精品解析：湖北省十堰市郧县桂花中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

桂花中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知二次函数，那么该二次函数图像的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点与点关于原点对称，那么（　　） A. 2 B. C. D. 4 5. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A. B. C. 5 D. 7 6. 若关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. k≥2 B. k≥﹣2 C. k＞﹣2且k≠0 D. k≥﹣2且k≠0 7. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 且 D. 8. 抛物线的顶点是（    ） A. B. C. D. 9. 已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（ ） A. 13 B. 11或13 C. 11 D. 12 10. 小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（12分） 13. 分解因式：______． 14. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是______． 15. 设，是一元二次方程的两根，则______． 16. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④；⑤当或时，有，其中正确的是______．(填序号) 三、解答题（72分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，AB＝3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，求点E与点C之间的距离． 21. 如图，一条城际铁路从A市到B市需要经过C市，A市位于C市西南方向，与C市相距40在千米，B市恰好位于A市的正东方向和C市的南偏东60°方向处．因打造城市经济新格局需要，将从A市到B市之间铺设一条笔直的铁路，求新铺设的铁路AB的长度．（结果保留根号） 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 23. 某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为20米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）． 24. 某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，通过调查发现，这种水产品的销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．现商店把这种水产品的售价定为x（单位：元/千克）． （1）填空：每月的销售量是 千克（用含x的代数式表示）； （2）求月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式； （3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 25. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上找一点M．使的周长最小，求出点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接，点E是直线上的一个动点，过点E作交抛物线于点F，以M，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂花中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各项进行分析判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合． 2. 已知二次函数，那么该二次函数图像的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式坐标直接得到二次函数图象的对称轴． 【详解】解：∵二次函数的顶点式是， ∴函数图象的对称轴是直线． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象对称轴的求解方法． 3. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解： ， 故选：A 4. 已知点与点关于原点对称，那么（　　） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标．熟练掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解决问题的关键． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故选：B． 5. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A. B. C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了一元一次方程的解．把代入得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：． 故选：A 6. 若关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. k≥2 B. k≥﹣2 C. k＞﹣2且k≠0 D. k≥﹣2且k≠0 【答案】B 【解析】 【分析】根据当时，方程是一元一次方程有实数根，当时，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0，然后求出两不等式组的公共部分，两种情况合并即可． 【详解】解：根据题意得：①当时，方程是一元一次方程，此时﹣4x﹣2＝0，方程有实数解； ②当时，此方程是一元二次方程，可得 k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0， 解得k≥-2且k≠0． 综上，当时，关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 7. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据对称性可求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得，对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点的坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵函数开口向下， ∴当或时， ， ∴不等式的解集是或， 故选：B． 8. 抛物线的顶点是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．通过配方法将二次函数的一般式化为顶点式，从而得到顶点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标为． 故选：D． 9. 已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（ ） A. 13 B. 11或13 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】x2-8x+15=0， 分解因式得：（x-3）（x-5）=0， 可得x-3=0或x-5=0， 解得：x1=3，x2=5， 若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5=13； 若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5=11， 综上，△ABC的周长为11或13． 故选B 10. 小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得个位数为x+3，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可； 【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是x+3， 由题意可得：． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键． 11. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程，与不等式之间的关系；根据函数图象即可判断①②④；求出对称轴，再由开口向上得到离对称轴越远函数值越大，即可判断③． 【详解】解：由函数图像可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时，自变量的取值范围为， ∴当时，，故①正确； ∵二次函数与x轴的一个交点坐标为当， ∴是方程的一个解，故②正确； ∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， ∵函数开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，故③正确； 由函数图象可知，当时，的取值范围是不是，故④错误， 故选：B． 二、填空题（12分） 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键． 原式提取公因式后，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义求参数的取值范围．熟练掌握一元二次方程的二次项的系数不为0，是解题的关键． 15. 设，是一元二次方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握，是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系求出和，然后整体代入即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，， ，， ， 故答案为：． 16. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④；⑤当或时，有，其中正确的是______．(填序号) 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴方程，由抛物线开口方向得到，由对称轴位置可得，由抛物线与y轴的交点位置可得，可判断①；得出抛物线与x轴的另一个交点，代入表达式，可判断②；根据顶点坐标可判断③；根据a和b的关系得出a和c的关系，利用a的符号可判断④；根据函数图象得当时，一次函数图象在抛物线下方，即，则可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； 根据抛物线与x轴交于，对称轴为直线可得：抛物线与x轴的另一个交点为， 则当时，，故②错误； ∵抛物线的顶点坐标， ∴当时，二次函数有最大值3， ∴方程有两个相等的实数根，故③正确； ∵当时，，， ∴， ∴，即， ∴，故④正确； ∵抛物线与直线交于，， ∴当时，，所以⑤错误； 综上所述：正确的结论是①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记二次函数解析式中系数对图形的影响，a决定图象的开口方向，a、b决定图象的对称轴位置，c决定图象与y轴的交点位置． 三、解答题（72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，利用有理数的乘方的法则，零指数幂的运算法则，绝对值的意义，算术平方根的意义将原式化简，再进行加减计算即可．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 由得：， 则； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， 则，． 【点睛】本题考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，利用平方差公式进行因式分解是解答本题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，AB＝3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，求点E与点C之间的距离． 【答案】. 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出BC=BE，∠CBE=60°，得出等边三角形BEC，求出EC=BC，根据勾股定理求出BC即可． 【详解】连接EC，即线段EC的长是点E与点C之间的距离， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝＝ 将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE， ∴BC＝BE，∠CBE＝60°. ∴△BEC是等边三角形. ∴EC＝BE＝BC＝. 【点睛】本题考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 21. 如图，一条城际铁路从A市到B市需要经过C市，A市位于C市西南方向，与C市相距40在千米，B市恰好位于A市的正东方向和C市的南偏东60°方向处．因打造城市经济新格局需要，将从A市到B市之间铺设一条笔直的铁路，求新铺设的铁路AB的长度．（结果保留根号） 【答案】AB=（20+20）千米． 【解析】 【分析】过C作CP⊥AB于P，在直角三角形ACP中，利用锐角三角函数定义求出AP与PC的长，在直角三角形BCP中，利用锐角三角函数定义求出PB的长，由AP+PB求出AB的长即可． 【详解】解：过C作CP⊥AB于P， ∵在Rt△ACP中，AC=40千米，∠ACP=45°，sin∠ACP=，cos∠ACP=， ∴AP=AC•sin45°=40×=20（千米）， CP=AC•cos45°=40×=20（千米）， ∵在Rt△BCP中，∠BCP=60°，tan∠BCP=， ∴BP=CP•tan60°=20（千米）， 则AB=AP+PB=（20+20）千米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次方程根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键． （1）证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，，将变形为，代入相应的值，得到关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两实根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 23. 某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为20米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确进行计算是解题关键．设点B到的距离为，由题意可知，米，，米，，，在中，利用求出的长，设米，则米，然后在，利用求出x的值，进而求出结果即可． 【详解】解：如图，设点B到的距离为， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意可知，米，，米， 在中，（米）， 米， 设米， ∵米， ∴米， 在中，， 米， ∵， ∴在中，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 米． 答：的长为米． 24. 某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，通过调查发现，这种水产品的销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．现商店把这种水产品的售价定为x（单位：元/千克）． （1）填空：每月的销售量是 千克（用含x的代数式表示）； （2）求月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式； （3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 【答案】（1）；（2）（）；（3）在月销售成本不超过13000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元/千克 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克劣势即可； （2）根据销售利润和售价的关系列式即可； （3）当月销售利润达到8000元，求出x的值，判断即可； 【详解】解：（1）； 故答案是； （2）， 其中； （3）当月销售利润达到8000元时，有， 化简，得， 解得，或， 当时，月销售成本为， 当时，月销售成本为， ∵月销售成本不超过10000元， ∴； 答：在月销售成本不超过13000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元/千克． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键． 25. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上找一点M．使的周长最小，求出点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接，点E是直线上的一个动点，过点E作交抛物线于点F，以M，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能；E点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由对称轴得到a、b的关系，再将，代入即可求解析式； （2）作点C关于直线的对称点，连接，与直线交点M，当A、M、三点共线时，的周长最小，求出直线解析式即可求M； （3）求出直线的解析式，设，，只需即可求E点坐标． 【小问1详解】 ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴为， 将点，代入， 得， ∴， ∴； 【小问2详解】 令；则， ∴， 如图1，作C点关于直线的对称点，连接，与直线交点M， ∵ ∴， ∴当A、M、三点共线时，的周长最小， ∴， 设直线的解析式为， 得， ∴， ∴， 当时，， ∴； 【小问3详解】 如图2，以M、D、E、F为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下： ∵的顶点为， ∴， ∵， ∴当时，以M、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形， 令，则， ∴或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵点E是直线上的一个动点， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍）或或或， ∴或或， 综上所述：以M、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形时，E点坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数与四边形的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质及平行四边形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $