3.3.1抛物线及其标准方程教案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该教案聚焦抛物线的定义及四种标准方程，通过“身边抛物线”情景导入结合折纸游戏实验，类比椭圆、双曲线建系方法推导方程，搭建从具体现象到抽象概念的学习支架。 特色在于“做中学”的探究设计，折纸实验让学生动手感知定义形成过程，几何画板动态演示强化轨迹认知，体现数学眼光与思维，小组互动与分层练习提升参与度，助力学生发展抽象能力与创新意识，教师使用时可操作性强，有效突破重难点。

3.3.1 抛物线及其标准方程 一、教学目标 1、了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2、掌握抛物线的定义，学会求抛物线的标准方程. 二、教学重点、难点 重点： 对抛物线的定义的准确掌握，抛物线的四种形式的标准方程 难点： 抛物线定义的应用、求各种条件下的抛物线标准方程 三、学法与教学用具 1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标. 2、教学用具：多媒体设备等 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 我们身边有许多美丽的抛物线，你发现了吗？ 那么从数学的角度看抛物线是平面上满足什么条件的点形成的轨迹呢？ （2） 数学实验 1.折纸游戏： 1.取点：在准备的白纸上取一点F，在白纸边缘的线上取无数个点H1,H2,H3,H4,H5,H6… 2.做垂线：过,H1,H2,H3,H4,H5,H6…做边缘的垂线 3.对折：将H1与F点重合对折白纸得到折痕与过H1的垂线交于M1，依次重复以上步骤得到M1，M2，M3，M4，M5，M6，… 4.连线：将点M1，M2，M3，M4，M5，M6，…用光滑的曲线连起来，得到抛物线 问题：学生展示成果，发现有什么不同？ 2. 利用几何画板演示抛物线形成的连续过程 （3） 新知探究 1.抛物线的定义 问题：折纸中得到抛物线上动点M满足什么条件？ MF=MH 【抛物线定义】我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线（parabola），点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线. 思考：当F在直线l上时，动点的轨迹是什么？ 过F且与直线l垂直的直线 2.抛物线的标准方程 类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你能推出抛物线的标准方程吗？ 建系，设点，列式，化简，检验. 追问1：推导曲线的标准方程，首先要建立平面直角坐标系，回顾一下，推导椭圆和双曲线的标准方程是如何建系的？ 我们在前面的学习中，以椭圆和双曲线的对称轴所在直线为坐标轴，使焦点落在坐标轴上，并且焦点的坐标关于原点对称. 追问2：如何得出抛物线的方程？ 如图，设焦点与准线间的距离，那么焦点的坐标为，准线 的方程为. 根据定义中的动点到定点的距离与它到定直线的距离相等，我们把这句话用数学语言进行翻译. 设是抛物线上任意一点，根据两点间距离公式可得 设动点到定直线的距离为，由图可得. 所以. 将这个式子两边平方去根号，得. 展开上式中的平方式，得 整理，得. 从上面的推导过程可以知道，抛物线上任意一点的坐标都是方程的解，反之，以方程的解为坐标的点与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等，即以方程的解为坐标的点都在抛物线上. 我们把这个方程叫做抛物线的标准方程. 它表示焦点在轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线. 问题：选择不同的坐标系时，抛物线的标准方程又有哪些不同的形式呢？请大家观察图形，探究之后填写课本P131下表. 抛物线的标准方程 图形 焦点位置 轴的正半轴上 轴的负半轴上 轴的正半轴上 轴的负半轴上 标准方程 焦点坐标 准线方程 抛物线四种标准方程的特点： 1. 等号左边都是系数为1的二次项，右边是一次项. 2. 一次项定轴，系数正负定方向. 3. 的几何意义：它是焦点与准线的距离, 4. 一次项系数的.是焦点的非零常数 （四）新知应用 【例题研讨】阅读领悟课本例1（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.） 例1 （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程;  （2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程. 解：（1）由已知，，抛物线的焦点在轴正半轴上， 所以它的焦点坐标是，准线方程是. （2）因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且, 所以抛物线的标准方程是. （五）课堂练习 【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑. （六）归纳小结，回顾重点 今天你有什么收获? 1. 一个定义：抛物线的定义 2. 四个方程：抛物线的四个标准方程 3. 方法：待定系数法求抛物线的标准方程 （七）作业布置，精炼双基 1.完成课本习题3.3 1、2、3、4、7、8 2.预习3.3.2 抛物线的简单几何性质 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $