以对数函数为背景的复合函数与分段函数的性质、对数的实际应用问题专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

以对数函数为背景的复合函数与分段函数的性质、对数的实际应用问题专项训练 以对数函数为背景的复合函数与分段函数的性质、对数的实际应用问题专项训练 考点目录 以对数函数为背景的复合函数的性质 以对数函数为背景的分段函数的性质 对数的实际应用问题 考点一 以对数函数为背景的复合函数的性质 例1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考·多选）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】BD 【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错. 对于B，因为， 设， 因函数在定义域内为增函数， 函数在上单调递增且大于零， 根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确； 对于C，根据B选项的分析可知，在上单调递增，在上单调递减， 故函数在上不单调，C错误； 对于D，当时，， 所以的值域为，即，故D正确． 故选：BD． 例2．（25-26高二上·广东·期中·多选）已知函数，则（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的单调递减区间是 C．函数的值域是 D．不等式的解集是 【答案】AC 【详解】对于A选项，因为， 所以函数的图象关于对称，故A正确； 对于B选项，由可得或， 所以函数的定义域为， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且函数为增函数，所以函数的单调递减区间是，故B错误； 对于C选项，由B知函数的定义域为， 当或时，函数值域为，所以函数的值域是，故C正确； 对于D选项，由可得， 解得或，所以不等式的解集是，故D错误. 故选：AC. 例3．（25-26高一上·重庆·阶段练习·多选）关于函数，有下列结论，其中正确的是（   ） A．其图象关于轴对称 B．的最小值是 C．当时，是增函数 D．的增区间是， 【答案】ABD 【详解】由已知，则， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，A选项正确； 当时，， 设，， 则，当且仅当，即时等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 又函数，上单调递增， 综上所述在上单调递减，在上单调递增； 结合偶函数可知函数在上单调递减，在上单调递增； 故C选项错误，D选项正确； 当和时，取最小值为，B选项正确； 故选：ABD. 例4．（25-26高三上·安徽淮北·月考）函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由函数， 令，可得， 则函数即为函数， 可得函数在上单调递减， 所以， 所以函数的值域为. （2）令，可得， 则不等式对任意恒成立， 即为对于任意恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，即为恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 综上可得，实数的取值范围为. 例5．（25-26高一上·浙江杭州·月考）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间和值域； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)增区间为，减区间为，值域为 (2) 【详解】（1）由，有，可得函数的定义域为， 又由二次函数的增区间为，减区间为， 当时，函数在上单调递增， 可得函数的增区间为，减区间为. 当时，，有， 故函数的值域为. （2）当时，关于的不等式可为， 可化为或. 可得或， 故关于的不等式的解集为. 例6．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数是奇函数. (1)求不等式的解集. (2)若函数在上单调递增，求b的取值范围. (3)是否存在正实数m，，使得在上的值域?存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【详解】（1）因为是奇函数，所以，则， 即，则，因为，所以， 且当时，的定义域为，且，满足题意， 由，得，则，即，解得，则不等式的解集为； （2）由（1）可知， 易知函数在和上单调递增， 则在和上单调递增． 因为在上单调递增，所以， 解得，则的取值范围为； （3）假设存在正实数m，，，使得在上的值域， 由（2）可知在上单调递增，则， 即，整理得， 即，是关于的方程的两个实数根， 因为，， 所以， 即 所以，所以， 故不存在正实数m，，，使得在上的值域． 变式1．（25-26高二上·云南普洱·期中·多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则函数在定义域内是增函数 C．存在实数a，使得函数为偶函数 D．若函数的值域为，则a的取值范围为 【答案】ABD 【详解】，A正确； 若，由复合函数单调性可知，在定义域内是增函数，B正确； 若函数为偶函数，则需要对定义域内任意成立. 由得， 即，解得，即. 此等式仅在时成立，不恒成立， 故不存在实数a，使得函数为偶函数，C错误； 若的值域为，则要取遍所有正数，得或，解得，D正确． 故选：ABD 变式2．（25-26高三上·山东烟台·期中·多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．若有两个零点，则 D．若的值域为，则 【答案】BC 【详解】由题设，且，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，若是的两个根，且，则上， 此时在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，在时在上单调递增，且其图象关于对称，A错误，B正确， 令，即， 若有两个零点，则，可得，C正确， 若的值域为，则，此时，D错误. 故选：BC 变式3．（24-25高一上·海南·月考·多选）已知函数，下列有关函数说法正确的是（    ） A． B．最小值为 C．最小值为 D．单调递增区间为 【答案】AC 【详解】函数， 所以，故A正确； 由对数函数性质可得的定义域为，令， 即可化为， 因为，， 所以时，有最小值，无最大值，故B错误；C正确； 由二次函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 由对数函数性质可得在上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 令，解得，则在上单调递增， 综上，的单调增区间为，单调减区间为，故D错误. 故选：AC 变式4．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意得且， 解得，所以函数定义域为． （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3），则， 则且， 解得． 变式5．（25-26高一上·广东·月考）设函数，其中且，且. (1)当时，求的定义域； (2)当时，利用定义法证明：在定义域内单调递增； (3)若存在，使得，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）当时，. 根据对数函数的定义可知，即， 故的定义域为. （2）当时，，设的定义域为. 在上任取，，且，， 当时，指数函数在上单调递增. 由于，则，. 又，故在区间上单调递增， 所以，即. 故当时，在上单调递增； 当时，指数函数在上单调递减. 由于，则，. 又，故在区间上单调递减， 所以，即. 即当时，在上单调递增. 综上，当或时，对于任意，且，均有， 故在其定义域内单调递增. （3）令，则，即，即， 故原题等价于关于的方程在区间上有解. 设. 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减， 又由在区间上有解及零点存在性定理知， 即，又且，解得. 所以，若存在，使得，则. 变式6．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)求方程的根； (3)若函数在上有零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）函数的定义域为R，且为偶函数， 则，，即恒成立， 因此，而不恒为0，则， 所以. （2）由（1）得，， 由方程，得， 即，整理得， 即，因此，即， 而，解得，即，所以所求方程的根为. （3）由（1）得在上有零点， 则在上有解，令函数， 函数在上单调递增，而函数是定义域上的增函数， 则函数在上单调递增，又函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，则，则， 所以实数的取值范围是. 考点二 以对数函数为背景的分段函数的性质 例1．（25-26高二上·云南昭通·期中）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若在R上单调递增，需满足，解得； 若在R上单调递减，需满足，无解， 综上，a的取值范围是. 故选：B． 例2．（25-26高一上·湖南·期中）已知函数（且）是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为当时，二次函数图象开口向上，则要使整个函数单调，则函数在上单调递减， 则分段函数在上单调递减， 则有 解得. 故选：C. 例3．（25-26高一上·河北邯郸·期中·多选）已知函数，若函数有且仅有4个零点，，，（其中），则（   ） A．函数的增区间为， B．的取值范围为 C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【详解】因为， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，； 当时，所以在上单调递减， 在上单调递增，且，； 所以函数的图象如下：    对于A：由函数的图象可知，函数的增区间为，，故A正确； 对于B：因为函数有且仅有4个零点， 令，则，即与有且仅有个交点， 由函数的图象可知，，故B错误； 对于C：由函数的图象可知， 又由，有，可得， 又由二次函数的对称性，有，可得，故C正确； 对于D：由， 则 ， 又函数单调递增，所以， 单调递增，所以， 所以， 即的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 例4．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考·多选）函数关于x的方程：有六个零点，则下列选项正确的（    ） A．减区间为， B． C．或 D．函数与有5个交点 【答案】CD 【详解】作出函数的图象如下图所示， 减区间为，，A选项错误； 函数与有5个交点，D选项正确； 令，则方程化为， 要使关于的方程恰好有六个不同的实数根， 则方程有两个不同实数根， 因此需满足 或或， 解得或，B选项错误，C选项正确； 故选：CD 变式1．（25-26高三上·山东淄博·期中）若函数存在最大值，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，单调递减， 所以，无最值， 所以需时，取得最大值. 当时，， 若，则在单调递减，；时，，此时无最大值； 若，则在上恒为，此时在定义域内存在最大值； 若，则在单调递增，由题意，即； 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 变式2．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知函数，若函数有7个零点，则可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】当时，单调递减， 当时，单调递减，当时，单调递增， 作出图象，如图所示    因为函数有7个零点，所以有7个根， 即与的图象有7个交点， 令，则， 当时，与的图象只有一个交点，此时，    因为，所以与图象只有一个交点，不符合题意；    当时，与的图象有2个交点，且为-1和2， 则和与图象共有4个交点，不符合题意；    当时，与的图象有3个交点，设为，    则， 此时与共有7个交点，符合题意；    当时，与的图象有3个交点，设为， 则， 此时与共有6个交点，不符合题意；    当时，与的图象有2个交点，设为， 则， 若时，此时与共有4个交点，不符合题意， 若时，此时与共有3个交点，不符合题意，参考上图， 综上，a的取值范围是，则可以为2. 故选：A 变式3．（25-26高三上·甘肃张掖·月考·多选）已知函数，若关于的方程恰有4个不同的实数根，且，则下列说法正确的是（    ） A．的单调递增区间为 B．的取值范围是 C． D．的取值范围是 【答案】BCD 【详解】当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，， 因为函数图象开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在单调递减， 选项A：的单调递增区间为，不能用“”连接，故A错误； 选项B：因为关于的方程恰有4个不同的实数根， 所以与的图象有4个交点， 作出与的图象，如图所示：    由图象可得，当时，与图象有3个交点， 当时，与图象有3个交点， 当时，与图象有4个交点，故B正确； 选项C：根据二次函数的对称性可得，关于， 所以，即，故C正确； 选项D：由图象可得，，，即， 所以，解得， 所以， 由图象可得，函数 令为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以，即，故D正确. 故选：BCD 变式4．（25-26高三上·四川成都·期中·多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有8个实数根，则 D．若有4个实数根，从小到大分别为，，，，则 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意，，故A正确； 对于B，当时，由可得， 解得，因，故得； 当时，由可得，或， 解得或， 故有、、共三个实数根，故B正确； 对于C，设，则方程即， 由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根，， 且，，则由解得或， 设，依题意，需使，则得到， 综上，可得； 对于D，作出函数的图像，由时，， 且，可知当时，直线与函数有两个交点； 又由时，，当时，直线与函数均有两个交点， 故由有4个实数根可得，，由图知，， ，则，解得， 又由解得，由解得，则有， 于是，因函数在单调递减，故， 则， 故选：ABD. 考点三 对数的实际应用问题 例1．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，渭河咸阳段水溶液的值为. 故选：D. 例2．（24-25高一上·四川成都·期中）人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（    ）倍．(参考数据：) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，则其满足关系和， 两式作差可以得到， 即，所以， 故选：C． 例3．（24-25高三上·重庆沙坪坝·月考）中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的关系，中国传统音阶是五声音阶：宫､商､角､徵､羽；西方音阶是七声音阶“Do､Re､Mi､Fa､Sol､La､Si”.它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来看，这12个半音的频率成公比为的等比数列.已知两个音高，的频率分别为，，且满足函数关系：，已知两个纯五度音高的频率比，则它们相差的半音个数 .(其中，，结果四舍五入保留整数部分). 【答案】7 【详解】由题意可知， 所以， 即， 故， 故答案为：7 例4．（25-26高三上·上海·期中）某同学根据数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为，单位），物体的温度冷却到，单位：）需用时（单位：分钟），推导出函数关系为为正的常数.现有一壶开水（）放在室温为的房间里，下面三个选项中正确的是 ． （1）函数关系也可作为这壶开水的冷却模型； （2）当时，这壶开水冷却到大约需要28分钟； （3）这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短. 【答案】（2）（3） 【详解】对于（1），由于， 得，整理得，所以（1）错误； 对于（2），时，所以（2）正确； 对于（3），设壶水从到所需时间为，则 设壶水从到所需时间为，则， ，所以，故（3）正确； 故答案为：（2）（3）． 例5．（24-25高一上·安徽·月考）某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． (1)求实数a，b，c的值； (2)已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 【答案】(1) (2)项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元 【详解】（1）由， 可得，解得 故； （2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为， 则 ，其中. 则 . 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元． 例6．（23-24高一下·云南曲靖·期末）某乡镇企业2024年1～4月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表： 月份 产品产量千件 … 收益万元 … 已知且，给出以下4个函数模型：①；②；③；④. (1)选择一个恰当的函数模型来描述，之间的关系，并求出其解析式； (2)已知该乡镇企业由于场地小，最多只能生产500千件，否则需要搬迁，现镇政府想使该企业的收益在10万元以上（含10万元），此企业是否应搬迁？ 【答案】(1)④， (2)应搬迁 【详解】（1）由表中数据可知，收益随着产品产量的递增而递增，且增长速度越来越慢. 而①单调递减，不合题意， ③是单调递减函数，不合题意， 对于②，由题意可知，从而增长率越来越快，不合题意. 故只能选择④的模型，且. 将，代入，可得， 解得，所以， 当时，， 当时，，所以符合题意， 所以可用④来描述，之间的关系，解析式为； （2）令，则， 又，所以此企业需要搬迁. 变式1．（2025·宁夏银川·二模）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（    ）(附：) A．10% B．20% C．30% D．40% 【答案】B 【详解】当时，； 当时，. 所以增大的百分比为：. 故选：B. 变式2．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：）､信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来倍，而将信噪比从提升至，则大约增加了（    ）（附：） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，； 当时，信道宽度变为原来倍，. 因为. 故选：D. 变式3．（24-25高一上·陕西汉中·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ．（参考数据：） 【答案】4 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以,故. 故答案为：4 变式4．（24-25高一上·江苏南京·月考）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式（，为非零常数）给出，其中为声音能量.当声音强度，，满足时，声音能量，，满足的等量关系式为 ；当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝，当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是 . 【答案】 【详解】①由题知，， 当时，有， 整理得，， 因为，所以. ②由题知，，即， 解得，， 所以. 由，得，， 因为函数为上的增函数，所以， 故火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是. 故答案为：；. 变式5．（24-25高一上·重庆渝中·阶段练习）我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已知它与“某声音的声压P与基准声压的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，即（k是比例系数）.当声压级S提高60dB时，声压P会变为原来的1000倍. (1)求声压级S关于声压P的函数解析式； (2)已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压，而一般当声压级S<45dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？并说明理由.（参考数据：lg2≈0.3） 【答案】(1) (2)不会，理由见解析 【详解】（1）由题意得： ，，所以，所以声压级S关于声压P的函数解析式为 （2）不会干扰我们正常的学习，理由如下： 将代入得：，所以，解得：，即所以，代入得：，所以不会干扰我们正常的学习. 变式6．（24-25高一上·湖北·期中）世纪年代，里克特（C.F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为：，其中，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（以下数据供参考：，，） （1）根据中国地震台网测定，年月日时分，新疆巴音郭楞蒙古自治州若羌县发生地震，一个距离震中千米的测震仪记录的地震最大振幅是，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级（精确到）； （2）年月日时分秒在我国四川省汶川地区发生特大地震，根据中华人民共和国地震局的数据，此次地震的里氏震级达，地震烈度达到度.此次地震的地震波已确认共环绕了地球圈.地震波及大半个中国及亚洲多个国家和地区，北至辽宁，东至上海，南至香港、澳门、泰国、越南，西至巴基斯坦均有震感.请计算汶川地震的最大振幅是级地震的最大振幅的多少倍？ 【答案】（1）约为里氏级的地震（2）倍 【详解】（1） 因此，这是一次约为里氏级的地震. （2）由可得 则 当时，地震的最大振幅为 当时，地震的最大振幅为 所以，两次地震的最大振幅之比是 答：级地震的最大振幅大约是级地震的最大振幅的倍. 2 学科网（北京）股份有限公司 $以对数函数为背景的复合函数与分段函数的性质、对数的实际应用问题专项训练 以对数函数为背景的复合函数与分段函数的性质、对数的实际应用问题专项训练 考点目录 以对数函数为背景的复合函数的性质 以对数函数为背景的分段函数的性质 对数的实际应用问题 考点一 以对数函数为背景的复合函数的性质 例1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考·多选）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 例2．（25-26高二上·广东·期中·多选）已知函数，则（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的单调递减区间是 C．函数的值域是 D．不等式的解集是 例3．（25-26高一上·重庆·阶段练习·多选）关于函数，有下列结论，其中正确的是（   ） A．其图象关于轴对称 B．的最小值是 C．当时，是增函数 D．的增区间是， 例4．（25-26高三上·安徽淮北·月考）函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 例5．（25-26高一上·浙江杭州·月考）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间和值域； (2)解关于的不等式. 例6．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数是奇函数. (1)求不等式的解集. (2)若函数在上单调递增，求b的取值范围. (3)是否存在正实数m，，使得在上的值域?存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 变式1．（25-26高二上·云南普洱·期中·多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则函数在定义域内是增函数 C．存在实数a，使得函数为偶函数 D．若函数的值域为，则a的取值范围为 变式2．（25-26高三上·山东烟台·期中·多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．若有两个零点，则 D．若的值域为，则 变式3．（24-25高一上·海南·月考·多选）已知函数，下列有关函数说法正确的是（    ） A． B．最小值为 C．最小值为 D．单调递增区间为 变式4．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围． 变式5．（25-26高一上·广东·月考）设函数，其中且，且. (1)当时，求的定义域； (2)当时，利用定义法证明：在定义域内单调递增； (3)若存在，使得，证明：. 变式6．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)求方程的根； (3)若函数在上有零点，求实数的取值范围． 考点二 以对数函数为背景的分段函数的性质 例1．（25-26高二上·云南昭通·期中）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·湖南·期中）已知函数（且）是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·河北邯郸·期中·多选）已知函数，若函数有且仅有4个零点，，，（其中），则（   ） A．函数的增区间为， B．的取值范围为 C． D．的取值范围为 例4．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考·多选）函数关于x的方程：有六个零点，则下列选项正确的（    ） A．减区间为， B． C．或 D．函数与有5个交点 变式1．（25-26高三上·山东淄博·期中）若函数存在最大值，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知函数，若函数有7个零点，则可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式3．（25-26高三上·甘肃张掖·月考·多选）已知函数，若关于的方程恰有4个不同的实数根，且，则下列说法正确的是（    ） A．的单调递增区间为 B．的取值范围是 C． D．的取值范围是 变式4．（25-26高三上·四川成都·期中·多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有8个实数根，则 D．若有4个实数根，从小到大分别为，，，，则 考点三 对数的实际应用问题 例1．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·四川成都·期中）人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（    ）倍．(参考数据：) A． B． C． D． 例3．（24-25高三上·重庆沙坪坝·月考）中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的关系，中国传统音阶是五声音阶：宫､商､角､徵､羽；西方音阶是七声音阶“Do､Re､Mi､Fa､Sol､La､Si”.它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来看，这12个半音的频率成公比为的等比数列.已知两个音高，的频率分别为，，且满足函数关系：，已知两个纯五度音高的频率比，则它们相差的半音个数 .(其中，，结果四舍五入保留整数部分). 例4．（25-26高三上·上海·期中）某同学根据数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为，单位），物体的温度冷却到，单位：）需用时（单位：分钟），推导出函数关系为为正的常数.现有一壶开水（）放在室温为的房间里，下面三个选项中正确的是 ． （1）函数关系也可作为这壶开水的冷却模型； （2）当时，这壶开水冷却到大约需要28分钟； （3）这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短. 例5．（24-25高一上·安徽·月考）某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． (1)求实数a，b，c的值； (2)已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 例6．（23-24高一下·云南曲靖·期末）某乡镇企业2024年1～4月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表： 月份 产品产量千件 … 收益万元 … 已知且，给出以下4个函数模型：①；②；③；④. (1)选择一个恰当的函数模型来描述，之间的关系，并求出其解析式； (2)已知该乡镇企业由于场地小，最多只能生产500千件，否则需要搬迁，现镇政府想使该企业的收益在10万元以上（含10万元），此企业是否应搬迁？ 变式1．（2025·宁夏银川·二模）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（    ）(附：) A．10% B．20% C．30% D．40% 变式2．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：）､信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来倍，而将信噪比从提升至，则大约增加了（    ）（附：） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一上·陕西汉中·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ．（参考数据：） 变式4．（24-25高一上·江苏南京·月考）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式（，为非零常数）给出，其中为声音能量.当声音强度，，满足时，声音能量，，满足的等量关系式为 ；当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝，当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是 . 变式5．（24-25高一上·重庆渝中·阶段练习）我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已知它与“某声音的声压P与基准声压的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，即（k是比例系数）.当声压级S提高60dB时，声压P会变为原来的1000倍. (1)求声压级S关于声压P的函数解析式； (2)已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压，而一般当声压级S<45dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？并说明理由.（参考数据：lg2≈0.3） 变式6．（24-25高一上·湖北·期中）世纪年代，里克特（C.F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为：，其中，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（以下数据供参考：，，） （1）根据中国地震台网测定，年月日时分，新疆巴音郭楞蒙古自治州若羌县发生地震，一个距离震中千米的测震仪记录的地震最大振幅是，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级（精确到）； （2）年月日时分秒在我国四川省汶川地区发生特大地震，根据中华人民共和国地震局的数据，此次地震的里氏震级达，地震烈度达到度.此次地震的地震波已确认共环绕了地球圈.地震波及大半个中国及亚洲多个国家和地区，北至辽宁，东至上海，南至香港、澳门、泰国、越南，西至巴基斯坦均有震感.请计算汶川地震的最大振幅是级地震的最大振幅的多少倍？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $