4.5.3 相似三角形的性质及应用 课件2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

4.5.3相似三角形的性质及应用 浙教版 1 回顾相似三角形的性质： 1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2.相似三角形的周长之比等于相似比 3.相似三角形的面积之比等于相似比的平方 4.相似三角形对应边上的高之比，对应边上中线之比，对应角平分线之比等于相似比 复习旧知 世界上最高的楼 ——台北101大楼 怎样测量这些非常高大物体的高度？ 利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题. 情景导入 例题解析 例1 如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2.25m，现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度AC=1.20m，AB在水平位置.求AB的长度（精确到0.01m）. 解：由题意,得AB//PO, ∴∠ABC=∠OPQ. 又∵∠CAB=∠POQ=Rt∠, ∴△ABC∽△OPQ , ∴, ∴AB= 答：AB的长约为2.67m. 探究新知 如图，小明用一直尺测量树高，他拿一把直尺MN坚直放在一只眼睛的前面，然后向后移动，直至只看见树顶C和根部E时停止，这时小明离树的距离是8m，眼睛到直尺的距离是0.4m，直尺的长度是0.2m，你能求出这棵树有多高吗？ 新知讲解 解：∵MN∥CE， ∴△AMN∽△ACE. ∴＝，即＝，解得CE＝4. ∴这棵树的高度为4m. 归纳 从生活中提炼出几何图形，并运用几何知识去解决图形中提出的问题，从而解决生活中的问题，这就是数学中的建模思想．利用建模思想能解决和解释许多现实生活中的问题． 7 例题解析 例2 数学兴趣小组测校园内一棵树高，有以下两种方法： 方法一：如图，把镜子放在离树(AB)8m的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m. 分别根据两种不同方法求出树高(精确到0.1m). 例题解析 解：设AB=xm，由题意，得 CD//AB 方法一： A B E C D 8 m 2.8m 1.6m x m ∴△CDE≌△ABE ∴ ∵CD=1.6m，DE=2.8m，BE=8m ∴ ∴x≈4.6 方法二：如图，把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m. 解：∵△CDF∽△ABE A B C E F 2.4m 1.47m 2.8m x m D ∴ ∴ ∵CD=2.4m，DF=1.47m，BE=2.8m ∴x≈4.6m 利用标尺 测量高度的方法 利用影子 利用平面镜 利用标杆 总结 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示． 请根据相关测量信息，求出河宽AB. 练一练 解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠ABC＝∠ADE＝90°， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴△ABC∽△ADE，∴＝， ∵BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m， ∴AD＝AB＋8.5， ∴＝，解得AB＝17. 答：河宽AB为17 m. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 1.测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的 原理解决. 归纳 2.测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 课堂练习 学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=4 m,AB=1.6m,CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为( ) A.0.2m B.0.3m C.0.4 m D.0.5m C 2.如图，为估算某河的宽度,在河对岸岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20 m,EC=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于( ) A.60m B.40m C.30m D.20m B 3.如图所示的是用来测量小管口径的量具,AB长为5 mm,AC被分为50等份,若小管口径DE正好对着量具上30份处(DE//AB) ,则小管口径DE的长为 mm. 4.如图,一条4m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形,根据图中数据,可知这条道路的占地面积为 m2. 3 80 5、如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了? 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C . 解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E 与两棵树的顶端点A，C 恰在一条直线上． ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD. ∴△AEH∽△CEK. ∴ 即 解得 EH=8. 课堂小结 一、相似三角形的应用: 1、测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 2、测距(不能直接测量的两点间的距离) 3、线段的计算问题 二、解决实际问题时(如测高、测距)一般有以下步骤： ①审题 ②构建图形 ③利用相似解决问题 THANK YOU 22 $