湖南省邵阳市“八校联盟”2025-2026学年高二创新实验班上学期10月月考联考数学试题

秘密★启用前 姓名 准考证号 邵阳市“八校联盟”2025年10月创新实验班联考试题卷 (数学) 本试卷共4页，19个小题。满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如 需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1.(本题5分)若复数z满足z·z+z=1-i,则z的虚部为() 1 A.-1 B.2 C.1 D.2 2.(本题5分)(x+3y)2x-y)5的展开式中，x2y的系数为() A.-110 B.-30 C.50 D.130 2W5V5 3.(本题5分)己知圆x2+y2=1上一点A 5’5 现将点A绕圆心顺时针旋转”到点B,且OC=2OB, 6 则点C的横坐标为() A.5-25 B. 15+25 C. 2W15-√5 D.2W5+5 5 4.（本题5分)已知a>0,b>0,a+b=1+1, 0b,则二+二的最小值为(》 a b A.4 B.22 C.8 D.16 5.（本题5分)若圆x2+(0y-2)2=r2(r>0)上到直线y=√3x-2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围 是() A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+0) D.(0,+0) 6.(本题5分)已知正数x,y满足ylnx+ylny=e,则xy-2x的最小值为() A.In2 B.2-2ln2 c.-n2 D.2+In2 2 2 邵阳市“八校联盟”2025年10月创新实验班联考试题卷第1页（共4页） 7.(本题5分)能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是() A.26 B.6 C.25 D.31 3 3 32 8.(本题5分)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，且a2=2S+(b-c)2, 则2sin'B+sinC的取值范围为() sinBsinC 4359 A. (15'15 B. 25 C D.「22，+∞ 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 腹6分)已知椭圆C+片1内一点从上、下焦点分别为R,乃，直线7与椭圆C交 B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是() A.椭圆的焦点坐标为(2,0)，（-2,0) B.椭圆C的长轴长为4√2 C.直线1的方程为x+y-2=0 D.△FAB的周长为8√2 10.(木题6分)已知函数f)的定文域为R,且/兮产0，若/x+)+/)0)=4,则() A. B.f2-2 C.函数f-2是偶函数 D.函数fx+2是减函数 11.(本题6分)如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体ABCD-ABCD的侧面ADDA上的一个动点（含 边界)，P是棱CC的中点，则下列结论正确的是() D A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为 2 B B.若保持PMFV2,则点M在侧面内运动路径的长度为 M D C.三棱锥B-C,MD的体积最大值为 B D.若M在平面ADDA内运动，且∠MDB=∠BDB,点M的轨迹为抛物线 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.(本题5分)把一个圆柱形水杯倾斜到与水平面成45°角，水面形状是一个椭圆，则这个椭圆的离心率 为 13.(本题5分)某学校派5人参加连续8天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其中第三天和第五天各需 2个人同时参加，其余的天数只能有一个人参加，每个人都至少参加一次活动，至多参加两次活动，则不同的 安排方法有 种.（结果用数字表示） 邵阳市“八校联盟”2025年10月创新实验班联考试题卷第2页（共4页） 14.(本题5分)已知函数f(x) {e,x之0，。若函数g()=f)x2-c(k>0)(e为自然对数的底数） -x2-2x,x<0. 恰有4个零点，则k的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题13分)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn+2=a+1·n∈N. (1)若a,=1,求{an}的通项公式： (2若{a,}为等比数列，设h=1o8,,数列b,}的前n项和为7，求Z. a。 16.(本题15分)已知向量m=(inxl,n-V5cosx,) 令函数f(x)=(m+n)m. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠ACB的角平分线交AB于D.其中，函数f(C)恰好 为函数f(x)的最大值，且此时CD=f(C),求3a+b的最小值. 17.(本题15分)在△ABC中，AB=AC,AB⊥AC,BC=4,D是BC的中点，E是AB的中点，F是BD的 中点.如图，将△BEF和△ACD分别沿EF、AD向平面ADFE的同侧翻折至△MEF和△ADN的位置，且使 得DN∥MF. W B F D D (1)证明：NA=2ME: (2)求平面DEM与平面AEMN的夹角的余弦值的最大值. 邵阳市“八校联盟”2025年10月创新实验班联考试题卷第3页（共4页） 18.(本题17分)已知函数f(x)=e-x,g(x)=x-mlnr. (I)是否存在实数m,使得f(x)和g(x)在(0，+∞)上的单调区间相同？若存在，求出m的取值范围；若不存在， 请说明理由 (2)已知x,x2是f(x)的零点，x2,3是g(x)的零点. ①证明：m>e, ②证明：1<xxx<e3. 19.(本题17分)已知椭圆C:等+茶-1Q>6>0)的离心本为；，4R0分别为箱圆C的左，右顶点和坐标 原点，点D为椭圆C上异于A,B的一动点，△DAB面积的最大值为2√3， VA H D M (1)求椭圆C的方程： (2)过右焦点F的直线交椭圆C于M,N两点，直线I:x=4交x轴于P,过M,N分别作I的垂线，交1于S,T两点， H为l上除点P的任一点. (i)证明：S2MPN=4 SAMPS·S△NPr: k+k2的值， (i)设直线M、HN、F的斜率分别为k、k、店，求 邵阳市“八校联盟”2025年10月创新实验班联考试题卷第4页（共4页）邵阳市“八校联盟”2025年10月创新实验班联考参考答案与评分标准 (数学) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B & B 7.C【详解】要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情 况，设三个半径为1的圆的圆心分别为O,O2,O,设被覆盖的圆的圆心为O,如图， 设圆O与O2交于A,B,OO2交AB于H,AB交圆O3于C,显然O为正△O,O,O3的中心， 设00=00，=00=x,则0H=2,0H=), OA=OH+HA= 23球)xW4-3,又0C=00,+0C=x+0 因光国0的最大半径为01，◆f=x+4-3可，求号得r国=43-3数 2W4-3x2 由=0，得x=5,当0<r<5时，>0，当5x<25时，f<0, 3 3 3 3 因北四在a马上华消道6，在（写，2上单选城。m-八5-二5 3’3 3 所以被完全覆盖的最大的圆的半径为5 此时OO2=OO3=O,O=1,即圆O、圆O2、圆O3中的任一圆均经过另外两圆的圆心.故选：C 8.C【详解】由三角形面积公式可得：S=besin A,故a2=besin A+(b-g, 2 1-nA+c-,故1-nA=cos4,为sn+eosA=l, 2 2bc 所以sm4+-A=1,解得：mA=支0， 5 因为△ABC为锐角三角形，所以sinA=0舍去，故sinA=4, F5,cosA=1-1x4_3 255 23n2B+snC_26+c_2b+5,其中-nG-m4cosB+cos4smB- 43 由正孩弦定理得： sinBsinC be c b b sin B sin B 5tanB5’ 因为△ABC为锐角三角形所以C<,故A+B> >2所以B>A, 2 tan B>tan 16.4+335 sinA4’5tanB(0,15》5tanB+5(5'3 -∈0， 令号（得》则g0)-=子+1为对勾高，在[上单调递成，在5}上单调增， ws0=后5-a5,又目}9}g}g号8 答案第1页，共10页 管号所以g08弱28C2之5[25智选c 因为59、43 sinBsinC c b 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 BCD ABD AB 11.AB【详解】将平面ABB,A,与平面BCCB,展开到同一平面内，连接AP, 也可将平面ABCD与平面CDD,C展开到同一平面内，此时 ,故A正确； 2 2 过点P作PE⊥DD,交于点E,连接EM,则E为DD的中点，PE=1,且PE⊥平面ADDA,EMC平面ADDA, 所以PELEM,因为由|PMFV2可知，EM=√PM2-PE2=1,故M在侧面ADDA D 上得轨迹为以E为圆心，1为半径的半圆，故点M在侧面内运动路径的长为 A 2-B运瑞 M. 连接CB,CD,BD,MD,MB,MC1,则BD=CD=CB=√2，所以 Sm一5可-，以D为坐标原点，分对以DA,DCD0所在立线 B 米Z 为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,1), 设M(m,0,n),(0≤m≤1,0≤n≤1)，设平面C,BD的法向量为n=（x,y,z), B 则26中0令y1,得：x2-1,所以n=(-,设Mm,0m) 吸，故当m=1, B 到平面CBD的距离为h,则h= V1+1+15 Z D 时，h取得最大值，为2-25 5=3 ,此时三棱锥B-CMD体积最大， A B 15x25,C错误； Va-CMD =VM-CBD=32 33 COSZBD B=BD=2 16 DB=万=？，所以cos∠MDB=3，连接MB,MB,因为 B M(m,0,n),(0≤m≤1,0≤n≤1)所以MD,=Vm2+(n-1)2, 答案第2页，共10页 MB=(m-1++,CosZMD.B-MD+BDi-MB 2m-2n+26 2MD·BD 25√m2+(n-1) 3, 化简得：(m+n-1)=0,所以m+n-1=0,可知M点的轨迹不是抛物线，D错误. 故选：AB 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.② 14. 2 13.5724 (-JU(e.+) 13.【详解】不妨设天数为12345678，另外四人为ABCD, 当甲在12,67,78这三个时间段连续参加2天时： (I)第三天与第五天由剩下四人参加：则先把ABCD分到第三天与第五天，剩下四天由ABCD排列完成，共有 3×C×A=432种方法： (2)第三天与第五天由剩下四人中的三人参加：则先把中选ABCD三人（如ABC)分到第三天与第5天（如AB,AC), 剩下四天由剩下的人（如BCDD)完成，共有3×C×C×2×C×A=864种方法： (3)第三天与第五天由剩下四人中的两人参加：则先把ABCD中选两人（如AB)分到第三天与第5天 (如AB,AB),3×C×C=108种方法， 当甲在23,34,45,56这四个时间段连续参加2天时： <>第三天与第五天由剩下四人中三人（如ABC)参加：先从四人中选一人与甲同一天，再从剩下三人中选两人在另 一天，然后剩下五天由剩下人完成（如ABCDD),有4×C4×C×C×A;=2880种方法， <2>第三天与第五天由剩下四人中二人（如AB)参加：先从四人中选一人与甲同一天（如A),两从剩下一人中选1 人（如B)与刚才的1人(A)排在另一天，剩下五天由剩下人完成（如BCCDD),有4×C4×C×C,×C=1440种方法： 根据分类计数原理，共有432+864+108+2880+1440=5724种方法. 故答案为：5724. 14.(e,+o) 【详解】当x≥0时，(x)=e-+xe=(x+1)e>0,f(x)单调递增，f(0)=0,作出f(x)的图象： =x） 答案第3页，共10页 令h(x)=ker2-ex, 函数g(x)=f(x)-k2-ex恰有4个零点等价于函数f(x)与函数h(x)的图象恰好有4个交点. 当k>0时，如图， y=h(x) f(x) -1 要使函数f(x)与函数h(x)的图象恰好有4个交点， 则y=xe与y=r2-ex在x>0时有两个交点， 即xe1=2-ex有两个正实数根， 即k=e+c有两个正实数根， 令m(x)=e+e x>0, 则y=k与y=m(x)在x>0时图象有两个交点， m'(x)-(x-1)e"--e x2 令n(x)=(x-1)e-e,x>0, 则n(x)=xe>0,∴.n(x)在x>0时单调递增， :no)=-。e<0,n0=-e<0,nl2)=0, .当0<x<2时，n(x)<0,m(x)<0,m(x)单调递减： 当x>2时，n(x)>0,m(x)>0,m(x)单调递增. ∴.m(x)mn=m(2）=e, ∴.y=m(x)如图： y=m(x) .k>e. -k 综上所述，k>e. 故答案为：k的范围(e,+o) 答案第4页，共10页 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【详解】(1)Sn+2=an①，.Sn1+2=an(n≥2)② ①-②得Sn-Sn1=an=a1-a，即al=2a,0n之2)，… …3分 当n=1时：S=a=1,S+2=4,=3,此时4≠2， a .{an}从第2项开始为首项是3，公比为2的等比数列，a,=1,a2=3, 5分 1n=1) ∴.an= 13.2"-2(0n≥2) ……6分 (2):{a}为等比数列，：g=2,且S+2=4+2=4,则a=2, a ……8分 则，=2++ -1j+…+a-+8 10分 两式相减可符-+…（日-a gt面 .Tn=2-(n+2) ……13分 16【详解】m=6mx-5casx,》m+-(mx+52分 .f(x)=sin x(sinx+3cos=sinx+3sinxcosx+ 2 -1-cos2 sin2x-sin 什1…4分 2 2 ”2（ 6 则f(x)的最小正周期为 =元，令-7+2kr≤2x-及55+2kr,keZ, 2 2 2 62 解得-名+k红5x≤行+红ke乙 33 故f(x)的单调递增区间为 +k, 6 2:……6分 答案第5页，共10页 (2)由f9恰好为函数)的最大值可得(9=sm（2C-石1=2， 即sin ，0<C<元，则可解得C=行，则CD=fC)=2,8分 CD AD 在△ACD中，由sin 4 sinc,可得AD= 1 1 sin A CD BD 在△BCD中，由sinB simC,可得BD= 1 1 sinB’c= …10分 sin A sin B' 1 1 a b 1 在△ABC中， c=sinAsin B2v3 1 sinA sin B sinC 3 3（sinA'sinB 则可得a= 2W5 1+m4,6=25sm8+ 3 ……12分 sin B 3sinA 则3a+b=2√5 1+sinA）, 2(sin B3sin 3 sinB sin B 3 sin A 3' sinA>0,sinB>0,…l3分 sin B .3a+b≥2 25. sin A 23 sin B 83 8 =4+ …14分 sin B 3 sin A 3 3 当且仅当血4=smB等号成立，故3a+b的最小值为4+85 …15分 3 17.【详解】(1)D是BC的中点，.翻折前BD=DC,翻折后DC=DN.… …1分 :F是BD的中点，∴.翻折前BD=2BF=2FD,翻折后MF=FD ∴翻折后DN=2MF,又DN∥MF, 且DN,FM方向相同，.DN=2FM. …3分 又E是AB的中点，F是BD的中点， .翻折前、后EFI/DA,DA=2FE, 且DA,FE方向相同，.DA=2FE,… …5分 ∴翻折后，在△ADN中， NA=ND+DA=-2FM+2FE=2MF+2FE=2ME:6 (2)在平面DFMN中，过点F作QF⊥DF,交MN于点Q, ·AD⊥平面DFN,QF⊥DF, ∴以点F为坐标原点，FD、DA、F@的方向分别为x,y,z轴的正方向 建立如下图所示的空间直角坐标系，… …7分 答案第6页，共10页 E D 则D(1,0,0)、E(0,1,0)、A(1,2,0), 设∠NDF=0(0<0<π)，则M(-cos0,0,sinO), .ED=(L,-1,0）,EA=(1,l,0),EM=(-cos0,-1,sin0）,…9分 设平面DEM的一个法向量m=(x,y,z), mED=x-y=0 则 ImEM=-xcos0-y+zsine =0' 令r=1,则y=1,:=14cos0_2cos心 -1+1 2 1 …10分 sin 2sincos tan- tan- 2 2 2 设平面AEMN的一个法问量i=(a,b,c), iEA=a+b=0 liEM=-acos0-b+csin0 =0 令a=1,则b=-1,c=os0-11-2sm -1 2 …11分 sin 2sin cos2 2 2 设平面DEM与平面AEMN的夹角为a, m 1 cosa 则 1 2+ N 2+tar） 2 2 1 1 1 ≤ 201 0 1 5+4 tan 5+2 tan2 十 2 an 1 2 2 0π 0<0<π，.0< 70 22则am2 当且仅当tan )1,即0元时，即日三)时，等号成立 24 …13分 ∴.平面DEM与平面AEMN的夹角的余弦值的最大值为 …15分 答案第7页，共10页 18[详解](1)由题意得xe(0,+o),f(x)=e-m,g(x)=1-”=-m, 当m≤0时，f(x)≥0，g(x)≥0，所以f(x)和g(x)在(0，+0)上都单调递增，符合题意：…1分 当m>0时，若f(x)和g(x)在(0，+∞)上的单调区间相同， 则f(x)和g(x)有相同的极值点，即lnm=m,… …2分 令(m)=lm-m,则r(m）=1-1=1-m, m 当m∈(0,1)时，h(m)>0,当m∈(1，+oo)时，h(m)<0, 所以h(m)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，则h(m)≤h(1)=-1, 所以lnm=m无解，综上，当m∈（-oo,0时，f(x)和g(x)在(0，+o)上的单调区间相同；…4分 (2)①由题意，f(x)有两个零点，f(x)=e-m, 若m≤0，则f(x)≥0，所以f(x)在R上单调递增，不符合题意，…5分 若m>0,则当x∈(-oo,lnm)时，f(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(nm,+o)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 且当x→-0时，f(x)→-o,当x→+o0时，f(x)→+o, 所以f(lnm)=m-mlnm<0,解得m>e,得证：… …8分 ②令f(x)=0,g(x)=0,得e=mx,x=mlnx,即C=m>0,x=m>0, Inx 令m()=g三>0n)=>,则mx)=e怎-x上r …10分 x r2 (Inx2 当xe(0,1)时，m(x)<0,m(x)单调递减， v=m(x) B C 当x∈(1，+oo)时，m(x)>0,m(x)单调递增， 1y=1m y=n(x) 当x∈(1，e)时，n(x)<0,n(x)单调递减， X3 当x∈(e,+o)时，n(x)>0,n(x)单调递增， 在同一坐标平面内作出函数()-c>0与函数a(点(>)的图象。…1B分 它们有公共点4(：，)，如图，故0<x<1<,<e<5,且有-c=名=点， x x2 Inx2 Inx; 答案第8页，共10页 由=，得9 x Inx, 号即m）m恤)，又0<<1，所以=s,15分 得=，即e=5,又>c,所以 …16分 x2 Inx; e 由 =，得=e5.n此，=x,即x=x,故x,x,=∈（山，e）…17分 x2 Inx2 a2=b2+c2 【详解】(1)由题意知。2 c 1 19. ,…2分 ×2ab=2W3 2 解得a=2,b=√3， 所以C的方程为+上 =1.… …4分 43 (2)(i)由题可知点P(4,O)、F(L1,O),若直线MN与x轴重合，则M、P、N重合，则△MPN不存在， 不合题意；… …6分 设直线MN的方程为x=my+1,设点M(x,y)、N(x2,2), x=my+1 联立 3x+4=12可得(3m+4>+6mv-9=0,△=36m2+36(4+3m2）=14(m2+1>0, 6m 由韦达定理可得乃+》2=- 3m2+4’4y=- 3m2+4’ 9 …8分 所以(5n广-4线5m-[3--4-片.-小10分 =[0+⅓广-4]+3-m3-m)-[6+⅓广-4]+[m⅓-3m(x+)+9] 936m236 993m6m9m1 4(3m2+4}23m+4 3m2+4 3m2+43m2+4 9360+3627m-36-18m+9m0所以g二48amSA…3分 (3m2+4) y-t.y-t ()设点H(4,),其中1≠0，则+k=-4名-43出-1+上-1】 …14分 k3 tmy-3 my2-3 3 _3(4-t)(m,-3+(2-1)my-3）_3.2myy2-(mt+3(y+⅓2)+61 (my1-3)(my2-3） t m'y y2-3m(y+y2)+9 答案第9页，共10页 ，2m:(-9》_-6m)小-(mt+3)61(3m2+4) =3.3m2+43m2+43m2+4 t-9m23m-(6m）9:(3m2+4 3m2+43m2+43m2+4 =3.-18m+18m+6m1+24+18m272(m2+1） t-9m2+18m2+36+27m236m2+1） 2.…17分 y H D M A T 答案第10页，共10页