第三章圆锥曲线的方程练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线的方程考点练习 题型一 椭圆的定义及其应用 一、单选题 1．如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ） A．26 B．10 C．4 D．14 【答案】D 【分析】先求出，再根据椭圆的定义计算求解即可. 【详解】根据题意可得， 椭圆的长轴长为，根据，得. 故选：D. 二、多选题 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（    ） A． B．的最大值为4 C．的最大值为3 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据给定的椭圆方程求出长短半轴长及半焦距，再结合椭圆定义及余弦定理逐项判断. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，C正确； 对于D， ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：BC 题型二 椭圆的标准方程 3．（单选题）若方程表示椭圆，则m的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程的特征得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得， 解得且， 故m的取值范围是或. 故选：C 4．已知椭圆的短轴长为2，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； 【答案】(1) 【详解】（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆C的标准方程为. 5．已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 (1)求此椭圆的方程 【答案】(1)； 【详解】（1）由题意，设椭圆的方程为， ∵焦点为，， ∴， 又， 所以，， ，． 所求椭圆的方程为． 题型三 椭圆的几何性质 6．（单选题）与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件求得所求椭圆的、值，即可得到其标准方程. 【详解】椭圆可化为， 可知椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为， 故可设所求椭圆方程， 则，又，即，所以， 所以所求椭圆的标准方程为． 故选：B． 7．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； 【详解】（1）由椭圆的对称性可知椭圆必过，两点， 因为与不可能同时在同一个椭圆上， 所以椭圆过，，三点， 于是，解得，， 故椭圆的方程为. 题型四 椭圆的离心率 8．（单选题）若椭圆的离心率为，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用离心率的意义求出值. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 9．（单选）设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在直角三角形中，，得，由，得，进行求解即可． 【详解】解：如图： 因为，所以， 则在直角三角形中，， 得， 由，得， 即椭圆的离心率为：． 故选：A 题型五 双曲线的定义及其应用 10．（单选题）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（ ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【详解】双曲线，. 设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B 11．（多选题）已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（ ） A．若是椭圆，则 B．若是双曲线，则 C．若，则的周长为8 D．若，则的离心率为 【答案】BCD 【分析】对于A由于的大小范围不确定故不能判断焦点位置，对于B若是双曲线，则的焦点在轴上即可求解，对于C若，则是椭圆，则的周长为，对于D若，则是双曲线即可求解. 【详解】对于A：若是椭圆，则，其焦点可能在轴上，所以A错误； 对于B：若是双曲线，则的焦点在轴上，因为，所以，故B正确； 对于C：若，则是椭圆.因为，，，所以的周长为，故C正确； 对于D:若，则是双曲线.因为，，，所以离心率为，故D正确. 故选：BCD. 题型六 双曲线的标准方程 12．（单选题）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求“方程表示焦点在轴上的双曲线”的等价条件，结合充要条件的定义判断结论. 【详解】“方程表示焦点在轴上的双曲线”等价于， 即， 所以“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的充要条件. 故选：C. 13．（单选题）焦点在y轴上的双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且虚半轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，进而求出双曲线方程. 【详解】令双曲线的实轴长为，焦距为，而虚轴长， 依题意，，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C 14．已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过且斜率大于的直线与的右支交于，两点，若，求的一般方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将点坐标代入方程，又轴，得，联立即可. （2）由题可设设直线的方程为，，根据题意，故 ，联立方程直线与曲线方程，消去后用韦达定理，可得，，将其带入弦长公式可解，故而得到直线的方程. 【详解】（1）因为点在上，所以， 又为的右焦点，轴，则，故， 所以，因此的方程为. （2）设直线的方程为，， 因为斜率大于的直线与的右支交于两点， 所以，即，故，联立方程， 消去得，则，， 所以， 解得，即，故直线的方程为. 题型七 双曲线的离心率 15．（单选题）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】首先根据题意判定双曲线的焦点所在的轴，由此设出双曲线的标准方程，然后根据渐近线方程得到双曲线基本量的关系，进而得到离心率. 【详解】因为， 所以点在两渐近线的右侧， 双曲线的中心在原点，焦点在轴上， 故可设双曲线的标准方程为， 渐近线方程为， 结合已知渐近线方程为得， 故双曲线的离心率. 故选：A. 16．（单选题）已知椭圆上一点和焦点.轴，若双曲线的一条渐近线经过点，那么双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出A点坐标后，再代入双曲线渐近线方程可得，再代入可得双曲线的离心率. 【详解】根据椭圆方程可知，焦点坐标为，不妨设焦点F为右焦点， 因为轴，A在椭圆上，假设A点在第一象限，所以A点坐标为. 由题可知，双曲线的渐近线方程为， 又因为双曲线的一条渐近线经过点A，所以代入可知， 所以双曲线的离心率为 故选：C. 题型八 抛物线的定义 17．（单选题）已知抛物线上一点到焦点的距离是，则点到轴的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程求焦点坐标及准线方程，结合抛物线定义条件可转化为点到准线的距离为，由此可求结论. 【详解】由抛物线可得焦点，准线方程为， 因为点到焦点的距离是， 由抛物线的定义，可得点到准线的距离为， 所以点到轴的距离为. 故选：B. 18．（单选题）已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件结合抛物线定义列方程求可得结论. 【详解】抛物线的准线方程为， 点到直线的距离为， 因为点与焦点的距离为， 所以， 所以. 故选：B. 19．已知点M到定点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)直线交C于P，Q两点，点，直线AP，AQ的斜率之和为0，求直线的斜率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出轨迹方程. （2）设出点坐标，利用斜率坐标公式列式计算得解. 【详解】（1）由点M到点的距离比它到直线的距离小2， 得点M到点的距离等于它到直线的距离， 因此点M的轨迹C是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以C的方程为. （2）由（1）设点，，显然， 由直线AP，AQ的斜率之和为0，得，解得， 所以直线的斜率. 题型九 抛物线的标准方程 20．已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交于两点，且(为坐标原点)的面积为 32， 求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由抛物线的定义即可求出抛物线方程； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程消去，然后利用韦达定理结合面积公式即可求解. 【详解】（1）由已知有：动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线 的方程为. （2）设，显然直线的斜率不为0，可设直线， 联立， 则，， 所以， 原点到直线的距离为：， 所以，解得， 所以直线的方程为：或. 题型十 抛物线的几何性质 21．（单选题）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（ ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】根据抛物线焦半径公式先确定点坐标，从而可得直线的方程，与抛物线方程联立求弦长. 【详解】易知的斜率存在，设， 则，得， 因为点在上，所以， 又点在第一象限，故，所以， 又，所以， 所以直线的方程为，即． 联立，得，则， 由抛物线的定义，得． 故选：A 22．（多选题）过抛物线C：的焦点F作弦AB交抛物线于，两点，O为坐标原点，则（ ） A．抛物线C的准线方程为 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设AB直线方程为，根据抛物线的几何性质，设而不求法及根与系数的关系，即可分别求解． 【详解】物线C：的焦点到准线的距离为， 焦点F为，准线方程为，选项正确； 设AB直线方程为， 联立，可得，又，， ，，选项正确； ，， ，选项正确； ，， ， 选项错误． 故选：ACD. 题型十一 圆锥曲线中的弦长问题 23．如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求    【答案】 【分析】由双曲线方程求出右焦点，进而得到直线方程，直曲联立，结合距离公式计算即可. 【详解】双曲线方程可化为， 所以，故， 所以直线的方程为，设，， 由得，， 所以，， 所以. 24．已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由离心率定义求解； （2）设直线与椭圆交于，两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求解. 【详解】（1）由椭圆的方程为， 可得， 所以； （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组， 得， 则， 由于即， 解得. 25．已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； (2)求所在的直线方程． 【答案】(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； (2)或 【分析】（1）根据给定条件求出p值即可求解； （2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得. 【详解】（1） 因点在抛物线方程上，则，所以， 所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； （2）显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：， 由消去x得：， 设，则有， 因为， 则， 解得，即直线AB：， 所以所在的直线方程：或. 题型十二 圆锥曲线中的面积问题 26．已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程与离心率； (2)当直线l的倾斜角是时，求的面积． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设出椭圆的标准方程，再由给定条件列出方程求解，进而求出离心率. （2）求出直线的方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理求出三角形面积. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为：， 依题意，，解得， 所以椭圆的标准方程为：，离心率. （2）依题意，直线的方程为，设， 由消去得，，， 所以的面积. 题型十三 圆锥曲线中的中点弦问题 27．（单选题）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 28．（单选题）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 题型十四 圆锥曲线中的切线、切点弦问题 29．已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 【答案】或 【分析】分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合根的判别式得到方程，求出答案. 【详解】当过的直线斜率不存在时，方程为，与相切，满足要求， 当过的直线斜率存在时，设切线方程为，联立得， ， 令，解得， 故，即. 故答案为：或 30．（单选题）设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程 . 【答案】 【分析】由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为，代入椭圆方程中整理化简，令判别式等于零，可求出的值，从而可求得切线方程 【详解】由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为， 将代入中得， ， 化简整理得， 令， 化简整理得，即，解得， 所以切线方程为，即， 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线的方程练习 题型一 椭圆的定义及其应用 1．（单选题）如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ） A．26 B．10 C．4 D．14 2．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（ ） A． B．的最大值为4 C．的最大值为3 D．的最小值为 题型二 椭圆的标准方程 3．（单选题）若方程表示椭圆，则m的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 4．已知椭圆的短轴长为2，且过点.椭圆C的标准方程是_____ 5．已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且则椭圆的方程为____________ 题型三 椭圆的几何性质 6．（单选题）与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 7．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上则椭圆C的方程为_____________;（选做）椭圆C上点到直线距离的最大值为__________________. 题型四 椭圆的离心率 8．（单选题）若椭圆的离心率为，则（ ） A． B．4 C． D．2 9．（单选题）设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型五 双曲线的定义及其应用 10．（单选题）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（ ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 11．（多选题）已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（ ） A．若是椭圆，则 B．若是双曲线，则 C．若，则的周长为8 D．若，则的离心率为 题型六 双曲线的标准方程 12．（单选题）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（单选题）焦点在y轴上的双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且虚半轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 14．已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． 则的方程为______________. 题型七 双曲线的离心率 15．（单选题）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D．5 16．（单选题）已知椭圆上一点和焦点.轴，若双曲线的一条渐近线经过点，那么双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型八 抛物线的定义 17．（单选题）抛物线上一点到焦点的距离是，则点到轴的距离为（ ） A． B． C． D． 18．（单选题）已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．点M到定点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)直线交C于P，Q两点，点，直线AP，AQ的斜率之和为0，求直线的斜率. 题型九 抛物线的标准方程 20．已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交于两点，且(为坐标原点)的面积为 32， 求的方程. 题型十 抛物线的几何性质 21．（单选题）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（ ） A． B．6 C． D．8 22．（多选题）过抛物线C：的焦点F作弦AB交抛物线于，两点，O为坐标原点，则（ ） A．抛物线C的准线方程为 B． C． D． 题型十一 圆锥曲线中的弦长问题 23．如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求    24．已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 25．已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； (2)求所在的直线方程． 题型十二 圆锥曲线中的面积问题 26．已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程与离心率； (2)当直线l的倾斜角是时，求的面积． 题型十三 圆锥曲线中的中点弦问题 27．（单选题）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 题型十三 圆锥曲线中的中点弦问题 27．（单选题）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 28．（单选题）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型十四 圆锥曲线中的切线、切点弦问题 29．已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 30．（单选题）设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $