精品解析：湖南省湘潭市湘钢一中教育集团市十二中2025-2026学年上学期期中调研 九年级数学学科试题卷

2025年下学期湘钢一中教育集团市十二中期中调研 九年级数学学科试题卷 时量：120分钟 满分：120 一、单选题（本大题共10小题，每个3分，共30分） 1. 反比例函数的图象经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第二、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质即可判断，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数 的图象经过第一、三象限， 故选：A． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解决此题的关键是避免遗漏隐含限制（如系数不为零）；根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解： 一元二次方程需满足：①一个未知数；②最高次项为2次；③整式方程． A：当时，方程变为，不是二次方程，故不一定是一元二次方程，故错误； B：含有两个未知数和，不是一元方程，故错误； C：方程中含有分式，不是整式方程，故错误； D：只含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故正确． 故选：D． 3. 如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，掌握特殊角的正切值是解题的关键．坡角的正切值等于坡比，即可求解． 【详解】解：设斜坡的坡角为，依题意， ∴斜坡的坡角等于 故选：A． 4. 拉布布（）作为中国潮玩品牌泡泡玛特旗下的核心，其全球爆火不仅是一次商业奇迹，更是中国文化输出的创新范式．某商店在今年6月和8月拉布布的销售额分别是万元和万元．设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，则7月拉布布的销售额为万元，则8月拉布布的销售额为，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 5. 如图，在中，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴的值为． 故选：B． 6. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，掌握黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解答本题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得·：， 故选：C． 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 2：5 D. 5：2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据位似的性质得到与的位似比为，再利用比例性质得到，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：与是位似图形，点为位似中心， 且 又 故选：C． 【点睛】本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题． 8. 已知一元二次方程的两根为，，则的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，，从而即可求解． 【详解】解：由一元二次方程的两根分别为，， ∴，， ∴； 故选：C． 9. 如图，点、分别在、上，且与不平行，添加一个条件，可得，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是由相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：A、B中的条件，又，由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定，故不符合题意； C、，又，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故不符合题意； D、，两边对应成比例，但夹角和不一定相等，不能判定，故符合题意． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A 是直线上的一动点，点 B在双曲线 上，点B 的纵坐标为，点 P 是x轴正半轴上的一动点，连接．当四边形是矩形时，k的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．如图，过作于点，过作于点，根据点B 的纵坐标为，结合矩形的性质，得到，将代入，求出，得到，利用勾股定理求出，证明，求出，由矩形的性质得到，再利用勾股定理求出，得到，代入即可解答． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， ∵点B 的纵坐标为，四边形是矩形， ∴，， 将代入，则，解得， ∴， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，则． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每个3分，共24分） 11. 方程的实数解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 12. 已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ______． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 据题目所给的等式求出的值，即可求出的大小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13. 若点和在反比例函数图象上，则________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的增减性，根据反比例函数的解析式得到该函数在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点和都在第一象限，且， ∴． 故答案为： 14. 如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示．则I与R之间的函数关系式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想是解答本题的关键．设电流（A）与电阻之间的函数关系，根据待定系数法求得． 【详解】解：由图象可知，电流（A）与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流（A）与电阻之间的函数关系为， 点在函数的图象上， ， 解得：， 电流（A）与电阻之间的函数关系为， 故答案为：． 15. 如果，那么_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例关系． 由已知比例关系，设公共比值，代入所求表达式化简即可． 【详解】解：设，则，． ∴． 故答案为：． 16. 已知是方程的一个根，代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值． 先根据m是方程的一个根得到，再将变形为，然后利用整体代入的方法进行计算即可得到答案． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 17. 把方程化成形式，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将一元二次方程化为平方形式，然后比较常数项即可． 【详解】解：对于方程， 移项得， 两边加上一次项系数一半的平方（即9）得， 即， ∴， 与形式比较，得． 故答案为：． 18. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan 15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到点D，使BD=AB，连接AD，得∠D=15°， 所以tan 15°==．类比这种方法，计算的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，可知AC=BC，延长CB到点D，使BD=AB，得∠D=22.5°，根据勾股定理求出AB=，可求CD= ，利用定义求tan 22.5°，取倒数即可． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°， ∴AC=BC， 延长CB到点D，使BD=AB， 得∠D=22.5°， 根据勾股定理AB=， CD=BC+BD=AC+AB=， tan 22.5°=， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查类比方法求三角函数值，勾股定理，掌握三角函数的定义，勾股定理的应用，以及构图取半角的方法是解题关键． 三、解答题（本大题8个小题，19-20每小题6分，21-22每小题8分，23-24每小题9分，25-26每小题10分，共计66分） 19. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查含特殊角的三角函数的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握相关解法是解答的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再求负整数指数幂，然后二次根式的加减运算即可求解； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）原方程化为 ∴，． 20. 已知关于x的方程，求：当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 【答案】当且时，方程有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得解． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， ∴当且时，方程有两个不相等的实数根． 21. 如图，在中，是角平分线，点是边上一点，且满足． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，结合即可得证； （2）由相似三角形的性质可得，代入计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ，， ， 故． 22. 近年来，电商平台带货主播成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的购书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． （1）若每本降价10元，每天可销售______本书，每天销售获利为______元； （2）若降价销售该书，每天的利润为6000元，求该书的销售单价． 【答案】（1）， （2）20元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据销售单价每降低5元，每天可多销售100本即可求得； （2）根据“总利润每千克利润销售量”列方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． ∴降价10元，平均每天可销售： 每天销售获利：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设该书的销售单价为元， 依题意有： 化简得： ， 解得：， ∵， ∴； 答：该书的销售单价20元． 23. 如图，已知点，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）请求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）若直线与轴的交点为点，请求出点的坐标及的面积． （3）结合图像直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2），5； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，主要熟练掌握用待定系数法求函数的解析式．掌握数形结合的思想． （1）代入反比例函数，进而得出，再代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）把代入得，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）结合函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：∵是反比例函数上的点， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， ∵是反比例函数上的点， ∴，则， 把，代入， 得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：把代入得，则， 又∵，， ∴ ； 【小问3详解】 解：由图可知，时，或． 24. 万楼是湘潭的标志性建筑，学完了三角函数知识后，十二中“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量黄河楼的高度，他们把“测量黄河楼的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 请根据表中的测量数据，求万楼的高；（精确到0.1米，参考数据，，，）； 课题 测量万楼的高 测量说明 测量示意图 说明：是高为米的测角仪，在点处测得楼顶的仰角，点处测得此时楼顶的仰角，（、、三点在同一条直线上） 测量数据 的度数 的度数 的水平距离 73米 【答案】 98.2米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题. 根据题意可得，设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得， 设米， 则米， 在中，， ∴， 在中，， ∴米， ∴， 解得， ∴， ∴ ， 答：万楼的高约为米． 25. 我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． （1）仿照以上方法解方程： ①； ②； （2）已知：，且，求的值． 【答案】（1）①，；②原方程有三个根：，， （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程—配方法，换元法，因式分解法，解题的关键是学会模仿例题解决问题． （1）模仿例题解决问题即可； （2）求出的值，利用降次思想求解即可． 【小问1详解】 解：①设，则原方程可变为，解得， 当时，即，∴无解（舍去） 当时，即，，． ②将其变形为： ， ， 或 原方程有三个根：，，． 【小问2详解】 ， ，且 ， 原式． 26. 中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． （1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值； （3）若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； （3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系． 【小问1详解】 证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； 【小问2详解】 如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； 【小问3详解】 如图3，过点作交于， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期湘钢一中教育集团市十二中期中调研 九年级数学学科试题卷 时量：120分钟 满分：120 一、单选题（本大题共10小题，每个3分，共30分） 1. 反比例函数的图象经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第二、三象限 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（ ） A. B. C. D. 4. 拉布布（）作为中国潮玩品牌泡泡玛特旗下的核心，其全球爆火不仅是一次商业奇迹，更是中国文化输出的创新范式．某商店在今年6月和8月拉布布的销售额分别是万元和万元．设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 2：5 D. 5：2 8. 已知一元二次方程的两根为，，则的值为 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，点、分别在、上，且与不平行，添加一个条件，可得，不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A 是直线上的一动点，点 B在双曲线 上，点B 的纵坐标为，点 P 是x轴正半轴上的一动点，连接．当四边形是矩形时，k的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、填空题（本大题共8小题，每个3分，共24分） 11. 方程的实数解是___________． 12. 已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ______． 13. 若点和在反比例函数图象上，则________（填“>”“<”或“=”）． 14. 如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示．则I与R之间的函数关系式是_________． 15. 如果，那么_____． 16. 已知是方程的一个根，代数式的值是________． 17. 把方程化成形式，则_____． 18. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan 15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到点D，使BD=AB，连接AD，得∠D=15°， 所以tan 15°==．类比这种方法，计算的值为_______． 三、解答题（本大题8个小题，19-20每小题6分，21-22每小题8分，23-24每小题9分，25-26每小题10分，共计66分） 19. （1）计算： （2）解方程： 20. 已知关于x的方程，求：当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 21. 如图，在中，是角平分线，点是边上一点，且满足． （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. 近年来，电商平台带货主播成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的购书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． （1）若每本降价10元，每天可销售______本书，每天销售获利为______元； （2）若降价销售该书，每天的利润为6000元，求该书的销售单价． 23. 如图，已知点，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）请求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）若直线与轴的交点为点，请求出点的坐标及的面积． （3）结合图像直接写出不等式的解集． 24. 万楼是湘潭的标志性建筑，学完了三角函数知识后，十二中“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量黄河楼的高度，他们把“测量黄河楼的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 请根据表中的测量数据，求万楼的高；（精确到0.1米，参考数据，，，）； 课题 测量万楼的高 测量说明 测量示意图 说明：是高为米的测角仪，在点处测得楼顶的仰角，点处测得此时楼顶的仰角，（、、三点在同一条直线上） 测量数据 的度数 的度数 的水平距离 73米 25. 我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． （1）仿照以上方法解方程： ①； ②； （2）已知：，且，求的值． 26. 中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． （1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值； （3）若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $