1.3 向量的数乘教学设计-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦向量的数乘运算及几何意义、共线向量定义及判定，通过“用尺子度量线段”类比“用向量度量向量”创设情境，结合作图（图1）引导学生发现数乘向量关系，搭建从向量基本概念到数乘运算的学习支架。 该资料以数形结合为特色，通过作图（图1、图2）培养学生几何直观（数学眼光），例题涵盖生活情境（例3张明上学路线）、定理证明（例4三点共线），用启发式教学引导小组讨论运算律证明，提升数学运算与推理能力（数学思维），为教师提供完整教学流程，助力学生理解向量代数与几何的桥梁作用。

向量的数乘 教学设计 【教学目标】 1.掌握数乘向量的运算及运算律，理解其几何意义； 2.理解并掌握共线向量定义及其判定方法，会根据共线向量定义判断两个向量是否共线； 3.通过作图教学，养成学生规范作图的习惯，体会数形结合的重要性；通过一题多解，体会向量在解题中的灵活运用，培养学生思维的灵活性，提高数学学习的兴趣。 【教学重点】 数乘向量的运算及运算律，共线向量定义。 【教学难点】 对数乘向量、共线向量定义的理解与应用。 【教学方法】 本节课采取启发式教学，注重知识的形成过程，紧扣向量的两要素分析数乘向量、共线向量的定义，注重数形结合，将向量是代数与几何的桥梁作用显现出来，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。 【教学手段】 借助三角板、投影仪、多媒体等工具辅助教学。 【核心素养】 通过图像分析提高学生直观想象能力，通过代数运算提高学生数学运算能力，通过几何与代数的转化培养学生数学抽象的能力。数学学科核心素养是在数学学习和应用的过程中逐步形成与发展的，作为教师，不应只停留在本节课的教学上，应更注重对教材整体，对学科知识宏观的把握，才能把提高学生的六个核心素养的目标在每节课上得到体现。 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 请大家拿出一把尺子，在笔记本上任意画出一条线段，那么我们就可以用这把尺子去度量任意画出的线段的长度，也就是每条线段的长度都可以写成这把尺子的非负实数倍。 思考1：如果把某个向量看成一把尺子，能用这把向量尺子去度量平面上的所有向量吗？如果不能，那它能度量平面内的哪些向量呢？ 已知非零向量，在线段OA的延长线上作. 问题1： ( )与有什么关系？ ( 图1 ) 二、归纳探索，形成概念 在上述作图过程中（记为图1），发现.很自然的将定义为的2倍，记为，同样的可以在图中作出的相反向量，，也可将定义的-2倍，记作. 问题2：、与什么关系？ 、的长度都是的2倍，与的方向相同，与的方向相反。 1.数乘向量的定义 一般地，实数与向量的乘积是一个向量，记作，称为的倍. 向量的长度和方向规定为： （1）；（2）当时，与方向相同；当时，与方向相反.当或时，. 求向量实数倍的运算称为向量的数乘. 思考2：有了向量数乘的代数表达，由上述作图过程，大家能说出其几何意义吗？ 2.向量数乘的几何意义 向量数乘的几何意义就是把向量沿着的方向或者的反方向放大或缩小到原来的倍. 问题3：的几何意义是什么？呢？呢？ 仿照图1的生成过程，在直线OA外任取一点O’，从点O’出发作，，记为图2. ( 图2 ) 由图1、图2可知，向量与可分别用同一条直线上的有向线段或相互平行的有向线段表示. 3.共线向量 当非零向量，方向相同或相反时，我们既称，共线，也称，平行，用符号“//”来表示，记作. 规定：零向量与任意向量平行。 共线向量定理：两个向量平行其中一个向量是另一个向量的实数倍，即存在实数，使得或. 4.单位向量 长度为1的向量称为单位向量. 对于任一非零向量，与它同方向的唯一单位向量. 思考3：能否从单位向量的角度将实数与共线向量建立一一对应关系？ 思考4：能否从向量的观点重新认识初中学过的数轴？ 5.数乘运算率 一般地，设，是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立： （1）对实数加法的分配律：. （2）对实数乘法的结合律：. （3）对向量加法的分配律：. 运算律（1）（2）中的向量可表示为，因此运算律（1）（2）均可直接由实数运算律，得出. 小组讨论：完成对运算律（3）的证明. 三、掌握证法，适当延展 以例题的方式完成对知识的理解与记忆. 例1 如图3，在中，M，N分别是OA，OB的中点.设，，试用，表示，，并比较与的长度和方向.（三角形中位线定理） ( 图3 ) 练习1 已知四边形ABCD中，，试判断四边形ABCD的形状. 例2 设A，B，C三点不共线，将下列几何语言用向量语言来描述：（图4） （1）四边形ABCD是梯形，其中AB，DC是梯形的两底； （2）M是BC的中点； （3）N在线段AM上，且|AN|:|NM|=2:1； ( 图4 )（4）P在线段MA的延长线上. 例3 如图5，在一条笔直的马路上，张明从家（点O）出发，往东走100m到公交站（点A）乘车，乘车往西行1.2km到达另一公交站（点B），下车后往东走200m到达学校. 不乘公交车，问张明从家走到学校应往什么方向走？走多远？ ( 图5 ) 例4 已知，，，求证：A，B，C三点共线.（利用共线向量定理证明三点共线） 练习2 已知与不共线，，，.求证：A，B，D三点共线. 例5 如图，中，AB边的中点为P，重心为G. 在外任取一点O，作向量，，，，. （1）试用，，表示； （2）试用，，表示. ( 图6 ) 涉及到向量问题的求解过程会根据向量选取方式的不同有多种求解方法，在教学过程中应注重鼓励学生一题多解，展示向量在解题中的灵活作用. 练习3 （1）已知，，求，与. （2）化简：. 四、归纳小结，提高认识 问题4：通过本节课大家都学到了什么？ 在知识方面了解了什么是数乘向量，共线向量定理以及用其完成相关证明，包括证明三点共线，两直线平行等；还有单位向量的定义，以及引入单位向量后我们可以用数值来表示向量，这将为平面向量的数量化奠定基础，同时这也为数乘向量运算律的证明提供了依据。 通过本节课的学习，我们认识到向量在代数与几何之间的桥梁作用，在学习了向量的坐标表示之后，大家会更加直接地体会到向量的重要作用。希望大家能够在课后认真的体会向量的重要意义，有兴趣的同学可以去查阅相关资料了解向量的来龙去脉。 第6页共7页 学科网（北京）股份有限公司 $