第二十五章 概率初步单元测试题2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

第二十五章 概率初步 单元测试题 一、单选题 1．从一个装有4个红球、3个蓝球、2个白球和1个黑球的不透明袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（   ） A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球 2．实验学校在进行防溺水安全教育活动中，将以下几种在游泳时的注意事项写在纸条上并折好，内容分别是：①不私自下水游泳；②不擅自与他人结伴游泳；③不在无家长或老师带队的情况下游泳；④到不熟悉的水域游泳；⑤选择水流湍急的水域游泳；⑥不到无安全设施、无救护人员的水域游泳．胖妹从这6张纸条中随机抽出一张，抽到内容描述正确的纸条的概率是（    ） A． B． C． D． 3．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是 4．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．经过有交通信号灯的路口，刚好遇到绿灯 B．在黑板上任意画两条直线，它们恰好平行 C．在黑板上任意画一个四边形，其内角和为 D．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，全都正面朝上 5．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，高明辉随机出的是“剪刀” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上 D．用2、3、4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数 6．某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（    ） A． B． C． D． 7．某校公众号的二维码如图，若它的面积为，在该二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则二维码中黑色区域的面积约为（   ）      A． B． C． D． 8．小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被5整除的数 D．转动转盘后，出现3的倍数 9．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 A．0.400 B．0.410 C．0.413 D．0.423 10．甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是 ． 12．<世上只有妈妈好>是台湾电影《妈妈，再爱我一次》的主题歌，这首歌曲充满了对母亲的深情厚爱，根据简谱中的音节，音节出现的概率是 ． 13．在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近 ．（精确到） 14．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 15．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有 棵． 三、解答题 16．在学完九年级统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（，，，），并绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)将条形统计图补充完整，并回答问题：小明一共抽样调查了___________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为___________； (2)若该校九年级有800人，请你估算该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生人数； (3)组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 17．为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数／分 80 85 90 95 人数／人 4 2 10 4 根据图形信息，解答下列问题： (1)求获奖学生的总人数，并补全条形统计图； (2)获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______分，众数是______分； (3)若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 18．“作学习的主人，作生活的能手”，在成都七中一年一度的学生生活技能活动中，全体学生参加包粽子的体验活动．随机调查了部分学生，对他们每个人包粽子的平均时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长t（单位：分钟） 人数 所占百分比 A 4 x B C D 根据图表信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生总人数为______，表中x的值为______； (2)该校共有名学生，请你估计等级为B的学生人数； (3)本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 19．某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 8.0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 20．随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 (1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； (2)表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； (3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十五章 概率初步 单元测试题2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D C B D C D B C 1．D 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，通过计算每种颜色球的概率，比较大小，概率最小的事件发生可能性最小． 【详解】∵从一个装有4个红球、3个蓝球、2个白球和1个黑球的不透明袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同）， ∴摸出红球的概率为， 摸出蓝球的概率为， 摸出白球的概率为， 摸出黑球的概率为， 又∵， ∴ 摸出黑球的概率最小，即发生可能性最小． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了求概率． 找出正确的纸条，根据概率公式计算即可． 【详解】解：正确的纸条有①不私自下水游泳；②不擅自与他人结伴游泳；③不在无家长或老师带队的情况下游泳；⑥不到无安全设施、无救护人员的水域游泳． ∵总纸条数为6张，正确纸条有4张， ∴抽到内容描述正确的纸条的概率． 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； 故选：D． 4．C 【分析】本题考查必然事件和随机事件的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件。选项A、B、D均为随机事件，不一定发生；选项C中，四边形的内角和恒为，是必然事件，据此判定即可． 【详解】解：四边形的内角和总是（根据多边形内角和定理），则任意画一个四边形，其内角和一定为，故选项C是必然事件， 选项A、B、D均可能发生也可能不发生，不是必然事件， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识点，解题的关键在于从折线图读取稳定频率，观察折线在大次数试验后稳定在哪个数值附近；图中最后频率大约在到之间，即约，再去比对选项即可． 【详解】选项A、“石头、剪刀、布”，出“剪刀”的概率，与题意不符； 选项B 、掷骰子点数为6的概率，与题意相符； 选项C 、两枚硬币都正面朝上的概率，与题意不符； 选项D 、用2、3、4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数，末位为或时是偶数，可能情况：末位时前两位排列有种，末位时也有种，总共4种；所有三位数有种，概率，与题意不符． 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了几何概率，依据阴影部分的圆心角与整个圆的圆周角的比值解答即可得解． 【详解】解：∵阴影部分占36°， ∴阴影部分占整个圆面积的：， ∴该顾客获奖的概率为． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式．掌握在大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题关键．由题意可知点落在黑色区域的概率为，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：二维码中黑色区域的面积约为． 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查了利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【详解】解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为0.4，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为0.5，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为0.2，不符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有3种，故概率为0.3，符合题意． 9．B 【分析】本题考查了频率估计概率，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 根据表中数据显示，随着抽测学生数增加，近视学生数与n的比值在0.410附近波动，且多数值接近0.410，因此最合理的估计是0.410． 【详解】解;∵ 随着累计抽测学生数n增大，近视学生数与n的比值逐渐稳定在0.410附近， ∴ 该区初中生近视的概率的估计最合理的是0.410． 故选：B． 10．C 【分析】本题考查了列举法求概率，根据题意一一列举即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：三轮比赛结果 甲 乙 甲得分 三轮比赛后，甲能得分的概率是， 故选：． 11．2 【分析】本题考查了概率的计算公式，根据概率公式构建方程求解即可． 【详解】解：设袋中白球的个数为x，则总球数为，根据题意得方程： ， 解得： 故袋中白球的个数是2， 故答案为：2． 12． 【分析】本题考查了概率公式求概率，根据概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：简谱中的音节有：，，，，，，，，共8个，有3个， ∴音节出现的概率是 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了从图像获取信息． 根据概率曲线图作答即可． 【详解】解：由概率曲线图可知，40人时对应的概率为． 故答案为：． 14．3 【分析】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比． 先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的． 【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． 15．1600 【分析】本题考查折线统计图，频率估计概率，利用样本的概率估计总体数量，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据图形可以发现，频率在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∴这种树苗移植2000棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：1600． 16．(1)补全条形统计图见解析，40， (2)280名 (3) 【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图、画树状图法求概率等知识点，不重不漏地画出树状图是解题的关键． （1）用B组的人数除以所占百分比即可求出调查的人数，求出D组人数所占百分比再乘以即可得到D组的扇形圆心角的度数；再求出C组人数，然后补全条形统计图即可； （3）用800乘以睡眠时长大于等于9小时所占百分比即可解答； （4）分别用A、B、C、D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数以及恰好选中1名男生和1名女生的情况数，再运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（名） 所以，小明一共抽样调查了40名同学； D组的扇形圆心角的度数为：； C组人数为：（名）． 补全条形统计图如下： 故答案为：40，． （2）解：（名）， 所以，该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生有280名． （3）解：用A和B表示男生，用C和D表示女生，画树状图如下， 因为共有12种等可能的情况数，其中抽到1名男生和1名女生的有8种， 所以抽到1名男生和1名女生的概率是：． 17．(1)200人，统计图见解析 (2)90，90 (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数和众数，列表法或画树状图法求概率． （1）用“祖冲之奖”的学生的人数除以其所占的百分比，可得获奖学生的总人数，从而求出获得“秦九韶奖”和“刘徽”奖的人数即可求解； （2）根据中位数，众数的定义，即可求解； （3）根据题意，画出树状图，可得共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，恰好是甲和乙的有2种可能，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：本次获奖人数有：（人）， 则获得“秦九韶奖”的人数有（人）． 则 “刘徽”奖的人数为（人）， 补全条形统计图如解图所示： （2） 解：根据题意得：把获得“祖冲之奖”的学生成绩从小到大排列后，位于正中间的两个数均为90分，且90分出现的次数最多， ∴获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分，众数是90分； 故答案为：90，90； （3）解：树状图如图所示， ∵从四人中随机抽取两人共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，恰好是甲和乙的有2种可能，分别是（甲，乙），（乙，甲）． ∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是． 18．(1)， (2)人 (3) 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，条形统计图和扇形统计图信息关联，列表法或树状图法求概率等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据等级的人数与所占比例求出本次调查的学生总人数，再根据等级的人数求出； （2）该校共有的学生数乘以等级所占比例即可； （3）先画出树状图，再分别求得符合条件的种数与所有情况数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：∵的有8人，占， ∴本次调查的学生总人数为人， ∵的有4人，占， ∴， 解得：， 故答案为：，； （2）该校共有名学生， 估计等级为B的学生人数为人； （3）画树状图如图， 共12种情况，其中抽到一名男生和一名女生的有8种， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 19．(1)， (2)    【分析】（1）根据平均数、中位数的定义和计算方法进行计算即可； （2）①利用样本估计总体即可；②先画出树状图，展示从人中任选人所有等可能的结果，再找出调查结果一致为“非常满意”的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是： （分）， 将抽取的初中部的20名学生的评分从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分）， 表中的m值为， 故答案为：，； （2）解：①（人）， 若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数约为人； ②从小明、小强、小琪人中任意选择人，所有等可能出现的结果如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中调查结果一致为“非常满意”的结果有种， 调查结果一致为“非常满意”的概率． 【点睛】本题主要考查了求平均数，求中位数，频数分布直方图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握平均数、中位数、频数分布直方图的概念及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 20．(1)，见解析 (2)， (3) 【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，计算甲快递公司在配送速度为9的人数可补全频数直方图，利用圆心角计算公式计算即可． （2）根据中位数与方差的定义即可求解； （3）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法，方差、中位数，直方图．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析和求概率． 【详解】（1）解：根据频数之和等于样本容量， 得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人） 补全频数直方图如下： 根据题意，得． （2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8， 故中位数， 故答案为：． 根据题意，得 ． 得 ． ， 故答案为：． （3）解：画树状图如下： 由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果， ∴三家种植户选择同一快递公司的概率为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $