4.2.2指数函数教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦指数函数的概念、图象及性质，通过折纸实验导入，引导学生写出页数与对折次数的关系式，衔接函数基本性质与指数运算知识，搭建具体函数学习的支架。 以数形结合为核心，用几何画板动态演示图象生成，从特殊函数归纳性质，结合小试牛刀巩固概念，渗透德育。培养数学眼光与思维，提升学生观察归纳能力，助力教师突破重难点，分层作业兼顾学生差异。

4.2.2指数函数及其性质 教案 一、教学目标 知识与技能目标： 理解指数函数的概念，能用描点法画出指数函数的图象，并能通过图象探索指数函数的性质，且能应用其性质（单调性，底数变化图象的变化规律，中介值）比较数的大小。 过程与方法目标： 体会从特殊到一般再到特殊的研究方法，培养观察、猜想、归纳，概括的能力。从数和形两方面理解指数函数的性质，体会数形结合的数学思想方法，提高思维的灵活性，培养直观严谨的思维品质。 情感、态度与价值观目标： 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学习数学的兴趣，努力培养创新意识，同时由指数函数的性质渗透德育思想，体现数学来源于生活又服务于生活。 二、学情分析 通过前一阶段的教学，学生对函数和图象的认识已有了一定的认知结构，主要体现在三个层面： 知识层面：学生已初步掌握了函数的基本性质和简单的指数运算技能。 能力层面：学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数图象的方法，通过第一章集合与函数的概念后初步具备了数形结合的思想。 情感层面：学生对数学新内容的学习有很大的兴趣和积极性。但探究问题的能力还有待提高。 三、教学重点难点 教学重点：指数函数的图象和性质。 教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质。 四、教学方法 采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过几何画板演示，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性。 五、教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 （一）创设情景，引入新课 探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念 折纸实验：将一张白纸连续对折， （1）写出对折后的页（层）数与对折次数的关系式；. （2）设这页纸的面积单位是1，则对折后每页纸的面积与对折次数的关系是什么？. 问题1：这两个关系式与是否构成函数？它们有何共同的特征？ 答：构成函数。函数解析式都是指数形式，底数为定值且自变量在指数位置。 问题2：这两个关系式是我们之前学过的某一函数吗？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 答：不是。自变量在指数位置，应该叫做指数函数。 学生思考回答问题1，2。并且回答函数的特征。 通过折纸实验，让学生感到好奇，提高学生的学习兴趣、参与数学课堂的积极性和主动性。 （二）形成概念，获得新知 定义：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 在本定义中要注意的要点: （1）形式：即前面的系数为1，是一个正常数。 （2）自变量：在指数位置 （3）底数的取值范围：， （4）定义域： 【小试牛刀】指出下列函数哪些是指数函数： （1）；（×） （2）；（×） （3）；（√） （4）； （√） 思考：为什么要规定底数呢. 因为当时，若，则恒为0；若≤0，则无意义. 而当时，不一定有意义，例如，时，显然没有意义. 若时，恒为1，没有研究的必要. 因此，为了避免上述情况，我们规定.注意：此解释只要能说明即可，不必深化，也可视学生情况决定是否向同学解释. 老师引导学生从定义中找到关键信息，以及定义的注意要点。 老师引导学生根据四个方面考虑，这样可以分散难点，起到突破难点的效果。 设计小试牛刀，是为了让学生及时巩固指数函数的定义，使学生对概念的理解更加深刻。 （三）探索归纳，总结性质 探究任务二：指数函数的图象和性质 问题3：指数函数是我们在学习了函数基本概念和性质之后的接触到的第一个具体函数，而且我们已经得到了它的解析式，那还应该用什么方法去探索它的哪些性质呢？ 答：（1）研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质． （2）研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值等等． 问题4：怎样才能得到指数函数图象？作图方法是什么？ 描点法：列表，描点，连线． 1．作图：画出下列函数图象（几何画板动态演示作图过程） ， 2．几何画板演示多个的图象 问题5：通过图象，你能“读出”我们想要研究的这些性质吗？ 答：都过点；在轴上方，说明值域是；从左向右，呈上升（下降）趋势，说明是增（减）函数。 3．根据图象归纳：指数函数的性质 通过观察图象特征，指数函数的图象和性质归纳总结如下： 图 象 定义域 值域 性质 （1）过定点，即当时， （2）在上是减函数 （2）在上是增函数 学生回答问题3，4，并且清楚下一步的学习方向。 学生列表，计算，描点作图。 教师用几何画板动画演示。 教师深入到学生中参与讨论，并及时指导部分学生的探索过程。这样教师能及时发现学生作图过程中存在的问题，以便及时纠正。在巡视过程中，教师将各组中具有代表性的成果收集上来，展现学生探究的成果，让学生体验成功的喜悦。 教师引导学生观察指数函数的图象，归纳出图象的特征，同时加以完善。 学生从特殊点，图象的升降等方面观察指数函数的图象，归纳出图象的特征。 设计问题3，4，是因为学生在这之前已经较系统地学习了研究函数的常用方法及主要研究的内容。因此，这让学生很自然地去探索指数函数的图象和性质。 （四）学以致用，巩固新知 例：比较下列各题中两个值的大小: （1） （2） （3） 解：（1）解法一（函数单调性）：∵和的底数， ∴函数在上是增函数，且，∴。 解法二（图象法）： （2）解法一(函数单调性)：∵和的底数，∴函数在上是减函数，且，∴。 解法二： （3）中间值法：根据指数函数的性质得： ，，所以。 课堂练习：（1）下列函数中一定是指数函数的是（） （2）已知，，，则的大小关系是 学生回答解法一。教师重点讲解解法二，利用图象解决问题方便快捷，让学生体会到数形结合方法的实用性。生：（1）解法一（函数单调性）：∵和的底数，∴函数在上是增函数，且，∴。 （2）解法一：∵和的底数， ∴函数在上是减函数，且，∴。 教师详细讲解数形结合的方法以及第（3）题。 学生回答问题课堂练习（1）,（2） 设计例1，是为了让学生应用指数函数的单调性来解题，其中（1）（2）是性质的直接应用，而（3）应借助中间量（常用0或1）进行比较，培养学生的发散思维能力。同时数形结合的数学思想方法的讲解让学生体会其中的快捷性，实用性。 通过课堂练习，对所学知识加以及时的巩固，也可以进一步深化对概念、性质的理解。 （五）归纳总结，强化思想 1.本节课学习了哪些知识? 指数函数的定义，指数函数的图象及性质。 2.如何记忆函数的性质? 数形结合的方法进行记忆。 3.记住两个基本图形: 4.数学思想方法：数形结合。 学生先自我反思，教师点评完善。 通过学生归纳总结，可以培养学生学后反思的习惯及归纳总结的能力。 （六）课后作业，巩固提高 必做：课本59页 A组第7题 选做：课本59页 A组第8题 教师布置作业，体现分层教学。 课后作业是对课堂学习的延伸与拓展。因学生的基础不同，能力也有差异，所以我设计了两种不同程度要求的题目。 德育渗透 函数， ， 积跬步以致千里，积怠惰以至深渊。 , 只比你努力一点的人，其实已经甩你很远。 教师由指数函数引出至理名言。 将德育教育在本节课无痕的渗透进去。对学生震撼很大，胜过对学生德育教育的“千言万语”，让学生深刻的感受到点滴的努力且能长期坚持，其发展是“前途无量”的。 4 学科网（北京）股份有限公司 $