精品解析：山东省日照市北京路中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

初二年级数学学科2025年上学期期中考试试题 考试时间120分钟 满分120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 以下的新能源汽车品牌标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此得到答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 3. 等腰三角形其中两条边的长度为5和11,则该等腰三角形的周长为（ ） A. 21 B. 27 C. 21或32 D. 21或27 【答案】B 【解析】 【分析】分5为腰和11为腰两种情况，结合三角形三条边的关系解答即可. 【详解】当5为腰时， 5+5<11，不合题意，舍去； 当11为腰时， 11+11+5=27. 故选B. 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 4. 如图，已知，，添加一个条件后，仍然不能证明，这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定方法．由结合等式的性质可得，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：， ， 即， A、添加不能证明，该选项符合题意； B、添加可利用定理证明，该选项不符合题意； C、添加可利用证明，该选项不符合题意； D、添加可利用证明，该选项不符合题意； 故选：A． 5. 在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和的应用和直角三角形的判断．根据三角形内角和为，逐一分析各条件是否能推导出三角形中存在一个直角． 【详解】解：①： 由内角和得，解得，故为直角三角形． ②： 总份数为，最大角，故为直角三角形． ③： 变形得，则，故为直角三角形． ④： 设，则．由，解得，故为直角三角形． 综上，四个条件均成立， 故选：D． 6. 如图，在中，于点，与点，与交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据推出≌，根据全等三角形的性质得出，根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：，， ， ，，， ， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，能求出≌是解此题的关键． 7. 如图，在中，，平分交于点D，点E为边上靠近点C的三等分点，且，若阴影部分面积为4，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，过点D作于点M，于点N，根据角平分线的性质得出，根据，得出，根据，得出，最后求出的面积即可． 【详解】解：过点D作于点M，于点N，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵点E为边上靠近点C的三等分点， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：C． 8. 如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　） A. 210° B. 110° C. 150° D. 100° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根据平角的定义可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，从而求出结论． 【详解】解：∵∠A=30°， ∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150° ∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180° ∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210° 故选A． 【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键． 9. 下列各命题的逆命题一定成立的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查逆命题的定义，需先明确逆命题的定义：将原命题的题设和结论互换，得到的新命题即为逆命题．然后逐一分析每个选项的逆命题是否成立． 【详解】解：选项A的逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题成立； 选项B的逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形，逆命题不成立； 选项C的逆命题：如果，那么，逆命题不成立； 选项D的逆命题：如果，那么，逆命题不成立． 综上，逆命题一定成立的是选项A． 故选：A． 10. 如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边对等角等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． ①根据条件证明即可； ②根据等边对等角和对顶角以及①中全等三角形的性质进行求解即可； ③根据求证出来的条件，找出相等的角，利用等角对等边即可得出结论； ④过点作，交的延长线于点，证明和，得出相等线段，然后利用线段的和差即可得出结论． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， 又∵，， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ③∵，，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④如图，过点作，交的延长线于点， ∵为的角平分线，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由③得， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为①②③④， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求得，的值，代入式子即可解答．本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟练掌握“关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称， ，， ． 故答案为：． 12. △ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，则∠B=______． 【答案】60 【解析】 【详解】解：∵∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°， ∴∠C=∠B+10°=∠A+20°， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A+(∠A+10°)+(∠A+20°)=180°， 解得：∠A=50°， ∴∠B=60°； 故答案为60. 13. 如图，的面积为，垂直的平分线于．则的面积是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，构造辅助线是解题的关键．延长交于点，先证，得到，然后过作于点，于，证是的中位线，再根据三角形的面积公式得出即可求解． 【详解】解：延长交于点， ， ， 平分， ， ， ， ， 过作于点，于， ， ， 是的中位线， ， , 故答案为：2． 14. 如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出，由作法可知，是的平分线，得到，由作法可知， 是线段的垂直平分线，得到，再由三角形外角定理即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 由作法可知，是的平分线， ∴， 由作法可知， 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 电子蜘蛛在边长为1的正方形网格上织网，若电子蜘蛛从出发，先爬到，再下一步爬到……以这样的规律织网．例如，再下一步即．若，则的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是坐标规律探究，根据移动规律，点的坐标每4步循环一次，因此计算2025除以4的余数即可得到答案. 【详解】解：由移动规律可得：， ， ，即， ，即， ，即 ， ∴坐标每4步一次循环， ∵，， ∴. 故答案为：. 三、解答题（共75分） 16. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的角平分线，AD，CE交于F点，当∠BAC＝80°，∠B＝40°时，求∠ACB、∠AEC、∠AFE的度数． 【答案】∠ACB=60°，∠AEC=70°，∠AFE=60° 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理，可得∠ACB的度数，根据角平分线的定义，可得∠ECB的度数，根据三角形外角的性质，可得∠AEC的度数；根据直角三角形的性质，可得∠CFD的度数，根据对顶角的性质，可得答案． 【详解】解：由三角形的内角和定理，得 ∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-80°=60°； 由CE是△ABC的角平分线，得 ∠BCE=∠ACB=×60°=30°， 由∠AEC是△BCE的外角，得 ∠AEC=∠B+∠BCE=40°+30°=70°； 由AD⊥BC，得 ∠FDC=90°， ∠CFD=90°-∠FCD=90°-30°=60°， 由对顶角相等，得 ∠AFE=∠CFD=60°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，利用了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的性质． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）写出点C关于轴的对称点的坐标______； （3）点Q是轴上的一个动点，当的周长最小时，在图中画出点Q的位置，并写出点的坐标为______． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求． （2） （3）如图， 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，正确得出对应点的位置是解题的关键． （1）直接利用关于轴对称点的性质得出答案； （2）根据关于轴对称点的性质得出关于点C关于轴的对称点的坐标； （3）利用轴对称求最短路径的方法得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点C关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：连接交轴于点，此时的周长最小． 点的坐标为． 故答案为：． 18. 如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（）， （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，由中点定义可得，再利用即可证得结论； （2）利用全等三角形的性质可得，再由即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）得：， ∴， ∵，， ∴． 19. 如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到．标记此时直杆的底端点； 第三步：测量的长度，即为点距地面的高度． （1）请你说明这样设计的理由； （2）若测得，求的长度． 【答案】（1） 解：， ， 在与中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质． （1）由垂直的定义可得出，由题意可知，，结合已知条件利用证明，由全等三角形的性质可得出． （2）利用全等三角形的性质可得出，，根据即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，， ， 即 20. 项目式学习 项目主题 设计与制作风筝 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”，以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． 驱动任务一 在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半． 驱动任务二 用纸竹条扎制风筝骨架，竹条与的交点为（如图2），测得．下面结论错误的是___________（单选题） A．平分 B． C． D． 驱动任务三 将制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良． （1）若，则风筝的面积是___________． （2）为了使风筝更美观，需要在风筝上画上蝴蝶图案，若以所在直线为x轴，所在直线为y轴，两轴交点O为原点建立平面直角坐标系，在的左侧选一点画上蝴蝶的一只眼睛，在（___________）上画另一只眼睛，才能使图案更美观． 项目小结 为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结、用到的数学知识为：对应点所连线段被对称轴___________． 【答案】任务一：图形如图所示： 任务二：C ； 任务三：（1）（2） ；项目小结：垂直平分 【解析】 【分析】本题考查轴利用方格纸作图，轴对称性质，四边形面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 任务一：根据轴对称变换的性质作出图形； 任务二：利用轴对称图形的性质判断即可； 任务三：（1）四边形的面积，可证得四边形的面积等于四边形两对角线乘积的一半，据此求解即可；（2）关于轴对称，利用轴对称图形的性质确定位置 项目小结：根据轴对称性质补全问题即可． 【详解】任务一：略 任务二：∵ ∴在的垂直平分线上， ∴，故D正确； ∵，， ∴， ∴， 即平分， 故A正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故B正确， 但无法推出， 故选：； 任务三：（1）四边形的面积 ． 故答案为：； （2）关于轴对称，∵， ∴， 故答案为：； 项目小结：对应点的连线被对称轴垂直平分． 故答案为：垂直平分． 21. 在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． （1）求证：； （2）当时，求证：平分． 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 证明：由上一问得， ∴，， 由上一问得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 记与相交于点H， 中，， 中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是证明． （1）根据直角三角形的判定定理证明即可； （2）先由，可得，，再根据等边对等角，可得，由此可得，再根据三角形内角和为，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，是的角平分线，H，G分别在上，且 （1）求证：与互补； （2）若，请探究线段与线段之间满足的等量关系，并加以证明. 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴， 在上取一点M，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，应用角平分线构造全等是常用的构造全等的方法，遇到角平分线常有“翻折构造全等”、“作角边的垂线段”两种辅助线方法． （1）在上取一点M，使得，连接，则利用可得出，从而得出，即有，通过转化可证明结论； （2）由（1）的结论中得出的，结合三角形的外角可得，可将转化为，从而在线段上可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：．理由如下， 由（1），， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可证三角形全等； （2）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质可进行求解； （3）分别过点E、D作，垂足分别为F、N，由题意易证，则有，同理可得，然后可得，进而可得，最后根据线段的等量关系可进行求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）分别过点E、D作，垂足分别为F、N，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级数学学科2025年上学期期中考试试题 考试时间120分钟 满分120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 以下的新能源汽车品牌标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 3. 等腰三角形其中两条边的长度为5和11,则该等腰三角形的周长为（ ） A. 21 B. 27 C. 21或32 D. 21或27 4. 如图，已知，，添加一个条件后，仍然不能证明，这个条件是（ ） A. B. C. D. 5. 在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，在中，于点，与点，与交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，平分交于点D，点E为边上靠近点C的三等分点，且，若阴影部分面积为4，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　） A. 210° B. 110° C. 150° D. 100° 9. 下列各命题的逆命题一定成立的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果，那么 D. 如果，那么 10. 如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为______． 12. △ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，则∠B=______． 13. 如图，的面积为，垂直的平分线于．则的面积是_____． 14. 如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算________． 15. 电子蜘蛛在边长为1的正方形网格上织网，若电子蜘蛛从出发，先爬到，再下一步爬到……以这样的规律织网．例如，再下一步即．若，则的坐标是______． 三、解答题（共75分） 16. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的角平分线，AD，CE交于F点，当∠BAC＝80°，∠B＝40°时，求∠ACB、∠AEC、∠AFE的度数． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）写出点C关于轴的对称点的坐标______； （3）点Q是轴上的一个动点，当的周长最小时，在图中画出点Q的位置，并写出点的坐标为______． 18. 如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到．标记此时直杆的底端点； 第三步：测量的长度，即为点距地面的高度． （1）请你说明这样设计的理由； （2）若测得，求的长度． 20. 项目式学习 项目主题 设计与制作风筝 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”，以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． 驱动任务一 在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半． 驱动任务二 用纸竹条扎制风筝骨架，竹条与的交点为（如图2），测得．下面结论错误的是___________（单选题） A．平分 B． C． D． 驱动任务三 将制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良． （1）若，则风筝的面积是___________． （2）为了使风筝更美观，需要在风筝上画上蝴蝶图案，若以所在直线为x轴，所在直线为y轴，两轴交点O为原点建立平面直角坐标系，在的左侧选一点画上蝴蝶的一只眼睛，在（___________）上画另一只眼睛，才能使图案更美观． 项目小结 为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结、用到的数学知识为：对应点所连线段被对称轴___________． 21. 在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． （1）求证：； （2）当时，求证：平分． 22. 如图，是的角平分线，H，G分别在上，且 （1）求证：与互补； （2）若，请探究线段与线段之间满足的等量关系，并加以证明. 23. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $