专题18.3分式的加法与减法（知识点总结+9大题型+解题技巧）易错点重难点培优同步讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

本讲义系统梳理分式加法与减法核心知识点，从同分母分式加减（分母不变分子加减）、最简公分母确定（因式分解取最高次幂）、异分母分式加减（通分转化）到化简求值，逐步过渡到分式与几何结合、新定义问题等提升内容，形成由基础到高阶的学习支架。 资料特色在于分层设计（基础巩固、能力提升、拓展培优），融入几何面积计算、跨学科浓度问题等情境培养数学眼光，通过解题技巧拆解（如裂项相消步骤）、新定义题型（和谐分式）训练数学思维与语言表达。课中助力教师分层教学，课后同步练习与易错点警示帮助学生查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

18.3分式的加法与减法 【基础巩固篇】 【题型1】同分母分式的加减 1.核心知识点总结 法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，公式表示为：（）。 关键转化：当分母互为相反数时，提取“”号转化为同分母，如。 2.高频考点梳理 直接计算型：如2025河南三门峡二模，直接应用法则化简。 符号转化型：如，先统一分母符号再计算。 3.易错点警示 分子为多项式时，漏加括号导致符号错误，如误算为（正确应为）。 结果未化为最简分式，如未约分为2。 4.解题技巧拆解 第一步：观察分母是否相同，不同则转化（互为相反数提负号）。 第二步：分子相加减（多项式加括号），分母保持不变。 第三步：分子因式分解，约分得到最简结果。 【例题1】．（2025·辽宁·一模）计算： ． 【变式题1-1】．（2025·湖北·一模）计算： ． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）计算： (1) (2)． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）（1）计算：； （2）先化简，再从中选择一个合适的整数代入求值． 【题型2】最简公分母的确定 1.核心知识点总结 定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。 步骤：先对各分母因式分解，再找每个因式的最高次幂，相乘即为最简公分母。 2.高频考点梳理 单项式分母型：如分式，，，最简公分母为。 多项式分母型：如2024天津河西期末，，因式分解后为，，最简公分母为。 3.易错点警示 漏分解分母因式，如将直接作为因式，未分解为。 忽略因式的最高次幂，如与，最简公分母误写为（正确为）。 4.解题技巧拆解 因式分解分母：优先用平方差、完全平方公式分解。 罗列因式：列出所有不同因式，取最高次幂。 相乘化简：将所有因式相乘，得到最简公分母。 【例题2】．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知分式，，其分母与的最简公分母是 ． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以 ． 【变式题2-2】．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）将分式和进行通分时，分母可因式分解为 ，分母可因式分解为 ，因此最简公分母是 ． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·北京房山·期中）小亮和小茵两位同学对异分母分式加减法运算和解分式方程进行了对比学习： 小亮同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 小茵同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 （1）小亮同学第一步的运算是通分，其依据是 ； （2）小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是 ． 【题型3】异分母分式的加减 1.核心知识点总结 法则：先通分转化为同分母分式，再按同分母法则计算，公式表示为：（，）。 通分关键：准确确定最简公分母，分子分母同乘公分母与原分母的商。 2.高频考点梳理 常规通分型：如2025安徽蚌埠期中，先分解分母再通分。 分步通分型：如，前两项先通分再与第三项计算。 3.易错点警示 通分时分子漏乘相应因式，如误算为（正确应为）。 符号错误：如转化为时漏加负号。 4.解题技巧拆解 分解分母：将所有分母因式分解，确定最简公分母。 分子变形：分子乘“公分母÷原分母”，保持分式值不变。 分子运算：按同分母法则计算，最后约分。 【例题3】．（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算： 【变式题3-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·山东烟台·期中）化简的结果是 ． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图是老师出示的一道习题及其举例出的错误的解答过程． 解：原式① ② ③ (1)该过程是从第__________（填序号）步开始出现错误的； (2)写出该习题正确的解答过程，并从“0，1”中选择合适的的值代入求值． 【题型4】分式化简求值 1.核心知识点总结 步骤：先化简分式(去括号、通分、约分)，再根据条件求字母取值，最后代入求值。 取值要求：代入的字母值需使所有分母不为0。 2.高频考点梳理 结合不等式型：如2024乐山中考，先化简，再从的非负整数解中取值。 结合非负性型：如，先求、再代入。 3.易错点警示 代入使分母为0的值，如化简后为，误代入。 化简不彻底直接代入，导致计算复杂出错。 4.解题技巧拆解 化简优先：彻底分解因式、约分，得到最简形式。 确定取值范围：排除使分母为0的字母值。 代入计算：选择简便数值(如整数、0)代入，减少运算量。 【例题4】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）化简：，并选择一个合适的数代入求值． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）（1）先化简，再从，，0，2，3这五个数中取一个合适的数作为x的值代入求值； （2）利用因式分解说明：能被120整除． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）先化简，再求值： (1)先化简：，并从0，，2中选一个合适的数作为a的值代入求值． (2)先化简，再求值：，其中x是不等式的最小整数解． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【能力提升篇】 【题型5】已知分式恒等式求参数(提升) 1.核心知识点总结 待定系数法：通分后对比分子对应项系数，列方程组求解参数。 赋值法：取特殊值(使分母不为0)代入恒等式，简化计算。 2.高频考点梳理 二元参数型：如2024山东潍坊期末，求、。 三元参数型：如，求、、。 3.易错点警示 通分后分子展开漏项，如误算为(正确展开需注意符号)。 忽略常数项系数，如等式右边分子为，对应左边常数项系数为，误令。 4.解题技巧拆解 通分变形：将等式右边通分，化为与左边分母相同的形式。 对比系数：按的降幂排列分子，对应项系数相等列方程组。 赋值验证：取、等特殊值代入，快速求解或验证。 【例题5】．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）A，B为常数，如果，则 ， 【变式题5-1】．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，则 ． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则 ． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·山东聊城·期中）已知，，为常数，求的值． 【题型6】分式与几何结合(提升) 1.核心知识点总结 几何量转化：将边长、面积、周长等几何量表示为分式，再进行加减运算。 应用场景：图形调整后的面积比较、单位面积产量计算等。 2.高频考点梳理 面积型：如正方形试验田修小路后，计算调整后的面积及单位产量(2025安徽滁州期末)。 周长型：如长方形长、宽为分式形式，求周长的和差。 3.易错点警示 几何公式应用错误：如将长方形面积误算为长+宽，导致分式列写错误。 单位不统一：如长度单位为米，面积单位未化为平方米直接计算。 4.解题技巧拆解 表示几何量：根据图形性质，用含字母的分式表示相关量(如调整后边长)。 列分式算式：根据题意(如单位产量=总产量÷面积)列加减算式。 化简比较：化简分式后，通过作差法比较大小。 【例题6】．（25-26八年级上·上海青浦·期中）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数，可作如下变形（提示：） ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为 ，此时 ． (2)某园林设计师用篱笆围一个面积为81平方米的长方形花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为12和3，求四边形面积的最小值． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）现要在边长为a米的方亭外围种植一圈草坪（如图①空白部分所示），并在如图②所示的空地上播撒相同数量的草籽． (1)求甲、乙两块正方形土地的播撒密度的比值（播撒密度）； (2)如果，求甲、乙两地播撒密度的大小关系． 【变式题6-2】．（2025·安徽合肥·三模）【综合与实践】某校在10周年校庆前设计了吉祥物“育育”挂件，并根据挂件尺寸设计了长方体的包装盒．设计组有细心的同学发现，把吉祥物“育育”装进包装盒后，拐角处还空余不少空间，这样比较浪费，所以打算进一步探究节省材料的方案． 任务1  探究：对于底面积和高一定的长方体包装盒，什么情况下最省材料（即表面积最小）？ 通过探究发现，问题等价于“底面矩形的面积一定时，周长何时最小？”设计组先假定底面积为16，列出下表： 长 16 14 12 10 8 6 4 宽 1 1.6 2 4 周长 34 23.2 20 16 根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，_____时周长最小． 为了证明上述猜测，小丫同学假设矩形面积为，设两邻边长分别为和（均为非负数），则，得． ……（请表示出周长并补全后续的证明过程）． 任务2  计算对比，合理优化． 设计组之前设计的长方体包装盒的尺寸为：长、宽、高，小明同学在保持底面积不变小的前提下，建议将包装盒形状改为底面直径为的圆，高保持不变的圆柱体，从节省材料的角度来看，你觉得合理吗？请判断并说明理由． 【变式题6-3】．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 【题型7】分式新定义与材料阅读(提升) 1.核心知识点总结 定义：若分式与的和为正整数，则与互为“幸福分式”，为“幸福值”(源自《教材帮》)。 逆向推导：已知和，求时，(通分后化简)。 2.高频考点梳理 判定与求值：如已知，，判断是否为幸福分式并求。 逆向求解：如与互为幸福分式，，求。 3.易错点警示 通分后分子化简错误：如通分后分子未合并同类项，导致无法判断是否为正整数。 分母不为0的限制：求时忽略，导致的表达式漏条件。 4.解题技巧拆解 正向判定：计算，化简后若为正整数，则是幸福分式。 逆向求解：由得，通分后对比分母，求出分子。 验证结果：确保的分母不为0，且和为正整数。 【例题7】．（25-26八年级上·山东·课后作业）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·湖南永州·阶段练习）【阅读材料】我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)假分式可化为带分式形式　　　；假分式可化为带分式形式　　　； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值？ 【变式题7-2】．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）【阅读】 我们分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只需要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【运用】 (1)若，要比较和的大小，只需要， ∴可得_______．（填“”“”或“”） (2)若，，，试比较与的大小． (3)甲、乙两水果店分别两次采购同一种苹果，第一次采购的价格为元/斤，第二次采购的价格为元/斤（是整数，且）．甲店两次各购买了斤苹果，乙店两次购买苹果均花费了元．试比较甲店和乙店两次采购苹果的平均价格的高低． 【变式题7-3】．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 【拓展培优篇】 【题型8】跨学科应用（培优） 1.核心知识点总结 跨学科转化：将物理（速度）、化学（浓度）、生活（加油方案）等问题转化为分式加减运算。 关键等量关系：如速度=路程÷时间，浓度=溶质质量÷溶液质量。 2.高频考点梳理 浓度型：如糖水加糖后浓度变化，用分式加减解释“更甜”的现象（2025广东清远期末）。 行程型：如智能配送机器狗利用扶梯往返，计算时间差（2024江苏镇江期末）。 方案型：对比两次加油的平均单价，判断哪种方案更实惠。 3.易错点警示 跨学科公式混淆：如将浓度公式误记为溶质÷溶剂，导致分式列写错误。 忽略实际意义：如时间、价格不能为负，化简后未排除不合理取值。 4.解题技巧拆解 提取数学关系：从跨学科问题中分离出分式加减的核心关系。 列分式算式：根据公式将已知量代入，列加减算式。 化简解释：化简分式后，结合实际意义说明结果（如浓度增大则糖水更甜）。 【例题8】．（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【变式题8-1】．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ ——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料” 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． (1)【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”） (2)【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． (3)【应用拓展】若、、为三边的长，证明： 【变式题8-2】．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论． (1)糖水实验 现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”． (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________． (3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证： 【变式题8-3】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）问题情境：小军的爸爸和小慧的爸爸都是出租车司机，他们在每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油，白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高．但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是加60油，小慧的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． 数学思考： （1）小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价各是多少？并通过数学运算说明谁的加油方式更合算； 知识迁移： （2）某船在相距为s的甲，乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为v，所需时间为；如果水流速度为p（），船顺水航行速度为（），逆水航行速度为（），所需时间为，请借鉴上面的研究经验，比较和的大小，并说明理由． 【题型9】分式裂项相消进阶(培优) 1.核心知识点总结 基础裂项：。 拓展裂项：(为正整数)。 2.高频考点梳理 连续裂项型：如2025江苏无锡期末。 多项式裂项型：(拆分子裂项)。 3.易错点警示 裂项符号错误：如误裂为(正确应为)。 漏乘系数：拓展裂项中忽略，如误裂为。 4.解题技巧拆解 识别裂项形式：观察分母是否为两个相差定值的整式乘积。 套用裂项公式：根据分母差值确定系数。 抵消化简：中间项相互抵消，剩余首尾项计算。 【例题9】．（25-26七年级上·河南周口·期中）观察下列等式： 第1个等式： = ×(1 - ) 第2个等式： = ×( - ) 第3个等式： = ×( - ) 第4个等式： = ×( - ) ．．． (1)请写出第n个等式； (2)计算：； (3)若，求n的值． 【变式题9-1】．（24-25七年级下·山东济南·期末）观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）观察下列等式：．将以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想并填空： (2)化简：． (3)探究并作答： 计算：； 【变式题9-3】．（25-26七年级上·四川德阳·月考）观察下列等式：， 将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：_____． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_____； ②____． (3)探究并计算： 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）计算：（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知，求的值（   ） A． B． C． D．4 4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列运算或化简正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题，每小题分，他能得的分数是（   ） ①；②；③；④； ⑤； A．分 B．分 C．分 D．分 二、填空题 6．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知，则 ． 7．（25-26九年级上·广东深圳·月考）已知，则的值为 ． 8．（24-25八年级上·重庆·期中）若，则分式的值为 ． 9．（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算： ． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）对于代数式，定义运算“※”：，例如：，若，则 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东威海·期中）按要求进行计算． (1)； (2)； (3)先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 12．（25-26九年级上·广东梅州·期中）先化简，再求值：，其中m满足． 13．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）先化简：，再从，，这几个整数中选择一个你认为合适的的值，代入求值． 14．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）已知分式 (1)化简该分式； (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值 15．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， (1)已知，求的值； (2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值； (3)问题解决： 已知：，，，求代数式的值． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师出示了如下问题：找一组都不为0的数，，，，使得分式成立（即，，，成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系．试猜想各组中的两分式之间的关系，并证明． （1）和；（2）和；（3）和（，）． “兴趣小组”找了一组能使分式成立的数：，，，．并对（1）（2）进行了探究． （1）计算：当，，，时，，． 猜想：若，则． 证明：，（依据1）， ； （2）计算：当，，，时，，． 猜想：若，则； 证明：方法一：，（依据2）， ； 方法二（作差法），，（依据3），． 任务一：上述材料中，“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是：依据1：　　　　；依据2：　　　　；依据3：　　　　； 任务二：请你说明材料中的（3）和（，）的关系，并进行证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.3分式的加法与减法 【基础巩固篇】 【题型1】同分母分式的加减 1.核心知识点总结 法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，公式表示为：（）。 关键转化：当分母互为相反数时，提取“”号转化为同分母，如。 2.高频考点梳理 直接计算型：如2025河南三门峡二模，直接应用法则化简。 符号转化型：如，先统一分母符号再计算。 3.易错点警示 分子为多项式时，漏加括号导致符号错误，如误算为（正确应为）。 结果未化为最简分式，如未约分为2。 4.解题技巧拆解 第一步：观察分母是否相同，不同则转化（互为相反数提负号）。 第二步：分子相加减（多项式加括号），分母保持不变。 第三步：分子因式分解，约分得到最简结果。 【例题1】．（2025·辽宁·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查同分母分式的加法运算，直接合并分子即可． 【详解】． 故答案为：． 【变式题1-1】．（2025·湖北·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查同分母分式的加法运算，根据同分母分式的加法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查分式的加减法；同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母相加减，先通分，分子相加减，注意结果要化简； （1）两个分式分母相同，直接合并分子； （2）分母不同，需先因式分解和通分，再化简. 【详解】（1） 解：原式 （2） 解：原式        . 【变式题1-3】．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）（1）计算：； （2）先化简，再从中选择一个合适的整数代入求值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了分式的加减、分式的化简与求值、分式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据分式加减的运算法则计算即可； （2）先根据分式的混合运算法则化简，再根据分式有意义的条件，选择一个合适的整数代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 由题意得，， 当时，原式． 【题型2】最简公分母的确定 1.核心知识点总结 定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。 步骤：先对各分母因式分解，再找每个因式的最高次幂，相乘即为最简公分母。 2.高频考点梳理 单项式分母型：如分式，，，最简公分母为。 多项式分母型：如2024天津河西期末，，因式分解后为，，最简公分母为。 3.易错点警示 漏分解分母因式，如将直接作为因式，未分解为。 忽略因式的最高次幂，如与，最简公分母误写为（正确为）。 4.解题技巧拆解 因式分解分母：优先用平方差、完全平方公式分解。 罗列因式：列出所有不同因式，取最高次幂。 相乘化简：将所有因式相乘，得到最简公分母。 【例题2】．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知分式，，其分母与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分、分解因式，分式的能分就是把异分母分式化为同分母分式，通分的关键是找各分式的最简公分母，最简公分母就是取各分母系数的最小公倍数为最简公分母的系数，再取各分母中所有因式的最高次幂作为公分母的因式，从而可得答案． 【详解】解： ， ， 最简公分母是． 故答案为： ． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键．将分母分解因式后，找到各分母的最简公分母作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可． 【详解】解：分式的最简公分母为， ∴需要把的分子、分母同时乘以， 故答案为：． 【变式题2-2】．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）将分式和进行通分时，分母可因式分解为 ，分母可因式分解为 ，因此最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，通分，熟练掌握通分的方法，是解题的关键，利用平方差公式法和提公因式法进行因式分解，再利用三定法确定最简公分母即可． 【详解】解：分母可因式分解为；分母可因式分解为，因此最简公分母是； 故答案为：，， 【变式题2-3】．（25-26八年级上·北京房山·期中）小亮和小茵两位同学对异分母分式加减法运算和解分式方程进行了对比学习： 小亮同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 小茵同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 （1）小亮同学第一步的运算是通分，其依据是 ； （2）小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是 ． 【答案】 分式的基本性质 等式的性质 【分析】本题主要考查了等式的性质，分式的基本性质，解分式方程的知识，掌握分式方程的解法，是解答本题的关键． （1）根据分式的基本性质即可解答； （2）根据等式的性质即可解答． 【详解】解：（1）小亮同学第一步的运算是通分，依据的是分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变； （2）小茵同学第一步的运算是去分母，依据的是等式的性质，即等式两边同时乘同一个数或除以同一个不为0的数所得结果仍是等式． 故答案为：分式的基本性质，等式的性质． 【题型3】异分母分式的加减 1.核心知识点总结 法则：先通分转化为同分母分式，再按同分母法则计算，公式表示为：（，）。 通分关键：准确确定最简公分母，分子分母同乘公分母与原分母的商。 2.高频考点梳理 常规通分型：如2025安徽蚌埠期中，先分解分母再通分。 分步通分型：如，前两项先通分再与第三项计算。 3.易错点警示 通分时分子漏乘相应因式，如误算为（正确应为）。 符号错误：如转化为时漏加负号。 4.解题技巧拆解 分解分母：将所有分母因式分解，确定最简公分母。 分子变形：分子乘“公分母÷原分母”，保持分式值不变。 分子运算：按同分母法则计算，最后约分。 【例题3】．（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算： 【答案】0 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的加法运算进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，涉及知识点：分式的通分、因式分解、分式的除法．解题方法是先对括号内的分式通分，化简后根据 “因数=积÷另一个因数”求W；解题关键是正确分解因式并通分，易错点是符号处理或因式分解错误．解题思路：对括号内的分式通分，化简后求其倒数得W． 【详解】解：∵原式为， 其中，且， ∴括号内可写为． 通分后：． 约去公因式（∵）：． ∴方程化为， 解得，且由分母不为零，需． ∴W等于，且． 故选C． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·山东烟台·期中）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式的加减法则． 将原式通分后合并，并利用平方差公式和提取公因式进行化简． 【详解】解： ． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图是老师出示的一道习题及其举例出的错误的解答过程． 解：原式① ② ③ (1)该过程是从第__________（填序号）步开始出现错误的； (2)写出该习题正确的解答过程，并从“0，1”中选择合适的的值代入求值． 【答案】(1)② (2)过程见解析；当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，在求分式的值时，所选取的字母的值一定要使原分式有意义． （1）分式加减法中通分化为同分母分式进行加减，所以第②步中去括号错误； （2）根据分式混合运算的法则计算即可，再根据分式有意义的条件选取的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：这位同学的错误出现在第②步， 故答案为：②． （2）解：原式 ， 要使分式有意义，不能取，1， 取． 当时，原式． 【题型4】分式化简求值 1.核心知识点总结 步骤：先化简分式(去括号、通分、约分)，再根据条件求字母取值，最后代入求值。 取值要求：代入的字母值需使所有分母不为0。 2.高频考点梳理 结合不等式型：如2024乐山中考，先化简，再从的非负整数解中取值。 结合非负性型：如，先求、再代入。 3.易错点警示 代入使分母为0的值，如化简后为，误代入。 化简不彻底直接代入，导致计算复杂出错。 4.解题技巧拆解 化简优先：彻底分解因式、约分，得到最简形式。 确定取值范围：排除使分母为0的字母值。 代入计算：选择简便数值(如整数、0)代入，减少运算量。 【例题4】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）化简：，并选择一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，（除外，其余的数均可，答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的加法运算，除法运算，分式化简及根据分式有意义的条件选取合适的数代入求值．先化简括号内的分式加法，再将除法转化为乘法并约分，最后根据分式有意义的条件选择合适的数代入求值即可， 【详解】解：原式 ． 当时，原式．（除外，其余的数均可，答案不唯一） 【变式题4-1】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）（1）先化简，再从，，0，2，3这五个数中取一个合适的数作为x的值代入求值； （2）利用因式分解说明：能被120整除． 【答案】（1），当时，原式；（2）证明见解析 【分析】本题考查了分式的化简，因式分解的应用． （1）先化简，再代入x的值即可； （2）将转化为，得出能被120整除． 【详解】解：（1）原式 ． ∵，，2， ∴当时，原式．     （2）证明：， ∴能被120整除． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）先化简，再求值： (1)先化简：，并从0，，2中选一个合适的数作为a的值代入求值． (2)先化简，再求值：，其中x是不等式的最小整数解． 【答案】(1)，当时，原式 (2)，当时，分式的值不存在 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先根据分式的运算法则化简，再根据分式有意义的条件确定a的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解； （2）先按照分式的乘除法运算法则进行化简，再求不等式的最小整数值代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 要使分式有意义，必须且， 所以a不能为和2， 取， 当时，原式； （2）解： ， 解不等式，得：， 则不等式的最小整数解为， 当时，原式无意义，故原式的值不存在． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2），4 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的化简法则． （1）先对整式进行整理，再化简分式，然后代数求值即可； （2）先化简分式，然后代数求值即可． 【详解】解：（1）由得，， 将代入上式得， 原式； （2） 将代入上式得， 原式． 【能力提升篇】 【题型5】已知分式恒等式求参数(提升) 1.核心知识点总结 待定系数法：通分后对比分子对应项系数，列方程组求解参数。 赋值法：取特殊值(使分母不为0)代入恒等式，简化计算。 2.高频考点梳理 二元参数型：如2024山东潍坊期末，求、。 三元参数型：如，求、、。 3.易错点警示 通分后分子展开漏项，如误算为(正确展开需注意符号)。 忽略常数项系数，如等式右边分子为，对应左边常数项系数为，误令。 4.解题技巧拆解 通分变形：将等式右边通分，化为与左边分母相同的形式。 对比系数：按的降幂排列分子，对应项系数相等列方程组。 赋值验证：取、等特殊值代入，快速求解或验证。 【例题5】．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）A，B为常数，如果，则 ， 【答案】 4 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值． 【详解】解：对左边通分：， 因为左边等于右边，所以分子需相等， ， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得方程组： ， 解得：，． 故答案为：． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，通分是解题的关键． 通过通分计算，利用多项式相等，求出常数A、B、C的值，然后代入计算表达式． 【详解】 , ,解得， ． 故答案为：． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式恒等式求解参数，二元一次方程组的应用；将等式右边通分后与左边比较分子，得到关于m和n的方程，通过比较系数建立方程组，求解m和n后计算差值； 【详解】解：右边通分得： 与左边比较分子得： 展开左边得： ∴ 比较系数得： 解得： ∴. 故答案为：1. 【变式题5-3】．（25-26八年级上·山东聊城·期中）已知，，为常数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．先将通分变形为，从而得到，解方程求得、的值，再代入代数式中计算即可． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 【题型6】分式与几何结合(提升) 1.核心知识点总结 几何量转化：将边长、面积、周长等几何量表示为分式，再进行加减运算。 应用场景：图形调整后的面积比较、单位面积产量计算等。 2.高频考点梳理 面积型：如正方形试验田修小路后，计算调整后的面积及单位产量(2025安徽滁州期末)。 周长型：如长方形长、宽为分式形式，求周长的和差。 3.易错点警示 几何公式应用错误：如将长方形面积误算为长+宽，导致分式列写错误。 单位不统一：如长度单位为米，面积单位未化为平方米直接计算。 4.解题技巧拆解 表示几何量：根据图形性质，用含字母的分式表示相关量(如调整后边长)。 列分式算式：根据题意(如单位产量=总产量÷面积)列加减算式。 化简比较：化简分式后，通过作差法比较大小。 【例题6】．（25-26八年级上·上海青浦·期中）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数，可作如下变形（提示：） ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为 ，此时 ． (2)某园林设计师用篱笆围一个面积为81平方米的长方形花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为12和3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)8，4 (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形，分式求最值，算术平方根，正确理解题意并举一反三是解题关键． （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为8，故可得解； （2）设花圃的宽为米，则长为米，所用的围栏，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，设，且， 由， 得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为8． 故答案为：8，4； （2）解：由题意，设花圃的宽为米，则长为米， 所用的围栏， ． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， 答：所用的围栏至少为米． （3）由题意，设， △与△底边上的高相等，△与△底边上的高相等， ， ． ． ． 又 ， 当时，即时取等号， ． 四边形面积的最小值存在，最小值为． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）现要在边长为a米的方亭外围种植一圈草坪（如图①空白部分所示），并在如图②所示的空地上播撒相同数量的草籽． (1)求甲、乙两块正方形土地的播撒密度的比值（播撒密度）； (2)如果，求甲、乙两地播撒密度的大小关系． 【答案】(1) (2)甲、乙两地的播撒密度相同 【分析】本题考查了分式的混合运算的应用，理解题意，正确列式计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）设草籽数量为，分别求出甲地和乙地的播撒密度，再求出比值即可得解； （2）将代入（1）中所求的式子即可得解． 【详解】（1）解：设草籽数量为， ∴甲地的播撒密度， 乙地的播撒密度， ∴甲地的播撒密度：乙地的播撒密度． （2）解：若将代入，得， ∴甲地的播撒密度：乙地的播撒密度， ∴甲、乙两地的播撒密度相同． 【变式题6-2】．（2025·安徽合肥·三模）【综合与实践】某校在10周年校庆前设计了吉祥物“育育”挂件，并根据挂件尺寸设计了长方体的包装盒．设计组有细心的同学发现，把吉祥物“育育”装进包装盒后，拐角处还空余不少空间，这样比较浪费，所以打算进一步探究节省材料的方案． 任务1  探究：对于底面积和高一定的长方体包装盒，什么情况下最省材料（即表面积最小）？ 通过探究发现，问题等价于“底面矩形的面积一定时，周长何时最小？”设计组先假定底面积为16，列出下表： 长 16 14 12 10 8 6 4 宽 1 1.6 2 4 周长 34 23.2 20 16 根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，_____时周长最小． 为了证明上述猜测，小丫同学假设矩形面积为，设两邻边长分别为和（均为非负数），则，得． ……（请表示出周长并补全后续的证明过程）． 任务2  计算对比，合理优化． 设计组之前设计的长方体包装盒的尺寸为：长、宽、高，小明同学在保持底面积不变小的前提下，建议将包装盒形状改为底面直径为的圆，高保持不变的圆柱体，从节省材料的角度来看，你觉得合理吗？请判断并说明理由． 【答案】任务1：长和宽相等，见解析；任务2：合理，理由见解析 【分析】本题考查了整式乘法的应用、圆柱体和长方体体积与表面积计算， 任务1：观察表格可得结论：矩形的面积一定时，长和宽相等时周长最小，根据过程由即可得出结论. 任务2：分别计算长方体和圆柱体的的表面积即可得出结论. 【详解】解：任务1：长和宽相等 设两邻边长分别为和（均为非负数），则，得． 矩形周长为． 所以，即矩形为正方形时，周长最小． 任务2：长方体的体积 ，圆柱体的体积, 长方体的表面积为：． 圆柱体的表面积为： ． 因为，所以改为圆柱体更节省材料． 【变式题6-3】．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 【答案】（1）若．理由见解析；（2）；（3）①乙试验田的小麦的单位面积产量高，理由见解析；②乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍 【分析】本题考查了完全平方公式，分式减法运算及实际应用； （1）由判断即可； （2）作差比较大小即可； （3）①分别表示出两块试验田的产量，再作差比较大小即可 ②根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”得到，计算化简即可． 【详解】解：（1）若， 理由：， ， ， ； （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）①甲试验田的面积为：， 乙试验田的面积为：， ， ， ， ， ， 乙试验田的小麦的单位面积产量高； ② ， 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍． 【题型7】分式新定义与材料阅读(提升) 1.核心知识点总结 定义：若分式与的和为正整数，则与互为“幸福分式”，为“幸福值”(源自《教材帮》)。 逆向推导：已知和，求时，(通分后化简)。 2.高频考点梳理 判定与求值：如已知，，判断是否为幸福分式并求。 逆向求解：如与互为幸福分式，，求。 3.易错点警示 通分后分子化简错误：如通分后分子未合并同类项，导致无法判断是否为正整数。 分母不为0的限制：求时忽略，导致的表达式漏条件。 4.解题技巧拆解 正向判定：计算，化简后若为正整数，则是幸福分式。 逆向求解：由得，通分后对比分母，求出分子。 验证结果：确保的分母不为0，且和为正整数。 【例题7】．（25-26八年级上·山东·课后作业）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义，分式的混合运算，分式有意义的条件，解题的关键是正确理解“和谐分式”的定义． 对于（1），由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； 对于（2），由原式，再整理可得； 对于（3），先将原式化简为，再根据和谐分式的定义整理为，然后讨论得出答案． 【详解】（1）解：①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式． 故答案为：①③④． （2）， 故答案为∶． （3）原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·湖南永州·阶段练习）【阅读材料】我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)假分式可化为带分式形式　　　；假分式可化为带分式形式　　　； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值？ 【答案】(1)， (2)或或或或 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，约分，因式分解，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据新定义将变形为即可求解；根据新定义将变形为，然后再因式分解求解； （2）将变形为，再约分、分离常数得到，然后讨论为的因数求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：， ∵为整数，且分式的值为整数， ∴为整数， ∴或或 ∴或或或或或（舍，此时分母为0）， ∴满足条件的整数x的值为或或或或． 【变式题7-2】．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）【阅读】 我们分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只需要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【运用】 (1)若，要比较和的大小，只需要， ∴可得_______．（填“”“”或“”） (2)若，，，试比较与的大小． (3)甲、乙两水果店分别两次采购同一种苹果，第一次采购的价格为元/斤，第二次采购的价格为元/斤（是整数，且）．甲店两次各购买了斤苹果，乙店两次购买苹果均花费了元．试比较甲店和乙店两次采购苹果的平均价格的高低． 【答案】(1) (2) (3)甲店的平均价格比乙店的平均价格高 【分析】（）根据作差法的比较法则即可求解； （）求出的差，再根据作差法的比较法则即可判断求解； （）根据题意表示出甲店和乙店的平均价格，再利用作差法比较即可判断求解； 本题考查了作差法，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，甲店的平均价格为元/斤， 乙店的平均价格为元/斤， ∴ ， ∵，，且， ∴，， ∴， 即， ∴甲店的平均价格比乙店的平均价格高． 【变式题7-3】．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 【答案】(1)C是D的“雅中式”，，关于的“雅中值”为2； (2)，5 (3)7或1． 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2； （2）解： 关于的“雅中值”是， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， 的值为：0，2，3， ； （3）解： 是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为：7或1． 【拓展培优篇】 【题型8】跨学科应用（培优） 1.核心知识点总结 跨学科转化：将物理（速度）、化学（浓度）、生活（加油方案）等问题转化为分式加减运算。 关键等量关系：如速度=路程÷时间，浓度=溶质质量÷溶液质量。 2.高频考点梳理 浓度型：如糖水加糖后浓度变化，用分式加减解释“更甜”的现象（2025广东清远期末）。 行程型：如智能配送机器狗利用扶梯往返，计算时间差（2024江苏镇江期末）。 方案型：对比两次加油的平均单价，判断哪种方案更实惠。 3.易错点警示 跨学科公式混淆：如将浓度公式误记为溶质÷溶剂，导致分式列写错误。 忽略实际意义：如时间、价格不能为负，化简后未排除不合理取值。 4.解题技巧拆解 提取数学关系：从跨学科问题中分离出分式加减的核心关系。 列分式算式：根据公式将已知量代入，列加减算式。 化简解释：化简分式后，结合实际意义说明结果（如浓度增大则糖水更甜）。 【例题8】．（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【答案】(1) ，，， (2) 小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 【详解】（1）解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． （2）解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【变式题8-1】．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ ——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料” 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． (1)【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”） (2)【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． (3)【应用拓展】若、、为三边的长，证明： 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查分式的加减运算，三角形的三边关系，熟练掌握“糖水不等式”，是解题的关键： （1）将字母的值代入，比较分数的大小即可； （2）利用作差法进行计算即可； （3）利用糖水不等式进行证明即可． 【详解】（1）解：当，，时， ，， ∴， ∴； 故答案为： （2） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴，，， 由“糖水不等式”可知：， ， ， ． 【变式题8-2】．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论． (1)糖水实验 现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”． (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________． (3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证： 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键． （1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）利用（2）的结论来证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，加入m克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴； 故答案为：； （2）解：∵加入克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为， ∴； 故答案为：； （3）解：， ， ， ， 【变式题8-3】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）问题情境：小军的爸爸和小慧的爸爸都是出租车司机，他们在每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油，白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高．但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是加60油，小慧的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． 数学思考： （1）小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价各是多少？并通过数学运算说明谁的加油方式更合算； 知识迁移： （2）某船在相距为s的甲，乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为v，所需时间为；如果水流速度为p（），船顺水航行速度为（），逆水航行速度为（），所需时间为，请借鉴上面的研究经验，比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）小军的爸爸在这天加油的平均单价是：元/L；小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：元/L；小慧的爸爸的加油方式比较合算；（2），见解析 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的大小比较，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可；再根据题意利用作差法进行分析比较即可； （2）根据题意，由时间路程速度，进而列式后，再相减比较大小． 【详解】解：（1）小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元） 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元）， ∴． 而， ∴． ∴． ∴即． ∴小慧的爸爸的加油方式比较合算． （2），， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型9】分式裂项相消进阶(培优) 1.核心知识点总结 基础裂项：。 拓展裂项：(为正整数)。 2.高频考点梳理 连续裂项型：如2025江苏无锡期末。 多项式裂项型：(拆分子裂项)。 3.易错点警示 裂项符号错误：如误裂为(正确应为)。 漏乘系数：拓展裂项中忽略，如误裂为。 4.解题技巧拆解 识别裂项形式：观察分母是否为两个相差定值的整式乘积。 套用裂项公式：根据分母差值确定系数。 抵消化简：中间项相互抵消，剩余首尾项计算。 【例题9】．（25-26七年级上·河南周口·期中）观察下列等式： 第1个等式： = ×(1 - ) 第2个等式： = ×( - ) 第3个等式： = ×( - ) 第4个等式： = ×( - ) ．．． (1)请写出第n个等式； (2)计算：； (3)若，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的裂项相消法，解分式方程，解题的关键是通过观察等式规律，将分式拆分为两个分式的差，进而简化计算． （1）观察等式中分母的规律，写出第个等式的裂项形式； （2）利用裂项相消法，将每一项拆分乘两个分式的差，抵消中间项后计算； （3）先按裂项规律拆分式子，抵消后得到关于的方程，求解方程得到的值． 【详解】（1）解∶分母是两个数的乘积，前一个数依次为1，4，7，10，…，可表示为， 后一个数依次为4，7，10，13，…，可表示为， 等式右边均为乘这两个数的倒数差． 因此，第个等式∶ （2）解： ； （3）解： ， 根据题意，， ， ， ∴， 经检验，是原方程的解并符合题意， ∴． 【变式题9-1】．（24-25七年级下·山东济南·期末）观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类． （1）根据已知条件中的等式，找出规律即可； （2）按照（1）中的规律进行计算即可； （3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）观察下列等式：．将以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想并填空： (2)化简：． (3)探究并作答： 计算：； 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据规律计算解答即可； （2）根据规律解答即可． （3）根据，根据规律解答即可； 本题考查了规律探索，混合运算，熟练掌握探索规律是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ………… ， 故答案为：； ， ， ， ………… ， 故 ， 故 故答案为：． ， 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 【变式题9-3】．（25-26七年级上·四川德阳·月考）观察下列等式：， 将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：_____． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_____； ②____． (3)探究并计算： 【答案】(1)； (2)； ； (3)． 【分析】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 根据题干中三个等式的变化规律解答即可； 根据中的规律把各项展开，再计算即可； 根据中的规律把各项展开，再计算即可； 根据分母是两个连续偶数的乘积，把各项展开，可得：原式，再进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； 解： ， 故答案为：； （3）解： ． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同分母分式的加法运算，先依据同分母分式加法法则，将分子相加，分母保持不变，再得出结果即可． 【详解】解： 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减运算，注意到分母 ，将第二个分式变形后合并，利用因式分解简化表达式即可； 【详解】解： ， 故选：D 3．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知，求的值（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键． 将所求分式拆分为分式与常数的和，结合已知条件计算结果即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：C． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列运算或化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简与运算，需逐项验证其正确性．选项A、C、D通过代入特定值或直接计算可发现错误；选项B通过因式分解和约分可化简为右侧形式，但需注意分母不为零的条件． 【详解】解：A、与在一般情况下不相等（如取，左边，右边），A错误． B、（当且时），与右边一致，B正确． C、不能化简为（如取，左边，右边），C错误． D、，与右边不相等（如取，左边，右边），D错误． 故选：B． 5．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题，每小题分，他能得的分数是（   ） ①；②；③；④； ⑤； A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．根据分式的乘除和加减法则对每个式子进行化简，然后判断即可． 【详解】解：∵ ① ，正确； ② ，错误； ③ ，错误； ④ ，正确； ⑤ ，正确． ∴有题正确，得分为（分）， 即他能得的分数是分． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知，则 ． 【答案】 1 + 2 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式，将已知条件平方后减去常数项，即可求解； 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：. 7．（25-26九年级上·广东深圳·月考）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式化简求值，由已知条件，将所求表达式拆分为，再代入已知值计算． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·重庆·期中）若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分和约分，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由已知条件化简得到 ，然后代入分式计算即可． 【详解】解：由 ，得 ， 即 ， ∴ ． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，解题的关键是先将两个分式的分母化为相同形式，再进行分子的加减运算，最后化简． 【详解】解： 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）对于代数式，定义运算“※”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义运算，将左边按定义化简为分式形式，右边通分后得到分子表达式，通过比较分子系数建立关于A和B的方程组，解出A和B的值后代入所求表达式计算． 【详解】解：根据运算定义，， 右边：， 因此，， 分子相等：， 比较系数得：， 解方程组，得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 因此，． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东威海·期中）按要求进行计算． (1)； (2)； (3)先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】本题主要考查了分式加减运算，分数除法运算，分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据分式减法运算法则，进行计算即可； （2）根据分式除法运算法则，进行计算即可； （3）先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ∵，， ∴，， 把代入得：原式． 12．（25-26九年级上·广东梅州·期中）先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据得出，代入代数式进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 原式 13．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）先化简：，再从，，这几个整数中选择一个你认为合适的的值，代入求值． 【答案】；1 【分析】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把合适的a的值代入进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵要满足分式有意义， ∴，， ∴，， ∴从中选择， 当时，原式 ． 14．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）已知分式 (1)化简该分式； (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题主要考查分式的约分与化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键． （1）根据平方差公式，十字相乘法进行因式分解，再约分即可； （2）先推导出且的值为整数，化简，得到，则或或，求出x的值，再根据且，即可解答． 【详解】（1）解： 且． （2）∵的值为整数， ∴且的值为整数， ∵ ， ∴或或， 解得， ∵且， ∴． 答：x的值为． 15．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， (1)已知，求的值； (2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值； (3)问题解决： 已知：，，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （3）根据已知等式得出，，求出，将此式分别与前面三式相减，可求得：，，，再求出结果即可． 【详解】（1）由，知，，即． ，． （2）由，得，即，． ， ． （3）由，得，即：． 由，得：；由，得：． 以上三式相加，得， ． 将此式分别与前面三式相减，可求得：，，， 16．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师出示了如下问题：找一组都不为0的数，，，，使得分式成立（即，，，成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系．试猜想各组中的两分式之间的关系，并证明． （1）和；（2）和；（3）和（，）． “兴趣小组”找了一组能使分式成立的数：，，，．并对（1）（2）进行了探究． （1）计算：当，，，时，，． 猜想：若，则． 证明：，（依据1）， ； （2）计算：当，，，时，，． 猜想：若，则； 证明：方法一：，（依据2）， ； 方法二（作差法），，（依据3），． 任务一：上述材料中，“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是：依据1：　　　　；依据2：　　　　；依据3：　　　　； 任务二：请你说明材料中的（3）和（，）的关系，并进行证明． 【答案】任务一：等式的性质2；等式的性质1；分式的基本性质；任务二：，证明见解析 【分析】本题考查了等式的性质，分式的性质，异分母分式的加减法，熟练掌握分式的性质是解答本题的关键． 任务一：根据等式的性质可解答依据1和依据2，根据分式的性质可解答依据3； 任务二：用作差法根据异分母分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：任务一：依据1：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．（或等式的性质2） 依据2：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（或等式的性质1） 依据3：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变．（或分式的基本性质）． 故答案为：等式的性质2，等式的性质1，分式的基本性质； 任务二：，证明如下： ， ． ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $