精品解析：福建省厦门市蔡塘学校2025--2026学年上学期九年级数学期中考卷

福建省厦门市蔡塘学校2025--2026学年上学期九年级数学期中考卷 注意事项： 1．本试卷满分150分． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共有8小题，每题4分，共32分．） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，二次函数有最小值3 B. 当时，二次函数有最大值3 C. 当时，二次函数有最小值 D. 当时，二次函数有最大值 4. 如图，弦交于点，连接．下列角中，所对圆周角的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 6. 有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人患了流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了个人，则表示（ ） A. 第一轮被传染的人数 B. 第一轮后共患流感人数 C. 第二轮被传染的人数 D. 第二轮后共患流感人数 7. 已知一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24，则较长直角边的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 7 D. 10 8. 已知二次函数，当时，该函数取最大值8.设该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为____________． 10. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则点的坐标是_____________． 11. 已知抛物线的对称轴为直线，则m的值是___________． 12. 如图，四边形内接于，则的大小是____________． 13. 一个二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是下降的，请写出一个符合条件的二次函数的解析式____________． 14. 如图，的直径，弦，，垂足为M，则的长为 _______． 15. 飞机着陆后滑行的距离关于滑行时间的函数解析式是，飞机着陆后滑行__________才能停下来． 16. 定义：若一元二次方程的两个根和的差的绝对值与一元二次方程的两个根与的差的绝对值相等，我们称这两个一元二次方程为“轴对称方程”．例如和，其中一个方程的解为，另一个方程解为，因为，所以和为“轴对称方程”． （1）若与为“轴对称方程”，则______________． （2）若与为“轴对称方程”，则的最小值______________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 用公式法解方程：． 18. 先化简、再求值：，其中． 19. 沛县某村民合作社2022年种植生姜100亩，2024年该合作社扩大了生姜的种植面积，共种植144亩． （1）求该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率． （2）假定该合作社种植生姜亩数的平均增长率保持不变，预计2025年底，该合作社种植生姜的亩数可否突破175亩？ 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：将绕点A顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，求的长． 21. 如图，是的直径，是的一条弦，且于点，连接，，． （1）当时，求的度数； （2）若，，求的半径． 22. 已知关于的一元二次方程，其中，b、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； 23. 综合与实践 【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用． 【实验过程】如图，一个静止的小球从斜坡顶端滚下后，在水平木板上做直线运动，当小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与t的函数图象、y与t的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与t的函数关系为一次函数关系，y与t的函数关系为二次函数关系． 【问题解决】 任务一：（1）请你结合表格数据，分别求出v与t的函数关系式和y与t的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） 任务二： （2）当小球在水平木板停下来时，求此时小球的滑行距离． （3）若小球到达木板点A处的同时，在点A的右方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 24. 如图1，E为正方形内一动点，且，将绕点B按顺时针旋转，得到，连接，延长交于点F，连接． （1）求证：； （2）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； （3）如图1，若，求的长． 25. 已知抛物线的顶点是P，且交x轴于，两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）过原点O的直线与抛物线交于C，D两点，其中点C在y轴的左侧． ①若直线的表达式为，求的面积； ②若C，E两点关于y轴对称，O，Q两点关于P对称，求证：D，E，Q三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门市蔡塘学校2025--2026学年上学期九年级数学期中考卷 注意事项： 1．本试卷满分150分． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共有8小题，每题4分，共32分．） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合，据此即可求解. 【详解】解：由中心对称图形的定义可知：D为中心对称图形，  故选：D ． 2. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 3. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，二次函数有最小值3 B. 当时，二次函数有最大值3 C. 当时，二次函数有最小值 D. 当时，二次函数有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的顶点式，判断开口方向和顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数为，其中， ∴抛物线开口向下，顶点为最大值点； ∵顶点坐标为 ， ∴当时，有最大值3． 故选：B． 4. 如图，弦交于点，连接．下列角中，所对圆周角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键． 根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：由图可知：所对圆周角的是或． 故选：C． 5. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′， ∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°， ∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°， 故选B． 6. 有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人患了流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了个人，则表示（ ） A. 第一轮被传染的人数 B. 第一轮后共患流感人数 C. 第二轮被传染的人数 D. 第二轮后共患流感人数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，由每轮传染中一人传染的人数，可得出经过一轮传染后有染上流感的人数． 【详解】解：∵在每轮的传染中平均一个人传染了m个人， ∴经过一轮传染后有人染上流感． 故选：B． 7. 已知一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24，则较长直角边的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设两条直角边分别为a和b（），根据条件列出方程，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：设较长直角边为a，较短直角边为b，（）， 由题意得：， ∴， ∵把a和b看作是一元二次方程的两个根， ∴解方程得：， ∵a是较长直角边， ∴； 故选：B． 8. 已知二次函数，当时，该函数取最大值8.设该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数与x轴的交点，求出横坐标，根据开口方向、以及列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】∵二次函数，当时，该函数取最大值8 ∴， 当y=0时， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键. 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解． 将带入原方程，得出关于的方程，求解即可． 【详解】解：将带入得：， 解得：， 故答案为：1． 10. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则点的坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，掌握关于原点对称点的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点中心对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． 11. 已知抛物线的对称轴为直线，则m的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的对称轴为直线求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， 故答案为：． 12. 如图，四边形内接于，则的大小是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，然后利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴． 故选：C． 13. 一个二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是下降的，请写出一个符合条件的二次函数的解析式____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点在轴正半轴可得对称轴为轴，即，且顶点纵坐标；根据对称轴左侧下降可得开口向上，即． 【详解】解：∵顶点在轴上， ∴对称轴为轴，即，得， ∴此时函数解析式为，顶点坐标为； ∵顶点在轴正半轴，故； ∵对称轴左侧部分下降，即当0时，函数值随增大而减小， ∴二次函数开口向上，即； ∴可取，得解析式； 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，的直径，弦，，垂足为M，则的长为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 连接，先根据的直径求出半径的长，再根据垂径定理求出的长，然后根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的直径， ∴， ∵弦， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为： 15. 飞机着陆后滑行的距离关于滑行时间的函数解析式是，飞机着陆后滑行__________才能停下来． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，飞机着陆后滑行，速度逐渐减小至零，当飞机速度为零时，飞机停下来，此时滑行的总距离达到最大值，据此把二次函数解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，S有最大值， ∴飞机着陆后滑行才能停下来， 故答案为：20． 16. 定义：若一元二次方程的两个根和的差的绝对值与一元二次方程的两个根与的差的绝对值相等，我们称这两个一元二次方程为“轴对称方程”．例如和，其中一个方程的解为，另一个方程解为，因为，所以和为“轴对称方程”． （1）若与为“轴对称方程”，则______________． （2）若与为“轴对称方程”，则的最小值______________． 【答案】 ①. 或 ②. 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．熟记相关结论即可．将“轴对称方程”的结论转化为，进一步得，即可求解； 【详解】解：（1）由方程得， 解得：； 设是方程的两个根，则， ∴， ∴； ∵， ∴，解得： 或 ； 故答案为： 或 ； （2）设和是方程的根，与是方程的根，则， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：； ∵， ∴，即； 故的最小值为； 故答案为：. 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 用公式法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法的运用．先求出值，判断符号，再利用求解即可． 【详解】解： ， ∴． 18. 先化简、再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算及化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 将代入，得： 原式． 19. 沛县某村民合作社2022年种植生姜100亩，2024年该合作社扩大了生姜的种植面积，共种植144亩． （1）求该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率． （2）假定该合作社种植生姜亩数的平均增长率保持不变，预计2025年底，该合作社种植生姜的亩数可否突破175亩？ 【答案】（1） （2）没有突破175亩 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为，根据增长率计算公式建立方程求解； （2）由2024年种植生姜数量（增长率）求解2025年种植生姜数量，再与175比较即可． 【小问1详解】 解：设该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为； 【小问2详解】 解：， 答：合作社种植生姜的亩数没有突破175亩． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：将绕点A顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，求的长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，长为半径画弧交于点，再以点为圆心，长为半径画弧与以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，即为所求； （2）根据勾股定理求出的长，再根据旋转的性质得出，，求出的长即可求解． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ∵中， ∴ ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 21. 如图，是的直径，是的一条弦，且于点，连接，，． （1）当时，求的度数； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据在同一个三角形中，等边对等角可得，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求出，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论； （2）根据垂径定理即可求出，然后设，则，再根据勾股定理列出方程即可求出结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的直径，，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即的半径为． 【点睛】此题考查的是圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、垂径定理和勾股定理，掌握同弧所对的圆周角相等、等边对等角、垂径定理和勾股定理是解决此题的关键． 22. 已知关于的一元二次方程，其中，b、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； 【答案】（1） 解：等腰三角形，理由如下： 把代入方程得：得 ， ∴ ∴ ∴ 是等腰三角形； （2） 证明：∵ 是直角三角形，c为斜边， ∴ ∴； ∵ ∵ ， ∴； ∴ 方程有两个相等的实数根； 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根据判别式判断一元二次方程根的情况，掌握相关结论即可； （1）把代入方程得：，推出，即可判断； （2）由题意得，推出，根据即可求证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 综合与实践 【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用． 【实验过程】如图，一个静止的小球从斜坡顶端滚下后，在水平木板上做直线运动，当小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与t的函数图象、y与t的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与t的函数关系为一次函数关系，y与t的函数关系为二次函数关系． 【问题解决】 任务一：（1）请你结合表格数据，分别求出v与t的函数关系式和y与t的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） 任务二： （2）当小球在水平木板停下来时，求此时小球的滑行距离． （3）若小球到达木板点A处的同时，在点A的右方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得速度为0时，，将代入二次函数解析式，即可求解； （3）求得小球速度为的时间，此时两者相遇则为的最小值，据此即可求解． 【详解】解：（1）设， 将点代入得，， 解得：， ； 设， 将点代入得，， 解得：， ∴； （2）在中，当时，， 解得：， 当时，， ∴当小球在水平木板上停下来时，此时小球的滑动距离为； （3）当时，， 解得：， 当时，， ． 24. 如图1，E为正方形内一动点，且，将绕点B按顺时针旋转，得到，连接，延长交于点F，连接． （1）求证：； （2）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； （3）如图1，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，. ∵绕点B按顺时针旋转，得到， ∴，， ∴，即. 在和中， ∵， ∴． （2） 解：线段与的数量关系是，理由如下： ∵， ∴． ∵延长交于点F， ∴． ∵绕点B按顺时针旋转，得到， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵四边形是正方形， ∴，. ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定证明即可； （2）先证明四边形是正方形，连接，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，证明即可； （3）过点D用于点G，根据全等三角形的性质，勾股定理，正方形的性质解答即可． 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点D用于点G， ∵，， ∴. 在中，，且， ∴， 解得或（舍去）， ∴. 由（2）可得， ∴，， ∴. ∵， ∴． 25. 已知抛物线的顶点是P，且交x轴于，两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）过原点O的直线与抛物线交于C，D两点，其中点C在y轴的左侧． ①若直线的表达式为，求的面积； ②若C，E两点关于y轴对称，O，Q两点关于P对称，求证：D，E，Q三点共线． 【答案】（1） （2）①； ②如图， 设直线的表达式为， ∵C，D两点在抛物线上，抛物线的表达式为， ∴，整理得， 解得：， ∴，， ∵C，E两点关于y轴对称，O，Q两点关于P对称，顶点， ∴，， 设直线的表达式为， ∴， 解得 ∴直线的表达式为， 把代入，解得， ∴符合直线的表达式， ∴D，E，Q三点共线； 【解析】 【分析】（1）把，代入抛物线的表达式，建立方程组求解即可； （2）①先求解C，D的坐标，过点C作轴，轴，，可得求解即可；②设直线的表达式为， 先求解C，D的坐标，根据对称求出Q，E两点坐标，求出直线的表达式为，再把点D代入验证即可． 【小问1详解】 解：抛物线交x轴于，两点． ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 【小问2详解】 ①如图，过点C作轴，轴，垂足分别为 ∵抛物线为：， ∴顶点， ∵直线的表达式为， ∴， 解得：或， ∴，， ∴ ； ②略 【点睛】本题主要考查二次函数综合，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，轴对称的性质，三点共线的含义，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质及待定系数法的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $