北京市第十三中学分校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

2025－2026学年度北京市第十三中学分校 第一学期阶段验收 九年级 数学试卷 考生须知 1.本试卷共6页． 2.本试卷满分100分，考试时间100分钟． 3.在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4.考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 一、选择题（共8小题，每小题2分） 1. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线y＝2x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得新抛物线的表达式是（　　） A. y＝2（x+2）2+3 B. y＝（x-2）2+3 C. y＝2（x+3）2-2 D. y＝2（x﹣2）2+3 3. 已知的半径为4，点在内，则的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，相交于点O，且．如果，，那么的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与位似，点是位似中心，若，，则（　　） A. 9 B. 12 C. 16 D. 36 8. 某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题2分） 9. 如果，那么的值是______． 10. 的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是______（填“相交”、“相切”或“相离”）． 11. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=_____． 12. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长150寸，同时立一根15寸的小标杆，它的影子长5寸，则竹竿的长为多少？”．答：竹竿的长为___________寸． 13. 如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时，点经过的路径长为______． 14. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是________（写出一个即可）. 15. 如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ________． 16. 已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是______． 三、解答题（本题共68分） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 18. 已知：如图1，P为上一点． 求作：直线，使得与相切． 作法：如图2， ①连接； ②以点P为圆心，长为半径作弧，与的一个交点为A，作射线； ③以点A为圆心，长为半径作圆，交射线于点Q（不与点O重合）； ④作直线． 直线就是所求作的直线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． 由作法可知， ∴点P在以为直径的上． ∴___________°（___________）（填推理的依据）． ∴． 又∵是的半径， ∴是的切线（___________）（填推理的依据）． 19. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值，如下表： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 （1）求此抛物线的解析式，并画出其图象； （2）结合图象，直接写出不等式的解集； （3）结合图象，直接写出当时，的取值范围． 20. 如图，在中，，，，求的长． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 22. 如图，割线与交于点，割线过圆心，且．若，的半径，求弦的长． 23. 中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，．） 24. 如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 25. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作拋物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系：，已知，落点的水平距离是，竖直高度是． （1）点的坐标是______，点的坐标是______； （2）求与的函数关系式； （3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时的水平距离． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，，，． （1）当时，求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）． （2）若点，都在抛物线上，则 （填“”“”或“”）； （3）将抛物线在之间的部分（含）所有点的纵坐标的最大值记为，之间的部分（含）所有点的纵坐标的最大值记为，若都有，求t的取值范围． 27. 如图，在正方形中，． （1）如图1，点分别是线段、上的动点，，连接，探究三条线段、、之间满足的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，在（1）的条件下，，在、运动过程中，若，当取最小值______时，______．（直接写出答案） 28. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段长度的最小值为图形的“雅近值”，记为，特别地，若图形有公共点，规定． （1）如图1，的半径为2， ①点，，则______； ②已知直线，求直线与的雅近值． （2）如图2，C为轴正半轴上的一点，的半径为1，直线与轴交于点D，与轴交于点E． ①若，，线段与的“雅近值”，请直接写出圆心C的纵坐标的取值范围； ②若，圆心C的纵坐标，直线与的“雅近值”，直接写出的取值范围． 2025－2026学年度北京市第十三中学分校 第一学期阶段验收 九年级 数学试卷 考生须知 1.本试卷共6页． 2.本试卷满分100分，考试时间100分钟． 3.在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4.考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 一、选择题（共8小题，每小题2分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、填空题（共8小题，每小题2分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】相切 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】450 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】4（答案不唯一） 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】或 三、解答题（本题共68分） 【17题答案】 【答案】 （1） （2）， 【18题答案】 【答案】（1） 如图， （2）90，直径所对的圆周角是直角；过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线 【19题答案】 【答案】（1）抛物线的解析式为， 描点画图如下： （2）或 （3） 【20题答案】 【答案】的长为4 【21题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【22题答案】 【答案】 【23题答案】 【答案】中央电视塔的高度为米． 【24题答案】 【答案】（1） 证明：连接． 平分， ， ， ； ， 为半径， 是的切线． （2） 【25题答案】 【答案】（1）， （2） （3） 【26题答案】 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线 （2） （3）或 【27题答案】 【答案】（1） 解：，理由如下： 如图，将绕点C逆时针旋转得到，则， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 【28题答案】 【答案】（1）①3；② （2）①的取值范围为；② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $