利用相似的性质求边长与面积、动态几何中的相似问题专项训练- 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

利用相似的性质求边长与面积、动态几何中的相似问题专项训练 利用相似的性质求边长与面积、动态几何中的相似问题专项训练 考点目录 利用相似的性质求边长与面积 利用相似的性质求边长与面积 动态几何中的相似问题 考点一 利用相似的性质求边长 例1．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，中，，，平分，交于点，，交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三角形的周长分别是（   ） A．75，115 B．85，125 C．60，100 D．45，85 例3．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）在与中，若，且的周长为，则的周长 ． 例4．（25-26九年级上·海南·期中）如图，在中，，于点D，，，则的长为 ． 变式1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则正方形边长为（   ） A． B．20 C． D．30 变式2．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，，，，，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 变式3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知点在的边上，连接，若，，，则的长为 ． 变式4．（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，．若，则 考点二 利用相似的性质求面积 例1．（25-26九年级上·海南·期中）若与的相似比为2，则与的面积比为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 例2．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）如图，在中，分别是的边上的中线，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，在▱中，点在边上，，连接交于点，若的面积为24，则的面积为 例4．（25-26九年级上·福建泉州·期中）与相似，且与的相似比是，若的面积是，则的面积是 ． 变式1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是30，则四边形的面积为（   ） A．40 B．45 C．50 D．55 变式2．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，，则（    ） A．6 B．18 C．20 D．24 变式3．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，是一块三角形木板，边，要把它加工成一个边长为的正方形凳子面，且正方形的一边在上，其余两个顶点P，N分别在，上，则这个三角形木板的面积是 ． 变式4．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点．若的面积为2，则四边形的面积为 ． 考点三 动态几何中的相似问题 例1．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，在中，．点从点出发，沿折线运动，在边上以每秒个单位的速度运动，在边上以每秒个单位的速度向终点运动．当点与的顶点不重合时，过点作其所在直角边的垂线，交边于点，以为底边作等腰三角形，使，设点的运动时间为． (1)当点在边上运动时，求的长（用含的代数式表示）； (2)用含的代数式表示点到边PQ的距离； (3)当的一条直角边平分的腰时，求的值； (4)当点到两直角边所在直线的距离相等时，直接写出的值． 例2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形，，，是边上一点，且，点为边上一动点，连接，过作的垂线交矩形的边于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，当点在上时，是否变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由； (3)在整个运动过程中，的中点的运动路径长为_________． 例3．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，在中，，点在上，点在上，且，，，，动点从点出发，沿边以每秒2个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． (1)线段的长______； (2)当与相似时，求的值． 例4．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，正方形边长为，点为对角线上一点，，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上以的速度由点向点运动，设运动时间为秒（）． (1)求证：； (2)当是直角三角形时，求的值． 变式1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知厘米，厘米．点从点开始沿边向终点以2厘米/秒的速度移动；点从点开始沿边向终点以1厘米/秒的速度移动，一个点到达终点，另外一点随之停止．若、同时出发运动时间为． (1)为何值时，与相似？ (2)当为何值时，的面积为4cm2？ 变式2．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，在矩形中，，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，连接、，设运动时间为． (1)直接写出线段__________； (2)求的面积关于的函数关系式，并直接写出的取值范围； (3)当的面积时，直接写出的值． 变式3．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示长； (2)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； (3)当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 变式4．（25-26九年级上·四川·期中）如图，是边长为8的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边，连接． (1)如图1，当点在线段上运动时，证明：； (2)如图2，当点在线段上运动时，延长，交的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当时，求的值； (3)如图3，当点在的延长线上运动时，、相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用相似的性质求边长与面积、动态几何中的相似问题专项训练 利用相似的性质求边长与面积、动态几何中的相似问题专项训练 考点目录 利用相似的性质求边长与面积 利用相似的性质求边长与面积 动态几何中的相似问题 考点一 利用相似的性质求边长 例1.(25-26九年级上山西运城期中)如图，ABC中，AB=AC,∠A=36°，CE平分∠ACB,交AB于点E, ED∥BC,交AC于点D,已知DE=2,则BC=() B A.5-1 B.√5+1 C.25 D 5+1 2 【答案】B 【详解】解：ABC中，AB=AC,∠A=36°， ∠4CB=∠B=180-36°-=72， 2 ~CE平分∠ACB, LBCE=LACE=36°， ·∠ACE=LA, .CE AE, 在△BCE中，∠BEC=180°-72°-36°=72°， BC CE ED∥BC, ∠ADE=∠ACB=72°，∠AED=LABC=72°，∠DEC=∠BCE=36°， DE=CD=2,，∠ADE=∠AED, ·AE=AD, :.BC=CE=AE=AD, 设BC=CE=AE=AD=x,则AC=AD+CD=x+2, ED∥BC, AADE∽△ACB, 利用相似的性质求边长与面积、动态几何中的相似问题专项训练 DE AD 即2x BC AC xx+21 解得x=1+√5（负值已舍去）， 所以BC=√5+1， 故选：B 例2.(25-26九年级上·安微准北期中)两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三 角形的周长分别是() A.75,115 B.85,125 C.60,100 D.45,85 【答案】A 【详解】解：设小三角形的周长为x,则大三角形的周长为x+40, ~两个相似三角形对应边分别是15和23， 对应边之比为15：23， ·周长之比也为15：23， 即x15 x+4023’ 解得： ∴小三角形周长为75，大三角形周长为75+40=115. 故选：A 例3.(2526九年级上宁夏原期冲)在4BC与△DF中，若0=能=0子，宜4BC的肩长为I8cm子 则ADEF的周长 【答案】24cm/24厘米 【详解】解： AB BC CA 3 DE EF FD 4 ·△ABC△DEF, ·ABC的周长与△DEF的周长之比为3：4， ABC的周长为18cm, :ADEF的周长为18×4-24cm. 3 故答案为：24cm. 例4.(25-26九年级上海南·期中)如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,BC=2,BD=1,则AB 的长为 利用相似的性质求边长与面积、动态几何中的相似问题专项训练 B D 【答案】4 【详解】解：~LACB=90°，CD⊥AB, LCDB=∠ACB=90°， ∠B=∠B, △BDC∽△BCA, BD BC BC BA' 8=22=4, 故答案为：4. 变式1.(25-26九年级上·安徽阜阳期中)如图，在ABC中，BC=100,高AD=50,正方形EFGH一边在BC上， 点E,F分别在AB,AC上，AD交EF于点N,则正方形边长为() E B H DG A. 110 B.20 C.10o D.30 3 【答案】C 【详解】解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x, 四边形EFGH是正方形， ÷∠HEF=∠EHG=90,EF∥BC, AAEF∽△ABC, AD是ABC的高， ∠HDN=90°， 四边形EHDN是矩形， :.DN=EH =x, △AEF∽△ABC, :八=E5(相似三角形对应边上的高的比等于相似比)， AD BC 利用相似的性质求边长与面积、动态几何中的相似问题专项训练 BC=100,高AD=50, AN=50-x, 450-x。x 50100’ 解得：x=100 , 正方形边长为100， 3, 故选：C. 变式2.(25-26九年级上安徽马鞍山期中)如图，在ABC中，∠ABC=45°，AB=2V2,AD=AE, ∠DAE=90°，CE=√5，则CD的长为() 4 E D A.8 B.7 C.6 D.5 【答案】D 【详解】解：如图，在CD上取点F,使得∠DEF=∠ADB, B D AD=AE,∠DAE=90°， 六DE=VAD2+AE2=2AD=√2AE,LADE=LAED=45°， ∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠BAD+∠ABC,∠ABC=45°， :.ZBAD ZCDE ∠DEF=∠ADB, A△ADB∽△DFE, AB AD DE DE' AB=2V2,DE=√2AD, 22 AD DFAD DF=4, AADB∽△DFE, 利用相似的性质求边长与面积、动态几何中的相似问题专项训练 ∴∠DFE=∠ABC=45°， ∠CED=180°-∠AED=135°，∠CFE=180°-∠DFE=135°， ∴LCED=∠CFE, ~∠C=∠C, ACEF∽aCED, CE CF CD CE 即，CE-CF CF+DF CE CE=5, 5 CF CF+45 “CF=1（负值舍去)， ∴CD=CF+DF=5. 故选：D 变式3.(25-26九年级上江苏扬州期中)如图，己知点D在ABC的边AC上，连接BD,若∠CBD=∠A, BC=AD,AC=2,则BC的长为 B D 【答案】5-1 【详解】解：~∠CBD=∠A,∠BCD=∠BCA, △CBD∽△CAB, :CB:CA=CD CB, ..CB:2=(AC-AD):CB, BC=AD, .CB:2=(2-BC):CB, .BC2+2BC-4=0, .BC=√5-1（负值已舍去）， 故答案为：√5-1. 变式4.(25-26九年级上河南开封月考)如图，SaeS5DsE=2:3.若L4DE=LC,则42 AC U 利用相似的性质求边长与面积、动态几何中的相似问题专项训练 A 【答案】0 【详解】解：~∠ADE=∠C,∠A=∠A, ∴△ABC∽△AED, .SAAED AD2 又SAADE:S西边形DBCE=2:3, SAABC AD 2 AD =心（负值舍去）： 5 故答案为： √10 5 6 利用相似的性质求边长与面积、动态几何中的相似问题专项训练 考点二 利用相似的性质求面积 例1.(25-26九年级上·海南期中)若ABC与△A'B'C'的相似比为2，则ABC与△A'B'C'的面积比为() A.1 B.2 C.4 D.2 【答案】C 【详解】解：~ABC与△A'B'C'的相似比为2， ·ABC与△A'B'C'的面积比为22=4. 故选：C. 例2.(25-26九年级上甘肃酒泉·月考)如图，在ABC中，CD,BE分别是ABC的边AB,AC上的中线，则E(） SABCF D B B c. D.4 【答案】B 【详解】解：：CD,BE是ABC的中线， D是AB中点，E是AC中点， DE∥BC,且DE=BC △ADEn△ABC,相似比为；， 1)2 ∴SADE= 4 同理：△DEF∽△CBF, DE EF 1 BC BF2' BE3' BE是中线，SABECAABC”且C、3 BE 3' 2 21 1 利用相似的性质求边长与面积、动态几何中的相似问题专项训练 4 4 故选：B. 例3.(25-26九年级上：辽宁沈阳·月考)如图，在ABCD中，点E在边CD上，DE=2EC,连接AE交BD于点F ,若△DEF的面积为24，则△ABF的面积为 【答案】54 【详解】解：~四边形ABCD是平行四边形，DE=2EC, :.BA//DC,BA=DC=2EC+EC=3EC, BA 3EC 3 DE 2EC2' BA∥DE, ∴AABF∽△EDF, SDEF SADEF =24, 9 9 4 ×24=54, 故答案为：54. 例4.(25-26九年级上·福建泉州期中)△ABC与△DEF相似，且△ABC与△DEF的相似比是1：2，若△ABC的面积 是5，则△DEF的面积是 【答案】20 【详解】~AABC△DEF,且相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为 ~△ABC的面积为5， ∴△DEF的面积为5÷=20. 4 故答案为：20. 利用相似的性质求边长与面积、动态几何中的相似问题专项训练 变式1.(25-26九年级上·安徽阜阳期中)如图，ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分， EH∥BC,若图中阴影部分的面积是30，则四边形BCGF的面积为() B A.40 B.45 C.50 D.55 【答案】C 【详解】解：由题意可知：EH∥FG∥BC, ∴△AEH∽△AFG,△AEH∽△ABC, AE=EF=BF, .AE1 AF 2 AF=2’AB3 SAFG AF =4’S。ABC AB=9 ~阴影部分的面积是30， ∴.S.AFG= 35西边形B01=40 9 Sc=434o=90, .S因边形BcGr=S.ABc-S。AFG=50; 故选：C. 变式2.(25-26九年级上山东菏泽·期中)如图，在口ABCD中，AE:ED=1:2,S。4EF=2,则S。4Bc=() D E B A.6 B.18 C.20 D.24 【答案】D 【详解】解：oABCD, AD∥BC,AD=BC, △AEF∽△CBF, 9 利用相似的性质求边长与面积、动态几何中的相似问题专项训练 AF AE CFBC’SABr:S.ce= AE BC ×AE:ED=1:2, AE:AD=1:3, AE:BC=1:3, ÷织=E！ CFBC3’SEr:ScBr=1:9, :.CF3 404,S.car=9S4gp=18, SCBF:S.ABC=3:4, ∴S.A8c=24; 故选D. 变式3.(25-26九年级上河北衡水期中)如图，ABC是一块三角形木板，边BC=60cm,要把它加工成一个边 长为24cm的正方形凳子面，且正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P,N分别在AB,AC上，则这个三角形 木板的面积是 cm2. D 【答案】1200 【详解】解：如图，设ABC的高AD与PN交于点E, C ~正方形MWPQ的边长为24cm, PQ=PN=24cm,PN∥BC,PQ⊥BC,PQ⊥PN, AD⊥BC, ∴四边形DEPQ是矩形，AD⊥PN, ..DE=PO=24cm, 设AD=hcm,则AE=AD-DE=(h-24)cm, 10