以指数函数为背景的复合函数与分段函数的性质、指数的实际应用问题专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

以指数函数为背景的复合函数与分段函数的性质、指数的实际应用问题专项训练 以指数函数为背景的复合函数与分段函数的性质、指数的实际应用问题专项训练 考点目录 以指数函数为背景的复合函数的性质 以指数函数为背景的分段函数的性质 指数的实际应用问题 考点一 以指数函数为背景的复合函数的性质 例1．（25-26高一上·陕西西安·期中·多选）已知是奇函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 例2．（25-26高一上·浙江宁波·期中·多选）已知函数，则以下结论正确的是（   ） A．图象有对称轴 B．是偶函数 C．有最大值3 D．有最小值2 例3．（25-26高一上·辽宁大连·期中·多选）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．的图象过定点 C．为偶函数 D．当时，函数的最大值是0 例4．（25-26高一上·江西·月考）已知函数． (1)求的值域； (2)求不等式的解集； (3)若的解集为R，求的取值范围． 例5．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知定义域为的函数是奇函数 (1)求实数b的值 (2)判断并用定义法证明在上的单调性 (3)若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围 例6．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求在区间上的最大值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 变式1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中·多选）已知函数，则（    ） A．不等式解集为 B．的图图像关于轴对称 C．是上的递增函数 D．的值域为 变式2．（25-26高一上·浙江·期中·多选）已知函数，则（    ） A．函数图象关于原点成中心对称 B．当时，函数在上单调递增 C．当时，函数有最大值，且最大值为 D．若恒成立，则实数的取值范围为 变式3．（25-26高三上·贵州贵阳·期中·多选）已知函数，则（   ） A． B． C．对任意实数， D．对任意实数， 变式4．（25-26高一上·云南·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)证明：； (3)若的最小值为求实数的值. 变式5．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)证明：函数是在上的增函数； (3)对于任意的，不等式恒成立，求常数的取值范围． 变式6．（25-26高一上·江西·期中）已知且是上的奇函数，且. (1)求的值； (2)设.求的解析式，并求其值域； (3)在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 考点二 以指数函数为背景的分段函数的性质 例1．（25-26高一上·河南新乡·期中·多选）已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　） A． B． C．8 D．16 例2．（25-26高一上·山西太原·期中·多选）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当时， C．当时， D．不等式的解集是 例3．（25-26高一上·新疆·月考·多选）函数，在上单调递减，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一上·福建厦门·期中·多选）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．当时， B．当时，方程只有一个实数解 C．当时，的解集为 D．当在上单调递增时，的取值范围为 变式2．（25-26高一上·宁夏固原·期中·多选）已知函数是定义在R上的减函数，则a的取值可以是 （    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·吉林·期中·多选）已知函数，其中，且，则（　　） A． B． C． D．函数有2个零点 考点三 指数的实际应用问题 例1．（25-26高一上·安徽·月考）预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（    ） A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C．若在某一时期内，则这期间人口数呈摆动变化 D．若在某一时期内，则这期间人口数不变 例2．（25-26高一上·重庆·期中）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密）．现在加密密钥为（，且），如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是（   ） A．－18 B．－15 C．15 D．18 例3．（25-26高一上·上海·期中）某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 例4．（24-25高二上·安徽六安·月考）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在时的保鲜时间是100小时，在时的保鲜时间是10小时，则该食品在时的保鲜时间是 小时. 例5．（25-26高一上·云南昆明·期中）一片森林原来面积为万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积占剩余面积的百分比相等，当砍伐了面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年； (3)今后最多还能砍伐多少年. 例6．（24-25高一上·广东汕头·期末）每逢节假日，汕头小公园开埠区总是游人如织，这里的骑楼风貌、非遗展演、戏亭印象、时尚潮玩，总能让慕名而来的游客感受到“最潮最老”的潮汕文化.经统计，汕头小公园开埠区2021年至2023年春节期间的游客人数如下表所示： 年份 2021年 2022年 2023年 年份代码x 1 2 3 游客人数y（单位：万人） 120 180 270 根据上述数据，汕头小公园开埠区春节期间的游客人数y（万人）与年份代码x（注：记2021年的年份代码为，2022年的年份代码为，依此类推）有两个函数模型可供选择：①，② (1)试判断哪个函数模型更合适（给出判断即可，不必说明理由），请根据你的判断结果以及表中数据求出该函数模型的函数解析式； (2)为提升游客的旅游体验，汕头市需提前做好各项准备.请问大约在哪一年，汕头小公园开埠区春节期间的游客量约是2022年的3倍？（参考数据：） 变式1．（25-26高一上·浙江温州·期中）1986年4月26日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染.主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为.专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年.到2025年4月26日，原有的锶90还剩（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 变式3．（25-26高一上·湖北武汉·月考）酒驾新规来了，2024年3月1日起实施，新国标将酒驾的上限从降低到了，也就是说，只要驾驶员血液中酒精含量超过了，就属于违法行为.某人饮酒后，体内血液酒精含量迅速上升到，然后血液酒精含量会以每小时的速度减少，则按照新规他至少经过 小时后才能开车.（参考数据：） 变式4．（25-26高一上·河南三门峡·月考）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式，求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.若现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度是，则 （参考值，） 变式5．（25-26高一上·陕西渭南·月考）阅读下面两个主题，请同学们利用所给的数学模型解决提出的问题. 【主题一】【认清毒性，保护自我】 新型冠状病毒肺炎以发热､干咳､乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征､脓毒症休克､难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为多少？（参考数据：） 【主题二】【响应号召，接种疫苗】 流感疫苗的有效作用可以维持一年左右，建议每年接种一次，特别是儿童､老年人以及体质较弱的年轻人.某疫苗研发工厂用于生产疫苗的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本为，已知（万元）.当每件商品售价为0.05万元时，通过市场分析，该厂生产的废苗能全部售完.当年产量为多少千件时，生产该疫苗所获利润最大？ 变式6．（25-26高一上·江西·月考）某化工厂在进行生产的过程中由于机器故障导致某种试剂含量超标，已知该试剂超标后会产生一种有毒气体，在疏散工人，处理好超标试剂后，工厂启动应急系统进行处理，已知工厂内部有毒气体的浓度与应急系统处理时间t（小时）之间存在函数关系（其中），且应急系统处理2小时后，有毒气体的浓度为162ppm，继续处理，再过6小时后，有毒气体的浓度为48ppm． (1)求a，λ的值； (2)当有毒气体的浓度降低到以下（含）时，工厂能够正常运行，假设从启动应急系统开始经过t小时后，工厂能够恢复正常生产，求t的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以指数函数为背景的复合函数与分段函数的性质、指数的实际应用问题专项训练 以指数函数为背景的复合函数与分段函数的性质、指数的实际应用问题专项训练 考点目录 以指数函数为背景的复合函数的性质 以指数函数为背景的分段函数的性质 指数的实际应用问题 考点一 以指数函数为背景的复合函数的性质 例1．（25-26高一上·陕西西安·期中·多选）已知是奇函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 【答案】AC 【详解】因为是奇函数，定义域， 所以当时，恒成立， 即，A正确； 所以， 记， 当时，单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在上单调递减，B错误； 因为且， 所以且， 所以或 所以或 所以的值域为，C正确； 因为，且在上单调递减 所以等价于 又因为单调递减， 所以 所以的解集为.D错误. 故选：AC 例2．（25-26高一上·浙江宁波·期中·多选）已知函数，则以下结论正确的是（   ） A．图象有对称轴 B．是偶函数 C．有最大值3 D．有最小值2 【答案】AC 【详解】函数的定义域为， 对于A ：因为，， 所以，则关于对称，故A正确； 对于B：因为，所以不是偶函数，故B错误； 对于C、D：因为，所以，所以，即， 所以有最大值，无最小值，当且仅当时取得最大值，故C正确，D错误. 故选：AC 例3．（25-26高一上·辽宁大连·期中·多选）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．的图象过定点 C．为偶函数 D．当时，函数的最大值是0 【答案】BCD 【详解】A：当时，在上单调递减，则在上单调递减， 当时，在上单调递增，则在上单调递增， 故在上的单调性与的取值有关，故A错误； B：，故的图象过定点，故B正确； C：， 由，则，， 故为偶函数，故C正确； D：当时，，令， 则在上单调递减，故， 即当时，函数的最大值是，故D正确. 故选：BCD 例4．（25-26高一上·江西·月考）已知函数． (1)求的值域； (2)求不等式的解集； (3)若的解集为R，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）已知函数 ，即， 因为，所以，则, 因此，即的值域为 . （2），设 ()，不等式变为： ，化简得；， 展开右边并移项； 解得： 结合，得，即，因此. （3）令 ，，不等式变为，因式分解得， 所以，当时，不等式恒成立， 若，不等式解为，需， 若，不等式解为，需，即 ， 若，不等式为，不成立. 综上， a的取值范围为. 例5．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知定义域为的函数是奇函数 (1)求实数b的值 (2)判断并用定义法证明在上的单调性 (3)若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围 【答案】(1) (2)减函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）由于定义域为的函数是奇函数， 所以解得； （2）在上是减函数. 证明如下:设任意， ∵，∴，即，∴， ∴在上是减函数 ， （3）不等式， 由奇函数得到， 所以， 因为在上是减函数， ∴，对恒成立， 令，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 例6．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求在区间上的最大值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)20 (3) 【详解】（1）由，得，解得. （2）当时，， 令，因为，所以， 所以， 当时，取最大值，所以在区间上的最大值为. （3）若对任意的，总存在，使得， 可得：. 又， 所以， 所以对任意的，， 则对任意的恒成立， 即，. 令，即，令，. 因为在区间上为增函数，所以 所以实数的取值范围是. 变式1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中·多选）已知函数，则（    ） A．不等式解集为 B．的图图像关于轴对称 C．是上的递增函数 D．的值域为 【答案】ACD 【详解】 对于A，由得，即，解得.故A正确； 对于B，因为，所以函数是奇函数，其图像关于原点对称，不关于y轴对称，故B不正确； 对于C，因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数， 因此函数是增函数，故C正确； 对于D，由，所以函数的值域为，故D正确. 故选：ACD. 变式2．（25-26高一上·浙江·期中·多选）已知函数，则（    ） A．函数图象关于原点成中心对称 B．当时，函数在上单调递增 C．当时，函数有最大值，且最大值为 D．若恒成立，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【详解】由已知， 则， 即函数为偶函数，关于轴对称，A选项错误； 当时，， 设，，则在上单调递减，在上单调递增， 则； 又，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 又函数为偶函数， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增； 即B选项正确； 当时，函数在或处取得最大值为，C选项正确； 由恒成立可知，且，解得，D选项正确； 故选：BCD. 变式3．（25-26高三上·贵州贵阳·期中·多选）已知函数，则（   ） A． B． C．对任意实数， D．对任意实数， 【答案】AC 【详解】因为函数，所以在上单调递增， 因为，所以，， 所以， . 故选：AC． 变式4．（25-26高一上·云南·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)证明：； (3)若的最小值为求实数的值. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 由题意，得， 因为，所以为奇函数. （2）由，则， ， 所以得证. （3）由，得， 令，所以， ①当时在上单调递增，，解得； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得（舍去）. 综上所述，实数的值为. 变式5．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)证明：函数是在上的增函数； (3)对于任意的，不等式恒成立，求常数的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3). 【详解】（1）函数的定义域为，由是奇函数，得，解得， 函数，，是奇函数， 所以. （2）由（1）知， 设，且，， 当时，，则，即， 所以函数是在上的增函数． （3）不等式， 依题意，任意，不等式恒成立， 由（2）知函数在上单调递增，则不等式对恒成立， 令，而均为增函数，则是增函数， 由，得，且， 因此不等式在上恒成立， 设，由函数开口向上，得， 则，解得， 所以的取值范围是. 变式6．（25-26高一上·江西·期中）已知且是上的奇函数，且. (1)求的值； (2)设.求的解析式，并求其值域； (3)在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)，值域为 (3)或 【详解】（1）是定义在上的奇函数，，解得：； 当时，， 则，满足为奇函数； ，，又且，； 综上所述：，. （2）由（1）得：， ， ，，定义域为， . ，， （当且仅当时取等号），， ，，的值域为. （3）由题意知：， ， ； 为奇函数，图象关于中心对称， 图象关于中心对称，， ； 若存在正整数，使不等式有解，则， ，解得：， 存在正整数或，使不等式有解. 考点二 以指数函数为背景的分段函数的性质 例1．（25-26高一上·河南新乡·期中·多选）已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　） A． B． C．8 D．16 【答案】CD 【详解】如图，作出函数的大致图象， 由，可得. 由图可知，与有且两个不同的交点， 即方程有两个不等的实根， 而方程有三个不等的实根 得到方程有且只有一个实根， 即与有且只有一个交点， 故或，解得或. 故选：CD. 例2．（25-26高一上·山西太原·期中·多选）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当时， C．当时， D．不等式的解集是 【答案】AC 【详解】由为的奇函数，则，A对， 令，则，所以，B错， 由，则，且，C对， 当，则，则， 当，则，则， ， 依次类推， 当，，有， 当，，有， 所以且，显然， 当，，若， 而，显然在上恒成立， 当，，若， 当时，，则，显然不等式恒成立， 当时，，则，此时不等式解集为， 当且，时，无解， 综上，的解集为，D错. 故选：AC 例3．（25-26高一上·新疆·月考·多选）函数，在上单调递减，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可知，，所以． 所以． 即a的取值范围是． 故选：AC 变式1．（25-26高一上·福建厦门·期中·多选）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．当时， B．当时，方程只有一个实数解 C．当时，的解集为 D．当在上单调递增时，的取值范围为 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，，则， 故，故A正确； 对于B，当时，， 若，则，解得（舍去）或； 若，则，无解， 综上所述，方程只有一个实数解，故B正确； 对于C，当时，显然满足， 而时，，则，故C错误； 对于D，由在上单调递增，其中在上单调递增， 要使时也单调递增，显然， 当时，在上单调递增，此时，满足题意； 当时，开口向上，对称轴，即在上单调递增， 此时，满足题意， 综上所述，，故D正确. 故选：ABD 变式2．（25-26高一上·宁夏固原·期中·多选）已知函数是定义在R上的减函数，则a的取值可以是 （    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为函数是定义在R上的减函数， 所以， 因为，所以选项A不符合题意；显然选项B符合题意； 因为，所以选项，因此C符合题意； 因为，所以，因此选项D符合题意， 故选：BCD 变式3．（25-26高一上·吉林·期中·多选）已知函数，其中，且，则（　　） A． B． C． D．函数有2个零点 【答案】AC 【详解】对于A，由函数，可得， 所以，所以A正确； 对于B，根据二次函数与指数函数的图象与性质，画出函数的图象，如图所示， 要使得，可得，即，所以B不正确； 对于C，当时，，可得的对称轴为，所以， 由，令，可得，解得， 所以，即， 所以，所以C正确； 对于D，由函数， 因为，可得， 当时，方程，结合图象知，方程只有1个实数根； 当时，方程，即， 可得，此时方程有2个实数根据， 所以函数共有3个零点，所以D错误. 故选：AC. 考点三 指数的实际应用问题 例1．（25-26高一上·安徽·月考）预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（    ） A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C．若在某一时期内，则这期间人口数呈摆动变化 D．若在某一时期内，则这期间人口数不变 【答案】C 【详解】当时，，则逐渐变小，所以这期间人口数呈下降趋势，故A正确； 当时，，则逐渐变大，所以这期间人口数呈上升趋势，故B正确，C错误； 时，，则值不变，所以这期间人口数不变，故D正确. 故选：C. 例2．（25-26高一上·重庆·期中）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密）．现在加密密钥为（，且），如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是（   ） A．－18 B．－15 C．15 D．18 【答案】A 【详解】由题意，， ， 则， 故选：A. 例3．（25-26高一上·上海·期中）某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 【答案】23 【详解】由题意，所以，即， 所以时，， 故答案为：23. 例4．（24-25高二上·安徽六安·月考）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在时的保鲜时间是100小时，在时的保鲜时间是10小时，则该食品在时的保鲜时间是 小时. 【答案】1 【详解】某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数， 若该食品在时的保鲜时间是100小时，在时的保鲜时间是10小时， 则，解得，当时，， 所以该食品在时的保鲜时间是1小时. 故答案为：1. 例5．（25-26高一上·云南昆明·期中）一片森林原来面积为万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积占剩余面积的百分比相等，当砍伐了面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年； (3)今后最多还能砍伐多少年. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为， 则，即，解得， 所以每年砍伐面积的百分比为； （2）设到今年为止，该森林已砍伐了年， 则，即，化简得， 所以，解得， 故到今年为止，该森林已砍伐了年； （3）设从今年开始，以后砍伐了年，则年后剩余面积为， 令，即，即， 所以，解得， 故今后最多还能砍伐年. 例6．（24-25高一上·广东汕头·期末）每逢节假日，汕头小公园开埠区总是游人如织，这里的骑楼风貌、非遗展演、戏亭印象、时尚潮玩，总能让慕名而来的游客感受到“最潮最老”的潮汕文化.经统计，汕头小公园开埠区2021年至2023年春节期间的游客人数如下表所示： 年份 2021年 2022年 2023年 年份代码x 1 2 3 游客人数y（单位：万人） 120 180 270 根据上述数据，汕头小公园开埠区春节期间的游客人数y（万人）与年份代码x（注：记2021年的年份代码为，2022年的年份代码为，依此类推）有两个函数模型可供选择：①，② (1)试判断哪个函数模型更合适（给出判断即可，不必说明理由），请根据你的判断结果以及表中数据求出该函数模型的函数解析式； (2)为提升游客的旅游体验，汕头市需提前做好各项准备.请问大约在哪一年，汕头小公园开埠区春节期间的游客量约是2022年的3倍？（参考数据：） 【答案】(1)模型①更合适， (2)2025年 【详解】（1）选择函数模型①更合适， 将代入模型①，可得，解得， 所以函数解析式为； （2）因为2022年的游客量约为180万人，所以当汕头小公园的游客量约是2022年的3倍时， 约是540万人，即，整理可得， 所以. 故大约在2025年，汕头小公园的游客量约是2022年的3倍． 变式1．（25-26高一上·浙江温州·期中）1986年4月26日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染.主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为.专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年.到2025年4月26日，原有的锶90还剩（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设年后的锶90的剩余含量为， 则， 从1986年4月26日到2025年4月26日，经过39年， 所以原有的锶90还剩. 故选：A 变式2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】设经过个小时才能驾驶，则，即， 由于函数在定义域上单调递减， 所以， 故他至少经过7小时才能驾驶. 故选：D. 变式3．（25-26高一上·湖北武汉·月考）酒驾新规来了，2024年3月1日起实施，新国标将酒驾的上限从降低到了，也就是说，只要驾驶员血液中酒精含量超过了，就属于违法行为.某人饮酒后，体内血液酒精含量迅速上升到，然后血液酒精含量会以每小时的速度减少，则按照新规他至少经过 小时后才能开车.（参考数据：） 【答案】7 【详解】设他至少经过x小时后才能开车， 则，即， 故（小时）， 即他至少经过7小时后才能开车， 故答案为：7 变式4．（25-26高一上·河南三门峡·月考）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式，求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.若现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度是，则 （参考值，） 【答案】0.24/ 【详解】依题意，，把数据代入公式中，整理得：， 两边取自然对数，可得：，即得：. 故答案为：0.24. 变式5．（25-26高一上·陕西渭南·月考）阅读下面两个主题，请同学们利用所给的数学模型解决提出的问题. 【主题一】【认清毒性，保护自我】 新型冠状病毒肺炎以发热､干咳､乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征､脓毒症休克､难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为多少？（参考数据：） 【主题二】【响应号召，接种疫苗】 流感疫苗的有效作用可以维持一年左右，建议每年接种一次，特别是儿童､老年人以及体质较弱的年轻人.某疫苗研发工厂用于生产疫苗的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本为，已知（万元）.当每件商品售价为0.05万元时，通过市场分析，该厂生产的废苗能全部售完.当年产量为多少千件时，生产该疫苗所获利润最大？ 【答案】【主题一】【主题二】当年产量为99千件时，生产该疫苗所获利润最大. 【详解】【主题一】，则，所以， 解得 【主题二】， 万元， 当且仅当即时，取得最大值为万元. 所以当年产量为99千件时，生产该疫苗所获利润最大. 变式6．（25-26高一上·江西·月考）某化工厂在进行生产的过程中由于机器故障导致某种试剂含量超标，已知该试剂超标后会产生一种有毒气体，在疏散工人，处理好超标试剂后，工厂启动应急系统进行处理，已知工厂内部有毒气体的浓度与应急系统处理时间t（小时）之间存在函数关系（其中），且应急系统处理2小时后，有毒气体的浓度为162ppm，继续处理，再过6小时后，有毒气体的浓度为48ppm． (1)求a，λ的值； (2)当有毒气体的浓度降低到以下（含）时，工厂能够正常运行，假设从启动应急系统开始经过t小时后，工厂能够恢复正常生产，求t的最小值． 【答案】(1) (2)20 【详解】（1）依题意可得，由可得：，即，故， 代入①，，故. （2）令，即得，因是减函数， 则，解得，故t的最小值为20. 2 学科网（北京）股份有限公司 $