4.5.1相似三角形的性质及应用 课件 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的性质及应用，核心知识点包括相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比，以及三角形重心定理。课堂导入先回顾相似三角形判定方法，通过“想一想”引导学生思考三角形除角和边外的线段，再探究对应线段关系，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以“回顾-探究-证明-应用”为主线，通过“想一想”环节引导学生用数学眼光观察三角形线段，培养几何直观；证明对应高的比等于相似比并类比推广，发展推理意识；例题和练一练用规范数学语言解题，强化应用意识。如例2结合中线证重心性质，帮助学生构建知识体系，教师使用可提升教学效率，学生能发展逻辑推理与知识迁移能力。

4.5.1相似三角形的性质及应用 浙教版 1 2、预备定理（平行得“A”型，“X”型 相似） 3、三边对应成比例的两三角形相似. 相似三角形的判定方法 4、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似 1、定义法： 三个角对应相等 三边对应成比例 5、两角分别相等的两个三角形相似 6、斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 思考 2 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些线段? 高 中线 角平分线 如果两个三角形相似，那 么，对应的这些要素 有什么关系呢？ 想一想 3 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ A B C A' B' C' 探究新知 探究 B′ C′ A′ B A C D D′ 已知:ΔABC∽ΔA′B′C′，相似比为k, AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的高. 求证: 证明： ∵△ABC∽△ABC ∴∠B=∠B ∴∠ADB=∠ADB=90° ∴△ABD∽△ABD ∵AD、AD分别是BC、BC边上的高 相似三角形的对应边上的高之比等于相似比. ∴ 归纳： 例题解析 例1、如图：△A’B’C’∽△ABC，相似比为，求这两个三角形的角平分线A’D’与AD的比. 解：∵△A’B’C’ ∽△ABC， ∴∠B’=∠B，∠B’A’C’=∠BAC. ∵A’D’，AD分别是△A’B’C’与△ABC的角平分线， ∴∠B’A’D’=∠B’A’C’，∠BAD=∠BAC. ∴∠B’A’D’=∠BAD ∴∠B’A’D’=∠BAD ∴△A’B’D’∽△ABD ∴ 类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比. 由此我们可以得到： 相似三角形对应高的比等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 归纳 练一练 解：∵ △ABC ∽△DEF， 　 D E F H 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG= 4.8 cm. 求 EH 的长. ∴ (相似三角形对应角平分线的比等于相似比)， ∴ ，解得 EH = 3.2. A G B C ∴ 故 EH 的长为 3.2 cm. 10 例2、已知：如图 ，BD，CE是△ABC的两条中线， P是它们的交点. 求证：. 例题解析 解：连结DE. ∴△DEP∽ △BCP ∴DE//BC，DE= ∵BD，CE是△ABC的两条中线， ∴∠EDB=∠DBC，∠DEC=∠ECB， ∴ 想一想 A B C E P F P G 如图，△ABC的两条中线BE、CF交于P点，那么BC边上的中线AG是否也经过P点呢？ 归纳 A B C E P F P G ★重心的定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. ★重心的性质：三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段. 如图，在△ABC中，EF∥BC，且EF=BC=2 cm，△AEF的周长为10 cm，求梯形BCFE的周长. 解：∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB， ∴△AEF∽△ABC． 又∵EF＝ BC， ，即相似比为 ． ∴△ABC 的周长＝15(cm)． ∴梯形 BCFE 的周长＝△ABC 的周长－△AEF 周的长＋2EF ＝15－10＋4＝9(cm)． 练一练 课堂练习 1、已知△ABC∽△A´B´C´，AD、A ´D ´分别是对应边BC、B ´C ´上的高，若BC＝8cm,B ´C ´＝6cm,AD＝4cm,则A ´D ´等于（ ） A 16cm B 12 cm C 3 cm D 6 cm 2、两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应角平分线的比为（ ） A 7∶3 B 49∶9 C 9∶49 D 3∶7 C D 3、如图，已知点D是AB边的中点，AF//BC,CG:GA=3：1，BC=8，则AF=_________ 4、如图，△ABC中，BD是角平分线，过D作DE//AB交BC于点E,AB=5，BE=3，则EC=______ 4 4.5 5.如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，AG⊥GC，AG＝3，CG＝4，求BG的长． 解：延长BG，交AC于D，G是重心， ∴D是AC中点， ∵AG⊥GC， ∴△AGC是直角三角形， 根据勾股定理，可得AC＝5， ∴GD是AC边上的中线， ∵GD＝AC＝2.5， ∴根据重心定理，BG＝2GD＝5. 相似三角形的性质 相似三角形的对应角平分线，高，中线比等于相似比. 三角形的重心定理 三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段. 课堂小结 THANK YOU 22 $