24.2点和圆、直线和圆的位置关系同步练习题2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 同步练习题 一、单选题 1．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 2．已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 3．已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．不能确定 4．能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（   ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 6．如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 8．如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 9．如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，以的边为直径作交于点，连接，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为 ．（填“相交”、“相切”或“相离”）． 12．如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ． 13．如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，的半径是1，直线与x轴交于点，且与x轴的正半轴夹角为，若直线与有公共点，则x值的范围是 ． 15．如图，的半径是4，是的弦，点C在外，连接．若，则长的最大值为 ． 三、解答题 16．如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．已知，按下列要求完成尺规作图要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明 (1)在图①中，求作一点，使经过点的的两条切线互相垂直； (2)点的位置如图②所示．求作弦，，使，且，垂足为 18．如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 19．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、． (1)求证：； (2)若是大圆的第三条弦，且，则与小圆相切吗？请说明理由． 20．一个直角锯齿卡尺（所有角均为直角），点，，都在圆上，且，卡尺所有锯齿的高度和水平长度都为1，如． (1)圆心在卡尺内部还是外部？请说明理由． (2)过点，，的圆的半径是多少？ (3)以点为圆心，为半径画弧，判断点，与的位置关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 同步练习题2025-2026学年人教版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D B C C B A D 1．A 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立． 【详解】解：∵点到圆心的距离为，点在圆外， ∴，即． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 【详解】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴半径， ∴点P在外． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查反例的定义，熟练掌握反例的定义是解题的关键． 分别计算各选项中钝角与锐角的差，若差不是锐角，则为反例． 【详解】解：反例需满足命题条件但结论不成立，即钝角减锐角差非锐角， 选项A、，是锐角，不符合题意； 选项B、非钝角，不符合命题条件； 选项C、，是锐角，不符合题意； 选项D、，是钝角，非锐角，符合题意， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，外接圆，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合网格与勾股定理得出，即可得出是的外接圆． 【详解】解：观察网格，得 即， ∴是的外接圆， ∴点是的外心， 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查切线的性质定理，等腰三角形的性质和判定；连接，根据切线的性质得到，得到为等边三角形，为等边三角形，即可求出． 【详解】解：如图，连接，     ∵与相切于点，         ∴，         ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的性质和判定，连接，证明是等边三角形，得到，由圆周角定理和切线的性质证得，进而证得，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9．A 【分析】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点、、、四点共圆是解本题的关键． 先判断出点、、、四点共圆，判断出的最大值为，再求出，然后根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图， 连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 点、、、在以为直径的圆上， ， ∵， 在中，，， 根据勾股定理得， 故选：A． 10．D 【分析】本题考查切线的判定，根据切线的判定方法，结合各选项中给出的条件，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、， ， ∵， ， ， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； B、∵，是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； C、、，， 是△的中位线， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； D、当时，不能证明是的切线，故本选项符合题意； 故选：D． 11．相离 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，关键是求出半径r，再与圆心到直线的距离d进行比较．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．据此即可解答． 【详解】解：∵圆的直径为， ∴其半径． ∵圆心到直线的距离， ∴， ∴直线和圆相离． 故答案为：相离． 12． 【分析】本题考查坐标与图形，圆的确定，连接，根据网格特点和三角形的外心的性质，得到的中垂线的交点即为圆心，根据点的坐标，确定圆心的坐标即可． 【详解】解：如图，由题意，点即为弧所在圆的圆心，且点恰好是坐标原点， 故弧所在圆的圆心坐标是． 13． 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，翻折变换．设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据圆周角定理可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理可求出，的长，从而求出，的长，进而求出的长，最后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ，， 与是等圆， ， ， ， 点是的中点， ， ， 在中，，， ， ，则 的半径为： 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 设直线的解析式为，当直线与圆相切时切点为C，连接，则，由于直线与x轴正方向夹角为，所以是等腰直角三角形，故，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解： ∵直线与x轴正方向夹角为， ∴设直线的解析式为，切点为C，连接， ∴， ∵的半径为1， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，， ∴． 15．/ 【分析】设与交于点D，连接，过点O作于E，连接，由圆周角定理得到，则可证明是等边三角形，得到，则点E是的中点，，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，根据，可得当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示， 设与交于点D，连接，过点O作于E，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，一点到圆上一点的距离的最值问题，能够正确作出辅助线是解题的关键． 16．(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查圆的切线长定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的切线长定理是解题的关键． （1）连接，根据圆的切线长定理，证得，根据等腰三角形的性质，证得，进而证得； （2）设，则，根据勾股定理得，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ，即 是直径， ，即 ； （2）解：，设， 则 在中， 即 解得或（舍去） ． 17．(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了作垂线，角平分线，切线的判定和性质； （1）构造正方形，作直线，即可； （2）连接，过点作的垂线，作的角平分线，分别交于点，延长交于点，则，根据圆的对称性可得，则弦，，即为所求． 【详解】（1）如图，点即为所求； （2）如图，线段，即为所求． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，由，得到，结合，推出，再根据为的直径，得到，进而得到即，即可证明结论； （2）延长交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（2）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）证明：延长交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （3）解：由（2）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 19．(1)证明见解析 (2)相切；理由见解析 【分析】本题考查了切线的性质、切线长定理、垂径定理，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． （1）先由切线的性质及切线长定理得出，，，再由垂径定理得出，，即可证明． （2）连接，过点作，垂足为，利用全等三角形证明，即可根据切线的判定定理得出结论. 【详解】（1）证明：连接、． 是小圆的两条切线，切点分别为， ． ． ． （2）MN与小圆相切． 连接，过点作，垂足为， ． ， ． 在和中， ， ． 与小圆相切． 20．(1)圆心在卡尺内部，理由见解析 (2) (3)点在的内部，点在上 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、点和圆的位置关系、勾股定理、三角形的外接圆等知识点，熟练掌握圆的有关性质是解题关键． （1）利用圆周角定理的推论可得为圆的直径，进而即可解答； （2）利用等腰直角三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的外接圆性质解答即可； （3）连接，延长交于点，分别求得，，的长度，利用点和圆的位置关系解答即可； 【详解】（1）解：圆心在卡尺内部，理由如下： 点，，都在圆上，， 为圆的直径， 圆心在上， 圆心在卡尺内部； （2）解：，， 为等腰直角三角形， 为过点，，的圆的直径． ， 过点，，的圆的半径是； （3）解：如图，连接，延长交于点， 则四边形为矩形， ，， ， ， 同理，求得，， ，即， 点在的内部， ， 点在上． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $