第三章 概率的进一步认识 单元试题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第三章 概率的进一步认识 一、单选题 1．东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ） A． B． C． D． 2．甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（    ） A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定 C．游戏的规则由甲乙双方确定 D．游戏双方获胜的概率相等 3．某学校“春季田径运动会”的颁奖仪式需要两名学生来做主持人．通过层层选拔，最终有三女一男4人进入决赛的评选．如果从中任意选出两人，其性别不同的概率为（    ） A． B． C． D． 4．质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品5件，由此估计这一批次产品中的次品件数是（    ） A．5 B．100 C．500 D．1000 5．四个完全相同的球上分别标有数字，，0，5，从这4个球中任意取出一个球记为a，放回后，再取出一个记为b，则能被5整除的概率为（    ） A． B． C． D． 6．一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色可以不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为（   ） A． B． C． D． 7．在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（    ） A． B． C． D． 8．在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 二、填空题 9．如图，一只小鸟自由自在的在空中飞翔，然后随意落在如图所示的图形表示的空地上（每个方格除颜色外完全相同），则落在图中阴影部分的概率是 ． 10．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下： 抽取只数（只） 10 50 100 300 800 1800 3000 5000 合格频率 0.90 0.92 0.91 0.91 0.90 0.90 0.90 0.90 某校购进该批次口罩共20000只，则合格的有 只． 11．一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000次，其中有200次摸到红球，由此估计盒子中的红球有 个． 12．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号相同的概率是 ． 13．如图所示,圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为 ． 14．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 三、解答题 15．数学兴趣小组为探究事件A发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 500 800 1000 事件A出现的次数m 34 64 160 b 330 事件A发生的频率 0.34 a 0.32 0.33 0.33 (1)表中______，______； (2)根据上表，完成折线统计图． 16．在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动．教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）． 请解答下列问题： （1）请补全条形统计图和扇形统计图； （2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？ （3）若该校七年级学生共有500人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？ （4）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少？ 17．小丽和小刚都想参加学校组织的暑期实践活动，但只有一个名额，小丽提议：将一个转盘9等分，分别将9个区间标上1至9个9号码，随意转动－次转盘，根据指针指向区间决定谁去参加活动，具体规则：若指针指向偶数区间，小刚去参加活动；若指针指向奇数区间，小丽去参加活动． (1)求小刚去参加活动的概率是多少? (2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由． 18．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 19．如图，是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）． (1)任意转动转盘1次，指针指向红色区域的概率是______． (2)任意转动转盘2次，用树状图或列表法求指针2次都指向红色区域的概率． 20．中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图. 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了____________名学生； (2)补全条形统计图； (3)若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数； (4)小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】直接利用概率公式计算即可. 【详解】共有20道试题，其中创新能力试题4道，所以从中任选一道试题，选中创新能力试题的概率是＝. 故答案选A. 考点：概率公式. 2．D 【分析】判断游戏是否公平不取决于谁制定游戏规则，而取决于游戏双方获胜的概率相等． 【详解】解：游戏的规则由甲方确定，获胜概率不一定不相等，故A不符合题意； 游戏的规则由乙方确定，获胜概率不一定不相等，故B不符合题意； 游戏的规则由甲乙双方确定，获胜概率不一定不相等，故C不符合题意； 游戏双方获胜的概率相等，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．游戏公平是指要计算每个参与者获胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．准确理解定义是解题的关键． 3．D 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到从中任意选出两人，其性别不同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C表示三位女生，用D表示男生，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中从中任意选出两人，其性别不同的结果数有6种， ∴从中任意选出两人，其性别不同的概率为， 故选：D． 4．C 【分析】本题主要考查了数据样本与频率问题，亦可根据比例求解． 根据抽取的样本数求得该批产品的次品率之后再乘以产品总数即可求解． 【详解】解：∵随机抽取100件进行检测，检测出次品5件， ∴次品所占的百分比是：， ∴这一批次产品中的次品件数是：（件）， 故选C． 5．A 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：列表如下： 0 5 3 2 0 0 5 5 3 2 5 10 一共有16种情况，其中点能被5整除的有6种情况， 点能被5整除的概率． 故选：A． 6．B 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】根据题意可得：袋子中有3个白球，2个黄球和1个红球，共6个，从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为 故选B 7．C 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况， ∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：. 故选C. 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比． 8．D 【分析】此题考查了频率估计概率，根据“频率频数总次数”计算求解即可估算概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据某种颜色的球出现的频率如图约为， 摸到红球出现的频率， 摸到黄球出现的频率， 摸到蓝球出现的频率， 摸到绿球出现的频率， ∴该球的颜色最有可能是绿球， 故选：． 9． 【分析】根据几何概率的求法：小鸟落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 由图可知：阴影部分面积为：×2×2＋×1×2＋×1×4＝5 所以图中阴影部分占5个小正方形，其面积占总面积的 ， 所以其概率为． 故答案为． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 10．18000 【分析】观察表格合格的频率趋近于0.9，从而由此得到口罩合格的概率即可． 【详解】解：∵随着抽样数量的增多，合格的频率趋近于0.9， ∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.9． ∴合格的有20000×0.9=18000（只）； 故答案为：18000． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 11．2 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，概率公式的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． 利用频率估计概率可得到摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算这个盒子中红球的数量． 【详解】解：∵共试验1000次，其中有200次摸到红球， ∴摸到红球的概率为， 设盒子中有x个红球，则， 解得， 经检验，是该方程的解． ∴估计盒子中的红球有2个． 故答案为：2． 12． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】根据题意，画树状图如下： 共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果， 所以两次摸出的小球标号相同的概率是， 故答案为． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13． 【分析】计算出黑色区域的面积与整个图形面积的比，利用几何概率的计算方法解答即可： 【详解】解：∵根据对称的性质知，黑色区域的面积占了整个图形面积的， ∴飞镖落在黑色区域的概率为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了几何概率，首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 14． 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 15．(1)；264 (2)见解析 【分析】本题考查了频率和折线统计图，熟练掌握频率的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，得，，解答即可． （2）根据题意，画出图即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得． （2）解：根据题意，折线图画图如下： 16．（1）详见解析；（2）40%；（3）105；（4）． 【分析】（1）先求出参加活动的女生人数，进而求出参加武术的女生人数，即可补全条形统计图，再分别求出参加武术的人数和参加器乐的人数，即可求出百分比； （2）用参加剪纸中男生人数除以剪纸的总人数即可得出结论； （3）根据样本估计总体的方法计算即可； （4）利用概率公式即可得出结论． 【详解】（1）由条形图知，男生共有：10+20+13+9=52人， ∴女生人数为100-52=48人， ∴参加武术的女生为48-15-8-15=10人， ∴参加武术的人数为20+10=30人， ∴30÷100=30%， 参加器乐的人数为9+15=24人， ∴24÷100=24%， 补全条形统计图和扇形统计图如图所示： （2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是×100%＝40%． 答：在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比为40%． （3）500×21%=105（人）． 答：估计其中参加“书法”项目活动的有105人． （4）． 答：正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率为． 【点睛】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 17．（1）；（2）这个游戏不公平，理由见解析． 【分析】（1）根据简单事件的概率计算公式即可得； （2）先根据简单事件的概率计算公式求出小丽去参加活动的概率，再与（1）的结论进行大小比较即可得． 【详解】（1）小刚转动一次转盘的所有可能结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，指针指向偶数区间的结果共有4种 则小刚去参加活动的概率是； （2）这个游戏不公平，理由如下： 小丽转动一次转盘的所有可能结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，指针指向奇数区间的结果共有5种 则小丽去参加活动的概率是 这个游戏不公平． 【点睛】本题考查了简单事件的概率计算，理解题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键． 18．(1)0.6 (2)30 (3)10，10 【分析】（1）观察摸到黑球的频率后观察表格即可得到； （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数； （3）使得黑球和白球的数量相等即可． 【详解】（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6； （2）黑球的个数为50×0.6=30个， 故答案为：30； （3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同， 即：在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个， 故答案为：10，10． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了用概率公式求概率和利用树状图或列表法求概率，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）通过列表可得共有16种等可能情况，指针2次都指向红色区域的情况有4种，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，其中，两个红色扇形， ∴任意转动转盘1次，指针指向红色区域的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： 红 红 黄 蓝 红 （红，红） （红，红） （黄，红） （蓝，红） 红 （红，红） （红，红） （黄，红） （蓝，红） 黄 （红，黄） （红，黄） （黄，黄） （蓝，黄） 蓝 （红，蓝） （红，蓝） （黄，蓝） （蓝，蓝） 由表可得，共有16种等可能情况，其中，指针2次都指向红色区域的情况有4种， ∴其概率为． 20．(1)200； (2)见解析； (3)估计参加B项活动的学生数有512名； (4)画树状图见解析，他们参加同一项活动的概率为． 【分析】（1）根据D项活动所占圆心角度数和D项活动的人数计算即可； （2）根据总人数求出参加C项活动的人数，进而可补全条形统计图； （3）用该校总学生人数乘以抽查的学生中参加B项活动所占的比例即可； （4）画出树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：（名）， 即在这次调查中，一共抽取了200名学生， 故答案为：200； （2）参加C项活动的人数为：200－20－80－40＝60（名）， 补全条形统计图如图： （3）（名）， 答：估计参加B项活动的学生数有512名； （4）画树状图如图： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种， 所以他们参加同一项活动的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $