精品解析：浙江省温州新希望学校2025-2026学年上学期九年级数学期中试题

温州新希望学校2025学年第一学期九年级期中考试 数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页，满分100分，考试时间90分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 2. 已知二次函数，则该函数与轴的交点是（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线向上平移3个单位后，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 900 合格频率 0.89 若出售20000件衬衣，则其中合格品的件数大约是（ ） A. 2000件 B. 3200件 C. 16800件 D. 18000件 5. 如图，是的直径，C，D是上的点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 2023年天猫双十一销售额为1476亿元，销售额逐年减少，若2025年天猫双十一的销售额为亿元，平均每年下降的百分率为，则关于的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是二次函数的图象，观察图象，当时，的取值范围为（ ）． A. B. 或 C. D. 或 8. 如图是由7个正六边形组成的蜂窝状置物架，若每个正六边形的边长都为，则该置物架挂上墙面所需要的水平宽度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分） 11. 抛物线的顶点坐标是__________． 12. 若扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的面积为________． 13. 某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是__________． 14. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是__________． 15. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球的运动时间之间的关系式为，则小球的最大高度为______． 16. 如图，四边形内接于，垂直平分半径，则__________． 17. 已知，是二次函数图象上任意两点，当，时，始终成立，则的取值范围是__________． 18. 如图，在矩形中，以点为圆心，为半径作交于点，延长交于点，延长交于点，连接交于点．若，，则的值为__________． 三、解答题（本题共有6小题，共46分，解答题需要写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 有A，B，C三种款式的帽子，E，F，G三种款式的围巾，小慧任意选一顶帽子和一条围巾、 （1）小慧选择A款式帽子的概率是_____． （2）利用画树状图或列表的方法，求出小慧恰好选中A款式帽子和E款式围巾的概率． 20. 【问题背景】 如图，在中， 【数学操作】 （1）尺规作图：将绕点按顺时针方向旋转得到（点与点对应）． 【图形理解】 （2）连接，求的度数． 21. 如图，在中，点是弦的中点，连接并延长，交于点．若，求的半径． 22. 某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙的最大可用长度为），中间用一堵墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，设饲养室的宽长，总占地面积为． （1）求关于的函数表达式和的取值范围． （2）当的长为多少米时，围成的饲养室面积最大？最大面积是多少？ 23. 已知抛物线经过点． （1）若抛物线过，求此抛物线的函数表达式． （2）当时，有最大值9，求的值． 24. 如图，锐角内接于于点于点，交于点，延长交于点，连接，． （1）当，时，求的度数． （2）求证：． （3）当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 温州新希望学校2025学年第一学期九年级期中考试 数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页，满分100分，考试时间90分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判定，根据点到圆心的距离与半径的大小比较进行判定：当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；熟记点与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：的半径长为4，， 由可知，点在的内部， 故选：A． 2. 已知二次函数，则该函数与轴的交点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握与轴的交点是横坐标为0，是解此题的关键． 令，求出的值即可得到答案． 【详解】解：当时，， 二次函数的图象与轴的交点是， 故选：B． 3. 把抛物线向上平移3个单位后，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移．根据二次函数图象的平移的规律“上加下减，左加右减”，即可求解． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是． 故选：C． 4. 对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 900 合格频率 0.89 若出售20000件衬衣，则其中合格品的件数大约是（ ） A. 2000件 B. 3200件 C. 16800件 D. 18000件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据频数求频率，根据频率求数量． 由频数表可知，当抽取件数较大时，合格频率稳定在附近，因此可用频率估计概率，合格概率约为，乘以20000即可． 【详解】解：∵抽取件数达到1000件时，合格频率为，且频率在附近稳定， ∴合格概率约为， ∴出售20000件衬衣，合格品件数约为件． 故选：D． 5. 如图，是的直径，C，D是上的点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及直径所对圆周角的性质，解题关键是熟练掌握圆周角定理及直径所对圆周角的性质． 由同弧圆周角相等得，由直径所对圆周角为直角得，利用直角三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：连接， ∵同弧所对的圆周角相等，， ∴． ∵是直径， ∴， 在，中 ． 故选：B． 6. 2023年天猫双十一销售额为1476亿元，销售额逐年减少，若2025年天猫双十一的销售额为亿元，平均每年下降的百分率为，则关于的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查增长率问题的函数表达式，解题的关键是掌握连续下降的数量关系模型． 根据每年下降的百分率，确定每年销售额与前一年的数量关系，再结合经过的年数推导函数表达式． 【详解】解：因为平均每年下降的百分率为， 所以每年销售额为前一年的倍， 因为从2023年到2025年经过2年， 所以2025年的销售额，即． 故选：A． 7. 如图是二次函数的图象，观察图象，当时，的取值范围为（ ）． A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，熟练运用二次函数的对称性是解题关键． 由图象可知，这条抛物线的对称轴是直线，其与x轴的一个交点为．根据对称性求出另一个交点，再结合图象判断x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为．由函数的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为． 当时，图象为两个交点中间的一段，因此的取值范围为． 故选：A． 8. 如图是由7个正六边形组成的蜂窝状置物架，若每个正六边形的边长都为，则该置物架挂上墙面所需要的水平宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，解直角三角形的相关计算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 求得出，，再利用三角函数求得，从而可求得． 【详解】解：如图：由题意得：点A，B，C，D，E，F，G，H共线，连接并延长到点H，则， 由题意得：，， 在中，， ∴， ∴ ， ∴该置物架所占用墙面的长度d的值为， 故选：C． 9. 如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长．连接，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，然后弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴的长为． 故选：C 10. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 求出点，可得直线为，再求出抛物线的顶点坐标为，可得点关于直线的对称点为，再根据直线和新图象恰好有3个交点，可得直线过点，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴点， ∵直线轴， ∴直线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变， ∴点关于直线的对称点为， ∵直线和新图象恰好有3个交点， ∴直线过点， ∴， ∴，符合题意． 故选：B 二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分） 11. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 根据所给抛物线的解析式即可得解． 【详解】解：由题意得，的顶点坐标为． 故答案为：． 12. 若扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意，扇形的圆心角为，半径为4， 则该扇形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答本题的关键． 13. 某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算公式，根据概率公式构建方程求解即可． 【详解】解：设袋中白球的个数为x，则总球数为，根据题意得方程： ， 解得： 故袋中白球的个数是2， 故答案为：2． 14. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数图象与x轴有交点，则对应二次方程的判别式大于或等于零，据此列式求解即可． 【详解】解：二次函数 的图象与x轴有交点，即方程 有实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球的运动时间之间的关系式为，则小球的最大高度为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，已知高度h与时间t的关系式为，抛物线开口向下，最大值出现在顶点处．需要先求出顶点的横坐标t，再代入原式求出对应的最大高度h． 【详解】解：， ∵，函数有最大值， 当时，小球运动中的最大高度为20． 故答案为：20． 16. 如图，四边形内接于，垂直平分半径，则__________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定和性质和垂直平分线的性质，理解题意是解决本题的关键． 连接，根据垂直平分线的性质和等边三角形的判定和性质可得和，则，再根据圆周角定理可得的度数． 【详解】解：连接，如下图： ∵垂直平分半径， ∴， 又∵为的半径， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故答案为：60． 17. 已知，是二次函数图象上任意两点，当，时，始终成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，由于抛物线开口向下，对称轴为直线，从而可得当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，根据二次函数的性质并结合题意，分情况讨论的取值范围，求解即可，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， ∵，是二次函数图象上任意两点，当，时，始终成立， ∴结合当时，随着的增大而减小，可得当时，始终成立， 结合当时，随着的增大而增大，可得当，即时，，故不符合题意； 当时，要满足当，时，始终成立，可得，解得； 综上所述：的取值范围是， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，以点为圆心，为半径作交于点，延长交于点，延长交于点，连接交于点．若，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，圆的相关概念，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质． 根据矩形的性质及圆的概念可知，，根据圆周角定理可知，证明，设，则，，证明，得到，即，求出，代入，，求出，，根据计算即可． 【详解】解：∵在矩形中，以点为圆心，为半径作， ∴，， ∴ ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 则， ， ， ， ， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（本题共有6小题，共46分，解答题需要写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 有A，B，C三种款式的帽子，E，F，G三种款式的围巾，小慧任意选一顶帽子和一条围巾、 （1）小慧选择A款式帽子的概率是_____． （2）利用画树状图或列表的方法，求出小慧恰好选中A款式帽子和E款式围巾的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键． （1）直接根据概率公式解答即可； （2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，从中得出恰好选中A款式帽子和E款式围巾的情况，进而求出相应的概率． 【小问1详解】 解：小慧选择A款式帽子的概率是； 故答案为： 【小问2详解】 解：用列表法表示搭配的所有可能性结果如下： 帽子 围巾 A B C G AG BG CG E AE BE CE F AF BF CF 共有9种所有可能出现的结果，其中恰好选中A款式帽子和E款式围巾的有1种， 所以恰好选中A款式帽子和E款式围巾的概率为． 20. 【问题背景】 如图，在中， 【数学操作】 （1）尺规作图：将绕点按顺时针方向旋转得到（点与点对应）． 【图形理解】 （2）连接，求的度数． 【答案】 （1）解：如图，即为所求； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作线段，旋转的性质，等边对等角． （1）以C为圆心，为半径向右作弧，延长，交弧于点E，以C为圆心，为半径向上作弧，交于点D，连接即可； （2）根据旋转的性质得到，根据等边对等角得到，即可求出的度数． 【详解】（1） 略 （2）解：如图： 是由绕点顺时针旋转得到， ， ， ． 21. 如图，在中，点是弦的中点，连接并延长，交于点．若，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理． 连接，根据垂径定理推论得出，由勾股定理可得出的长． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为中点，， ∴，， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的半径为． 22. 某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙的最大可用长度为），中间用一堵墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，设饲养室的宽长，总占地面积为． （1）求关于的函数表达式和的取值范围． （2）当的长为多少米时，围成的饲养室面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，有最大值1800 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）求出，进而根据面积公式计算求出函数表达式，根据的取值范围求解即可； （2）将原表达式化为顶点式，进而作答即可． 【小问1详解】 解：∵长， ∴， ∴， ， 解得， 的取值范围为； 【小问2详解】 解：， ， 当时，有最大值为平方米． 23. 已知抛物线经过点． （1）若抛物线过，求此抛物线的函数表达式． （2）当时，有最大值9，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）将点、代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）将点代入，对称轴为直线，进行分类讨论，然后结合图形及二次函数最大值为即可求解． 【小问1详解】 解：把代入， 得到， 解得． 【小问2详解】 解：把代入，得到， ，对称轴为直线． 当时，此时，取到最大值，代入， 即， 解得． ， 所以舍去． 当时，，将代入， 顶点取到最大值，代入， 得到，即 解得或（舍去）， ． 当时，，将代入， 得到，即，矛盾，不存在． 综上，m的值为5． 24. 如图，锐角内接于于点于点，交于点，延长交于点，连接，． （1）当，时，求的度数． （2）求证：． （3）当时，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 证明：如图，延长交于点H，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理可得，，即可求解； （2）根据直角三角形的性质可得，再由圆周角定理可得，即可求证； （3）延长交于点H，连接，根据圆周角定理可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，然后根据垂径定理可得，可得，即可求证． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $