1．如图是小红在某天四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是（    ） A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．②①③④ 2．中午12点，身高为的小冰的影长为，同学小雪此时在同一地点的影长为，那么小雪的身高为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图所示的是某公园中的两个物体，一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序可排列为 （填序号）． 5．三角板在点光源O的照射下形成投影，三角板的顶点A与其投影的对应点B的位置如图，经测量，且三角板的面积为，则其投影的面积为 ． 6．露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为 ． 三、解答题 7．如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱形成的影子分别为与． (1)通过作图判断此光源下形成的投影是中心投影还是平行投影： (2)作出立柱在此光源下所形成的影子． 8．如图，是公园的一圆形桌面的主视图，表示该桌面在路灯下的影子；则表示一个圆形凳子的主视图． (1)请你在图中标出路灯O的位置，并画出的影子（不用写作法，保留画图痕迹，光线用虚线表示，影子用实线表示）； (2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为，测得影子长为，求路灯O到地面的距离． 9．小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2)已知小军的身高为米，求建筑物的高． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 投影（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：投影、投射线、投影面的概念 知识点02：平行投影 知识点03：中心投影 典例分析 （举三反三） 考点1：与平行投影有关的计算 考点2：在太阳光下物体影子的变化规律 考点3：确定中心投影点光源位置 考点4：与中心投影有关的计算 习题巩固 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 【知识点01】投影、投射线、投影面的概念 物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影.这时，光线叫做投射线，投影所在的平面叫做投影面. 示例 投影现象 【知识点02】平行投影 1. 平行投影的定义：由平行的投射线所形成的投影叫做平行投影. 2.线段、平面图形的平行投影： 线 段 当线段与投射线平行时，线段在投影面上的投影是一个点. 当线段与投射线、投影面均不平行时，线段在投影面上的投影长度与其本身长度不一定相等. 当线段与投影面平行时，线段在投影面上的投影长度与线段长度相等. 平 面 图 形 ___ 当平面图形所在平面与投射线平行时，平面图形的投影是一条线段. 当平面图形所在平面与投射线、投影面均不平行时，平面图形的投影与其本身不全等. 当平面图形所在平面与投影面平行时，平面图形的投影与其本身全等. 平行投影的特征 1 等高的物体垂直（或平行）于地面放置时,如图所示,在同一时刻的太阳光下,它们的影子长度相等. ②在同一时刻的太阳光下,同一地点、不同物体的高度与它们的影子长度成正比,即 . 2 同一地点的同一物体，在不同时刻的太阳光下，光线与地面的夹角越小，它的影子越长. 【知识点03】中心投影 1. 中心投影的定义：由同一点出发的投射线所形成的投影叫做中心投影 2.线段、平面图形的中心投影： 线段 平面图形 当线段 与投影面平行时， 的中心投影 把线段 放大了， ， . 当 所在的平面与投影面平行时， 的中心投影 把 放大了， 和 是位似图形. 中心投影的特征 （1）等高的物体垂直于地面放置时,如图（1）所示,在灯光的照射下,离点光源越近，物体的影子越短,离点光源越远，物体的影子越长. （2）等长的物体平行于地面放置时,如图（2）所示,在灯光的照射下,离点光源越近,物体的影子越长,离点光源越远,物体的影子越短,但不会比物体本身短. （3）形成中心投影的过程中,点光源、物体上的点以及影子上的对应点在同一条直线上,根据同一点光源下的两个不同物体及它们的影子,可以确定点光源所在的位置. 平行投影与中心投影的区别与联系 平行投影 中心投影 区 别 光源 太阳等 点光源（灯泡等） 投射线 投射线是平行的 投射线是从一点发出的，不是平行的 投影 同一时刻、同一地点，影子的长度与物体的高度成比例，所有物体的投影在同一方向. 影子的长度与物体的高度不一定成比例，不同物体的投影可能在同一方向，也可能在不同方向. 联 系 （1）都是物体在投射线下形成的投影； （2）若投射线一定，投影随着物体位置的变化而变化； （3）影子的长度与物体的高度（长度）有关； （4）当物体与投影面平行时，物体和投影的形状相同. 【题型一】与平行投影有关的计算 【典例1-1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）兴趣小组测量学校的旗杆，在阳光下，甲同学测得长1米的竹竿影长为米，同一时刻乙同学测量时发现旗杆的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，墙壁垂直地面，如图所示，落在墙上的影长为2米，，落在地面上的影长AB为9米，则旗杆的高度是（    ）米． A．8 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的应用．由题意可知在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．经过旗杆在教学楼上的影子的顶端作旗杆的垂线和经过旗杆顶的太阳光线以及旗杆所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到旗杆的顶端的高度，再加上墙上的影高就是旗杆高． 【详解】解：设从墙上的影子的顶端到旗杆的顶端的垂直高度是x米． 则有， 解得． 旗杆高是（米）． 故选：A． 【典例1-2】（22-23九年级上·浙江金华·期末）已知同一时刻物体的高与影子的长成正比例．身高的小明的影子长为，这时测得一棵树的影长为，则这棵树的高为 ． 【答案】 【分析】根据同一时刻物体的高与影子的长成正比例，列出比例式，即可求解． 【详解】解：设这棵树的高为，依题意得， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意列出比例式是解题的关键 【典例1-3】（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得 (1)求点O，M之间的距离． (2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点O作、的平行线，交于H，根据平行线分线段成比例得出点H是的中点，得出，再由正切函数求解即可； （2）过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得，利用相似三角形的判定和性质得出，确定四边形是平行四边形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图，过点O作、的平行线，交于H， 由题意可知，点O是的中点， ∵， ∴， ∴点H是的中点， ∵， ∴， ∴， 又∵由题意可知： ∴， ∴， 解得， ∴点O、M之间的距离等于； （2）过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得， ∵， ∴， ∵由题意可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴叶片外端离地面的最大高度等于． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例和相似三角形的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式1-1】（24-25九年级下·浙江温州）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ∵， ， 与的位似比为， ， ， 故选：D． 【变式1-2】（21-22九年级下·浙江温州·阶段练习）图1是一款摆臂遮阳蓬的实物图，图2是其侧面示意图，点A，O为墙壁上的固定点，摆臂OB绕点O旋转过程中，遮阳蓬AB可自由伸缩，蓬面始终保持平整．如图2，米，光线l与水平地面的夹角为，此时身高为1米的小朋友（米）站在遮阳蓬下距离墙角1.2米（米）处，刚好不被阳光照射到，此时小朋友的头顶M距离遮阳蓬的竖直高度（MP）为 米；同一时刻下，旋转摆臂OB，点B的对应点恰好位于小朋友头顶M的正上方，当小朋友后退至刚好不被阳光照射到时，其头顶距离遮阳蓬的竖直高度为 米． 【答案】 0.2 1.1 【分析】设MN交OB于点C，根据题意得：OC=QN=1.2米，PC⊥OB，∠CBN=，可得tan∠CBN=3，再由△AOB为等腰直角三角形，可得△PBC为等腰直角三角形，可得到PC=BC=0.3米，从而得到CN=3BC=0.9米，进而得到PM=0.2米；然后过点B′作B′F⊥AQ于点F，设小朋友后退至点D，刚好不被阳光照射到，过点D作DE⊥OB交A B′于点E，交B′F于点G，则B′D∥l，根据题意得：B′F=QN=1.2米，FQ=DG，O B′=1.5米，OQ=CN=0.9米，，根据勾股定理可得OF=0.9米，从而得到AF=OA-OF=0.6米，DG=FQ=1.8米，进而得到，再由，可得B′G=0.6米，从而得到EG=0.3米，即可求解． 【详解】解：设MN交OB于点C， 根据题意得：OC=QN=1.2米，PC⊥OB，∠CBN=， ∴tan∠CBN=3， ∴BC=OB-OC=0.3米， ∵∠AOB=90°，OA=OB， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴∠PBC=45°， ∴△PBC为等腰直角三角形， ∴PC=BC=0.3米， ∵tan∠CBN=3， ∴CN=3BC=0.9米， ∵MN=1米， ∴CM=0.1米， ∴PM=0.2米； 如图，过点B′作B′F⊥AQ于点F，设小朋友后退至点D，刚好不被阳光照射到，过点D作DE⊥OB交A B′于点E，交B′F于点G，则B′D∥l， 根据题意得：B′F=QN=1.2米，FQ=DG，O B′=1.5米，OQ=CN=0.9米，， ∴米， ∴AF=OA-OF=0.6米，DG=FQ=1.8米， ∴， ∵， ∴B′G=0.6米， ∴EG=0.3米， ∴DE=2.1米， ∴头顶距离遮阳蓬的竖直高度为2.1-1=1.1米． 故答案为：0.2，1.1 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 【变式1-3】已知如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻在太阳光下的投影．    (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影． (2)在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为，计算的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）根据平行投影的性质可先连接，再过点作交地面与点，即为所求； （2）根据平行的性质可知，利用相似三角形对应边成比例即可求出的长． 【详解】（1）解：在阳光下的投影是如图所示；    （2）在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为， ， ，，， ， ， ， 答：的长为． 【点睛】本题通过投影的知识结合图形相似的性质巧妙地求出点D离地面的距离，是平行投影性质在实际生活中的应用． 【题型二】在太阳光下物体影子的变化规律 【典例2-1】如图，这是小红在一天中四个不同时刻看到的同一棵树的影子的图，下列选项是将它们按时间先后顺序进行排列，其中正确的是（   ） A．①②③④ B．④②①③ C．④①②③ D．①③④② 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影的特点和规律，在不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长，据此即可判断求解，掌握平行投影的特点和规律是解题的关键． 【详解】解：∵就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长， ∴影子的图按时间先后顺序进行排列为④②①③， 故选：． 【典例2-2】如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东． 【详解】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低高低．影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长短长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键． 【典例2-3】下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（    ） A．④③②① B．③④①② C．②④③① D．①②③④ 【答案】D 【分析】太阳从东边升起，西边落下，则建筑物的影子先向西，再向北偏西、北偏东，最后向东，于是根据此变换规律可对各选项进行判断． 【详解】解：按时间先后顺序排列为①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． 【变式2-1】在一个充满阳光的上午，文亮同学拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，他摆动矩形木板，观察投影的变化，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行作答即可． 【详解】将矩形木板立起与地面垂直放置时，形成B选项的影子； 将矩形木板立起与地面平行放置时，形成C选项的影子； 将矩形木板倾斜放置时，形成D选项的影子； 在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，所以矩形木板在地面上形成的投影不可能是梯形， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行投影，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2-2】下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排序正确的是（    ）    A．①②③④ B．②①④③ C．③④①② D．③①④② 【答案】C 【分析】本题考查平行投影，熟知太阳光是平行光线是解题的关键． 阳光可以看作平行光线，据此即可解答． 【详解】解：太阳从东边升起，西边落下， 所以先后顺序为：③④①②． 故选：C． 【变式2-3】如图是一幢建筑物和一根旗杆在一天中四个不同时刻的影子．将四幅图按先后顺序排列应为 ． 【答案】④①③② 【分析】根据影子变化规律可知道时间的先后顺序． 【详解】解：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 则四幅图按先后顺序排列应是④①③②． 故答案为④①③②． 【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 【题型三】确定中心投影点光源位置 【典例3-1】如图，路灯下，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在处有一棵大树，它的影子是，在图中画出表示大树高的线段． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中心投影，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．根据中心投影的特点可知，连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源，所以分别把和的顶端和影子的顶端连接并延长可交于一点，即点光源的位置，从而可确定大树高的线段． 【详解】解：如图所示，线段即为所求． 【典例3-2】三根垂直地面的木杆甲、乙、丙，在路灯下乙、丙的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出甲的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】分别作过乙，丙的头的顶端和相应的影子的顶端的直线得到的交点就是点光源所在处，连接点光源和甲的头的顶端并延长交平面于一点，这点到甲的脚端的距离是就是甲的影长． 解： ． 【典例3-3】如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH.    （1）填空：判断此光源下形成的投影是： 投影. （2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子. 【答案】（1）中心；（2）如图，线段FI为此光源下所形成的影子. 见解析 【分析】（1）根据中心投影的定义“由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影”即可得； （2）如图（见解析），先通过AB、CD的影子确认光源O的位置，再作立柱EF在光源O下的投影即可. 【详解】（1）由中心投影的定义得：此光线下形成的投影是：中心投影 故答案为：中心； （2）如图，连接GA、HC，并延长相交于点O，则点O就是光源，再连接OE，并延长与地面相交，交点为I，则FI为立柱EF在此光源下所形成的影子.    【点睛】本题考查了中心投影的定义，根据已知立柱的影子确认光源的位置是解题关键 【变式3-1】三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源P的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 【答案】见解析 【分析】本题考查中心投影的作图，解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．过影子顶端与竹竿顶端作射线，交点P即为所求；连接光源P与影子顶端F，过E作垂直于地面的直线，与交于点M，即为所求． 【详解】解：如图，点P为光源的位置，线段是影子为的竹竿． 【变式3-2】两根立柱及其在路灯下的影子如图所示． (1)在图中画出路灯的位置，并用点P表示； (2)画出旗杆在该路灯下的影子． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析． 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，中心投影，解题的关键是理解题意，掌握中心投影的性质． （1）分别连接、并延长，交于点，则点P即为所求； （2）连接并延长交地面于点，连接，则线段即为所求． 【详解】（1）解：（1）如图，分别连接、并延长，交于点，则点P即为所求． （2）解：如图，连接并延长交地面于点，连接，则线段即为所求． 【变式3-3】如图是两棵小树在同一个路灯下的影子． (1)请画出光线及路灯灯泡的位置； (2)在适当位置画出路灯杆． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了中心投影的作图，理解中心投影原理准确作图是解决问题的关键． （1）根据连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源，连接并延长，同理，如图所示，连接并延长，两条射线的交点就是路灯灯泡的位置； （2）延长、交于点，由（1）中确定的路灯灯泡位置，连接即可确定路灯杆位置． 【详解】（1）解：连接并延长，连接并延长，两条射线交于点，如图所示： 为光线；路灯灯泡为点O； （2）解：延长、交于点，连接，如图所示： 即为路灯杆． 【题型四】与中心投影有关的计算 【典例4-1】如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是．若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影，位似图形的性质，由中心投影可知与是位似图形，进而根据位似图形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由中心投影可知，与是位似图形， ∵， ∴与的位似比为， ∴， ∴， 故选：． 【典例4-2】如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为米，在距地面米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为，，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了中心投影，将中心投影问题转化为相似三角形问题是解题的关键．过点作轴于点，根据题意得：，，，由可得：，推出，求出，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点， 根据题意得：，，， ∵点的坐标为， ， ∵， ， ，即， 解得：， ， 点的坐标是， 故答案为：． 【典例4-3】（20-21九年级上·浙江杭州·期末）小明想利用所学的知识来求出树的高度．如图，他观察到小树AB在路灯C的照射下形成投影BE．若根据灯杆的指示牌已知路灯的高度米，测得树影米，树与路灯的水平距离米，则树高AB为多少？ 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵AB∥CD， ∴△EAB∽△ECD， ∴， ∴AB(米)． 答：树高AB为米． 【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式4-1】如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进3米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高米，他若继续往前走6米到达D处，此时影子长为（   ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】C 【分析】此题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度． 依据，即可得到，再依据，即可得到长． 【详解】解：， ， ，即， 解得， ， ， ，即， 解得． 故答案为：C． 【变式4-2】如图是三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子，现测得，这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是 ．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵三角尺与影子是相似三角形， ∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的面积的比是， 故答案为：． 【变式4-3】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影． 如图，河对岸有一灯杆， 在灯光下，小明在点 D 处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长 ． 已知小明的身高为 ，求灯杆的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据相似三角形的判定与性质分别得出比例式，进而得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：由题意，可知：，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 把代入， 解得：． 一、单选题 1．如图是小红在某天四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是（    ） A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．②①③④ 【答案】B 【分析】根据平行投影中影子的变化规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短再变长． 【详解】解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．可知先后顺序是④③①②． 故选：B． 【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 2．中午12点，身高为的小冰的影长为，同学小雪此时在同一地点的影长为，那么小雪的身高为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度．设小雪的身高为，根据在同一时刻物高与影长的比相等得到，然后根据比例性质求x即可．通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 【详解】设小雪的身高为，根据题意得 ， 解得． 所以小雪的身高为． 故选A． 3．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据中心投影性质得与是相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是， ， 与相似比是， ， ∵的面积为， ， 故选：C． 二、填空题 4．如图所示的是某公园中的两个物体，一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序可排列为 （填序号）． 【答案】④③②① 【分析】由于太阳从东方升起，在西边落下，则早上物体的影子向西，傍晚物体的影子向东，利用此情形可根据四个影子判断时间的顺序． 【详解】解：按照时间的先后顺序排列正确的是（4）、（3）、（2）、（1）． 故答案为：（4）、（3）、（2）、（1）． 【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． 5．三角板在点光源O的照射下形成投影，三角板的顶点A与其投影的对应点B的位置如图，经测量，且三角板的面积为，则其投影的面积为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，易得三角板与它的投影成相似图形，再根据面积比等于相似比的平方，进行列式作答． 【详解】解：依题意，三角板与它的投影成相似图形 ∵，三角板的面积为 ∴三角板的面积∶其投影的面积 即其投影的面积为 故答案为：50 6．露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为 ． 【答案】3 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影．关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 相似三角形的对应边成比例得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：由题意得：， ， ， （m）． 故答案为：3． 三、解答题 7．如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱形成的影子分别为与． (1)通过作图判断此光源下形成的投影是中心投影还是平行投影： (2)作出立柱在此光源下所形成的影子． 【答案】(1)图见解析，是中心投影 (2)见解析 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据在同一时刻同一光源下立柱形成的影子为与，连接并延长交于点，据此判断即可； （2）连接并延长交直线于，于是得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，光线相交于点， ∴此光源下形成的投影是中心投影， ∴应该是中心投影； （2）解：如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子． 8．如图，是公园的一圆形桌面的主视图，表示该桌面在路灯下的影子；则表示一个圆形凳子的主视图． (1)请你在图中标出路灯O的位置，并画出的影子（不用写作法，保留画图痕迹，光线用虚线表示，影子用实线表示）； (2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为，测得影子长为，求路灯O到地面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的实际运用，中心投影的知识，解决本题的关键是作出相应的辅助线． （1）延长，它们的交点即为路灯O的位置，然后再连接，并延长交地面与P、Q点，则为的影子； （2）作交于E，如图，，证明，利用相似比计算出即可得到路灯O与地面的距离． 【详解】（1）解：点O如图所示； 如图所示； （2）解：作于点F，交于点E， 则． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 答：路灯O到地面的距离为． 9．小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2)已知小军的身高为米，求建筑物的高． 【答案】(1)①平行；②； (2)建筑物的高为15米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用-平行投影问题． （1）①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影； ②太阳光是平行光线，则； （2）证明，根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】（1）解：①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影． 故答案为：平行； ②太阳光是平行光线，则． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴建筑物的高为15米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $