第26章 二次函数 单元培优检测题 2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级下册

《二次函数》单元培优检测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝2x（x﹣1） C． D．y＝（x+2）2﹣x2 2．抛物线y＝x2+5x﹣6与y轴的交点坐标是（　　） A．（5，0） B．（﹣6，0） C．（0，5） D．（0，﹣6） 3．将表达式为y＝（x﹣3）2+5的抛物线经过平移后得到表达式为y＝x2﹣2x+3的抛物线，则平移的方向和距离是（　　） A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 4．已知点（﹣2，y1），（1，y2），（2，y3）在二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 5．已知二次函数y＝x2﹣bx﹣1（b＞1），则下列说法错误的是（　　） A．该二次函数的图象与x轴有交点 B．该二次函数的图象的对称轴与x轴交于正半轴 C．若点（m，n）在该二次函数的图象上，则n≥﹣1 D．若点（﹣3，y1），（2，y2）都在y＝x2﹣bx﹣1的图象上，则y1＞y2 6．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（　　） A．w＝（x﹣30）（﹣2x+80） B．w＝x（﹣2x+80） C．w＝30（﹣2x+80） D．w＝x（﹣2x+50） 7．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（　　）m． A．6 B．45 C．35 D．25 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，过点（﹣2.5，0），其对称轴是直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③a+b+c＞0．其中正确的结论是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 9．已知二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝2x的图象大致为（　　） A． B． C． D． 10．关于x的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（每题4分，共24分） 11．抛物线y＝（x+1）2﹣3的顶点坐标是　 　 ． 12．抛物线y＝﹣x2+2x+4与x轴的交点个数为 　 　 个． 13．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x（表格中x从左到右增大）与函数值y的对应值如表： x … 0 x1 x2 1 3 x3 … y … 1 y1 y2 0 1 y3 … 则y1、y2、y3从小到大依次为　 　 ． 14．如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线AGMD可近似看作一条抛物线，四边形ABCD为矩形且支架AB，CD，GH，MN均垂直于地面BC．已知BC＝6米，AB＝2米，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为（1，3），则抛物线的表达式为　 　 ． 15．若实数x、y满足x2﹣5x﹣y＝0，则x+y的最小值是　 　 ． 16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，已知图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＞0；②5是方程ax2+bx+c＝0的一个根；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④5a+c＝0；⑤4a+2b＞am2+bm．其中正确的结论有　 　 ． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．已知函数y＝ax2﹣4x+2（a≠0）． （1）若点（1，﹣1）在此函数图象上，求该二次函数表达式及函数图象的开口方向； （2）在（1）的条件下，判断点（2，2）是否在此函数图象上． 18．赵州雪花梨膏是河北传统名产，某特产店在旺季进购一批礼盒装雪花梨膏进行售卖，已知雪花梨膏每盒的进价为30元，售价为50元，每星期可卖出100盒，经市场调研发现，每盒售价每下降2元，每星期可多卖20盒．现特产店进行降价销售，每盒售价下降x元． （1）降价后该特产店每星期卖出雪花梨膏　 　 盒（用含x的代数式表示）； （2）若该特产店想要实现每星期卖出雪花梨膏的利润为2240元的目标，同时尽可能的让利与顾客，求每盒雪花梨膏的售价； （3）求每盒售价下降多少元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大？最大利润是多少？ 19．某数学兴趣小组利用公园里一个斜坡做数学探究活动，如图，斜坡OA（其中AB＝5.6m，OB＝7m），他站在O处抛球，球从离地面1.5m高的C处扔出，小球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，已知小球在水平距离O点3m时达到最高6m，小球抛向斜坡OA上．设小球的水平距离为x（m），竖直高度为y（m）． （1）求y与x的函数关系式； （2）若t﹣1≤x≤t时，小球的最大高度为5.5m，求t的值； （3）若小球的落点为M，并沿着斜坡经历3秒滚回到起点O，求这次滚动的平均速度． 20．如图所示，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C（0，5），直线y＝﹣x+1与该抛物线交于D，E两点． （1）求抛物线的解析式； （2）平移线段CD，若点C的对应点C'落在抛物线上，点D的对应点D'落在直线DE上，求出此时点C'的坐标． （3）如图（2），将DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，点P是DE上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接PQ交DE于点G． ①当四边形DPEQ是菱形时，请直接写出点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段PQ的最大值． 21．篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备．发球机经设置按某一角度发球后，把球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度h（单位：m）与水平距离s（单位：m）之间的关系，测得一些数据如表： s/m 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … h/m 0.45 1.1 1.65 2.1 2.45 2.7 2.85 2.9 2.85 … 为观察h与s之间的关系，建立平面直角坐标系，以s为横坐标，h为纵坐标，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分． （1）发球机出口点A的离地高度为 　 　 m； （2）小亮在训练时发现，当球离地高度h的取值范围是1.1≤h≤1.65时，接球较为舒适．已知标准篮球场地罚球线距离发球机出口A的水平距离为5.8米，此时小亮站在罚球线处，　 　 （填“能”或“不能”）舒适地接到球，并说明理由． 22．已知抛物线y＝﹣x2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）直接写出结果：b＝ 　 　 ，∠OCB＝ 　 　 °； （2）如图1，点M（a，3）是第一象限内抛物线上一点，连接BM，若N是第二象限内抛物线上一点，∠MBC＝∠NBC，求出N点的坐标； （3）如图2，若点P是抛物线上一点． ①若点P在BC右侧时，连接PC，PB，求△PBC面积的最大值； ②若点P是抛物线上任意一点，且，试确定满足条件的P点个数，请直接写出你的结论． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C C A B C B D 二．填空题 11．（﹣1，﹣3）． 12．2． 13．y2＜y1＜y3． 14．yx2． 15．﹣4． 16．②④． 三．解答题 17．解：（1）∵点（1，﹣1）在函数y＝ax2﹣4x+2图象上， ∴a﹣4+2＝﹣1． ∴a＝1． ∴y＝x2﹣4x+2． ∴开口向上． （2）∵y＝x2﹣4x+2， ∴当x＝2时，y＝22﹣4×2+2＝﹣2． ∴在（1）的条件下，点（2，2）不在此函数图象上． 18．解：（1）每盒售价每下降2元，每星期可多卖20盒．现特产店进行降价销售，每盒售价下降x元． 由题意得（100+10x）； 故答案为：（100+10x）； （2）由题意可得（50﹣30﹣x）（100+10x）＝2240， 解得x1＝4，x2＝6． 由题意可得：x的值为6， ∴50﹣6＝44（元）． 答：每盒雪花梨膏的售价为44元； （3）设每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润为w元． 由题意得w＝（50﹣30﹣x）（100+10x）＝﹣10（x﹣5）2+2250．其中0≤x≤20； ∵﹣10＜0， ∴当x＝5时，w有最大值为2250． 答：当每盒售价下降5元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大，最大利润是2250元． 19．解：（1）由图知，二次函数的顶点坐标为（3，6）， 设y与x的函数关系式为y＝a（x﹣3）2+6， 把点C（0，1.5）代入得，1.5＝a•（﹣3）2+6， 解得， ∴； （2）当t＜3时，y随x的增大而增大， ∴x＝t时，， 解得t1＝2，t2＝4（舍）， 当t﹣1＞3时，y随x的增大而减小， ∴x＝t﹣1时，， 解得t1＝5，t2＝3（舍）； 当t﹣1＜3＜t时，ymax为顶点（3，6），不符合题意； 综上，t的值为2或5； （3）设OA的解析式为y＝kx， 把A（7，5.6）代入得5.6＝7k， 解得k＝0.8， ∴OA的解析式为y＝0.8x， 由， 解得x1＝5，（舍）， ∵5×0.8＝4， ∴M（5，4）， 由勾股定理得OM（m） 即小球滚动的平均速度为m/s． 20．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，5）， ∴1， 解得：a＝﹣1， 又∵抛物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点C（0，5）， ∴c＝5， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+5． （2）联立得， 解得：，， ∴D（﹣1，2），E（4，﹣3）， 如图1，连接CC′， ∵平移线段CD，且点C的对应点C'落在抛物线上，点D的对应点D'落在直线DE上， ∴四边形CDD′C′是平行四边形， ∴CC′∥DE， 设直线CC′的解析式为y＝﹣x+d，将C（0，5）代入得d＝5， ∴直线CC′的解析式为y＝﹣x+5， 联立得， 解得：（舍去），， ∴C′（3，2）． （3）①如图2，将DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，点P是DE上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q， 由（2）知，D（﹣1，2），E（4，﹣3），设P（m，﹣m2+2m+5）， ∵四边形DPEQ是菱形， ∴PD＝PE， ∴（m+1）2+（﹣m2+2m+5﹣2）2＝（m﹣4）2+（﹣m2+2m+5+3）2， 化简得，m2﹣m﹣7＝0， 解得：m或m（舍去）， ∴点P的坐标为（，）； ②如图3，设直线DE交y轴于点F，过点P作PJ∥y轴交DE于J， 设P（t，﹣t2+2t+5），则J（t，﹣t+1）， ∴PJ＝﹣t2+2t+5﹣（﹣t+1）＝﹣t2+3t+4， 由①知∠GFH＝45°， ∵PJ∥y轴， ∴∠PJG＝∠GFH＝45°， ∵P、Q关于直线DE对称， ∴PQ⊥DE，即∠PGJ＝90°，PQ＝2PG， ∴△PJG是等腰直角三角形， ∴PGPJ， ∴PQ＝2PGPJ（﹣t2+3t+4）（t）2， ∵0， ∴当t时，线段PQ的最大值为． 21．解：（1）根据表中的数据知，s＝0m时，h＝0.45m， ∴OA＝0.45m， 故答案为：0.45； （2）小亮站在罚球线处，不能舒适地接到球，理由如下： 设抛物线的解析式为h＝as2+bs+0.45， 把s＝1m时，h＝1.65m，s＝2m时，h＝2.45m代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为h＝﹣0.2s2+1.4s+0.45， 当s＝5.8时，h＝1.842（米）， ∴当球离地高度h的取值范围是1.1≤h≤1.65时，接球较为舒适，不能舒适地接到球， 故答案为：不能． 22．解：（1）b＝2；∠OCB＝45°；理由如下： 已知抛物线y＝﹣x2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于点C．将点B的坐标代入得： 0＝﹣9+3b+3， 解得：b＝2， 当x＝0时，得：y＝3， ∴C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∴∠OCB＝45°； 故答案为：2；45； （2）如图1，设BN交y轴于E，当y＝3时，﹣a2+2a+3＝3， 解得：a1＝0（舍去），a2＝2， ∴M（2，3）， ∴CM＝2，CM∥x轴， ∴∠MCO＝180°﹣∠COB＝90°， ∴∠MCB＝∠OCB＝45°， ∵CB＝CB，∠MBC＝∠NBC， ∴△MCB≌△ECB（ASA）， ∴CE＝CM＝2， ∴OE＝1， ∴E（0，1）， 设直线BE：y＝kx+1，代入B（3，0）得，0＝3k+1， ∴， ∴． 由， 解得：或， ∴； （3）①连接OP，设点P（m，﹣m2+2m+3）， ∴S△PBC＝S△PCO+S△POB﹣S△OBC 3×m3×（﹣m2+2m+3）3×3 ， ∴当时，， ②当时，满足条件的P点有3个；当时，满足条件的P点有4个；当时，满足条件的P点有2个．理由如下： 如图，由①可得：当时，则； ∴当时，满足条件的P点有3个； 当时，满足条件的P点有4个； 当时，满足条件的P点有2个． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/10 23:23:44；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $