2.2 二次函数的图象与性质 同步基础训练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

2.2 二次函数的图象与性质 同步基础训练 一．选择题 1．抛物线y＝（x﹣3）2+4的对称轴是直线（　　） A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x＝﹣4 D．x＝4 2．已知函数y＝x2，当x＜﹣2时，y的取值范围为（　　） A．y＞2 B．y＞4 C．y＜2 D．y＜4 3．把抛物线向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到的抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 4．关于二次函数y＝（x﹣1）2+2的最值，下列说法正确的是（　　） A．最大值为1 B．最小值为﹣1 C．最大值为2 D．最小值为2 5．把抛物线平移可得到抛物线，下列说法正确的是（　　） A．先向上平移1的单位长度，再向左平移2个单位长度 B．先向上平移1的单位长度，再向右平移2个单位长度 C．先向左平移1的单位长度，再向下平移2个单位长度 D．先向右平移1的单位长度，再向下平移2个单位长度 6．二次函数y＝（x+2m）2﹣1，当x≤5时y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的解是（　　） A．x＝1 B．x＝3 C．x＝1或x＝3 D．x＝2或x＝3 8．如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（　　） A．B． C． D． 9．如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．mn＝1 D． 10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．以下四个结中正确结论的个数是（　　） ①abc＞0； ②a﹣b+c＞1； ③3a+c＜0； ④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题 11．二次函数y＝2x2+7x的顶点坐标为　 　 ． 12．将抛物线y＝x2向下平移3个单位，所得到的新抛物线的顶点坐标是　 　 ． 13．已知二次函数y＝3（x﹣h）2，当x＞1时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是　 　 ． 14．已知点A（0，2a），B（2，﹣2），若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与线段AB只有一个公共点，则a的取值范围为 　 　 ． 15．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2，设抛物线的对称轴为直线x＝t．若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，则t的取值范围是 　 　 ． 16．二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0），其图象经过点（4，3），则下列说法： ①该函数图象过点（0，3）； ②ab＞0； ③若点（1+m，n）在该函数图象上，则（3﹣m，n）也在该函数图象上； ④当3≤x≤4时，y只有3个整数值，则a＜1或﹣1＜a． 其中正确的是 　 　 （填序号）． 三．解答题 17．已知二次函数y＝x2﹣4x+2． （1）写出函数顶点坐标； （2）当x＞2时，y随x的增大而　 　 （填“增大”或“减小”）； （3）当1＜x＜4时，求y的取值范围． 18．在二次函数y＝ax2+bx+c中，x与y的几组对应值如下表所示： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y… 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 m … （1）表中m＝　 　 ； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当t≤x≤t+1时，0≤y≤5，则t＝　 　 ． 19．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）x与y的几组对应值如下表，其中m＝　 　 ． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 5 0 ﹣3 m ﹣3 0 1 0 ﹣3 … （2）如图，在直角坐标系中画出了函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的部分图象，用描点法将这个图象补充完整． （3）结合函数图象：解决下列问题： ①当y随x的增大而减小时，写出x的取值范围　 　 ． ②若方程﹣（x﹣1）（|x|﹣3）＝﹣3的所有解的和为a，则a的值为　 　 ． ③不等式﹣4≤﹣（x﹣1）（|x|﹣3）≤0的解集为　 　 ． 20．已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是关于x的二次函数图象上的两个不同点． （1）若该二次函数的图象关于y轴对称，求b的值； （2）在（1）的条件下，若，x2＝1，M是线段PQ下方的点且在该二次函数图象上，过点M作x轴的垂线交线段PQ于点N，求MN的最大值； （3）若P，Q两点都在直线上，T是该二次函数图象的顶点，求△PQT的面积． 21．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点A（2，6）在函数y＝2x+1图象上，点A的“纵横值”为6﹣2＝4，函数y＝3x+2图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝3x+2﹣x＝2x+2，当﹣2≤x≤4时，2x+2的最大值为8+2＝10，所以函数y＝3x+2（﹣2≤x≤4）的“最优纵横值”为10． 根据定义，解答下列问题： （1）点B（﹣5，3）的“纵横值”为 　 　 ； （2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求b、c的值； （3）若二次函数y＝﹣（x﹣h）2+3的顶点在直线上，当﹣1≤x≤3时，求该二次函数的纵横值的范围． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D C D C C B A 二．填空题 11．． 12．（0，﹣3）． 13．h≤1． 14．0＜a． 15．t． 16．①③④． 三．解答题 17．解：（1）y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2， ∴顶点坐标为（2，﹣2） （2）由（1）知：抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上， ∴当x＞2时，y随x的增大而增大； 故答案为：增大； （3）∵当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大， 顶点坐标为：（2，﹣2）， 当x＝1时，y＝﹣1， 当x＝4时，y＝2， ∴当1＜x＜4时，y的取值范围为：﹣2≤y＜2． 18．解：（1）二次函数的对称轴为直线x＝﹣1， 因为x＝2与x＝﹣4时的点关于直线x＝﹣1对称，且x＝﹣4时y＝5， 故m＝5． 故答案为：5； （2）根据表格中x与y的对应值描点，再用平滑的曲线连接各点，即可得到二次函数的图象． （3）要使t≤x≤t+1时0≤y≤5，观察图象可得： 当t＝﹣4时，在﹣4≤x≤﹣3内，y从5到0，符合条件； 当t＝1时，在1≤x≤2内，y从0到5，符合条件． 故答案为：﹣4或1． 19．解：（1）把x＝﹣1代入y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）得y＝﹣4， ∴m＝﹣4； 故答案为：﹣4； （2）描点、连线画出函数的图象如图， （3）①当x≤﹣1或x≥2时，y随x的增大而减小， 故答案为：x≤﹣1或x≥2； ②结合表格可知﹣（x﹣1）（|x|﹣3）＝﹣3有三个解， 分别为x1＝﹣2，x2＝0，x3＝4， 所以a＝x1+x2+x3＝﹣2+0+4＝2， 故答案为：2； ③不等式﹣4≤﹣（x﹣1）（|x|﹣3）≤0， 当y＝﹣4时， 当x＞0时，﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣4，即x2﹣4x﹣1＝0， 解得（舍）， 当x＜0时，x2+2x+1＝0， 解得x＝﹣1， ∴解集为﹣3≤x≤1或． 故答案为：﹣3≤x≤1或． 20．解：（1）∵抛物线关于y轴对称， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∴b＝0； （2）由（1）得b＝0， ∴抛物线为， 把，x2＝1分别代入得，； 所以P的坐标为，Q的坐标为， 设直线PQ的解析式为y＝kx+t， 则， 解得， ∴直线PQ的解析式为：， 设，由于点M在线段PQ的下方， ∴， 依题意得， ∴， ∴当时，MN取最大值为； （3）把代入可得：， 整理可得出：， 此时：x1+x2＝﹣b，， ∴， ∴PQ＝|x1﹣x2|＝3． ∵抛物线化为顶点式为， ∴抛物线的顶点为， ∵PQ平行于x轴 ∴T到线段PQ的距离， ∴． 21．解：（1）3﹣（﹣5）＝8， 故答案为：8； （2）∵二次函数的顶点在直线上， ∴，即b＝3， ∴y＝﹣x2+3x+c， 则y﹣x＝﹣x2+3x+c﹣x＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1≤c+1， 即二次函数的最优纵横值为c+1， ∴c+1＝5， ∴c＝4， ∴b＝3，c＝4； （3）二次函数的顶点坐标为（h，3）， ∵顶点在直线上， ∴，解得h＝2， 故二次函数为y＝﹣（x﹣2）2+3＝﹣x2+4x﹣1， 则， 当﹣1≤x≤3时，当时，y﹣x的最大值为， 当x＝﹣1时，y﹣x有最小值﹣5， ∴当﹣1≤x≤3时，求该二次函数的纵横值的范围是． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/9 22:52:36；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $